第18章 平行四邊形（B卷·能力提升練）（解析版）

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)第18章平行四邊形（B卷·能力提升練）（時間：120分鐘試卷滿分：120分）選擇題（每小題3分，共10題，共30分）1．（2022秋?萊陽市期末）如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，CE平分∠BCD交AD于點E，若AB＝6，AD＝8，則EF的長度為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【考點】平行四邊形的性質(zhì)；【分析】先證明AB＝AE＝3，DC＝DF，再根據(jù)EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．故選：A．2、（2022春?臨漳縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCBC．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO【答案】C【考點】平行四邊形的判定【分析】根據(jù)平行四邊形的判定“①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可判斷求解.【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；B、∵AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，∴不能得到∠OAB＝∠OCD，∴不能得到AB∥CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；D、∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝DC，又∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；故答案為：C.3、（2023?三水區(qū)校級開學(xué)）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，菱形ABCD的面積為48，DE＝6，則AD的長為（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【考點】菱形的性質(zhì)；【分析】由菱形的性質(zhì)得AD＝AB，再由菱形的面積求出AB＝8，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE⊥AB，∴菱形ABCD的面積＝AB?DE＝48，即6AB＝48，∴AB＝8，∴AD＝AB＝8，故選：B．4、（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，在邊長為43的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則AFA．4?23 B．23?4 C．4?4【答案】D【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；【分析】由余角的性質(zhì)可求∠CDE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可得BF＝4，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝43，∠BCD＝∠B＝90°，∵DE⊥CF，∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，∴∠CDE＝∠BCF＝30°，∴BC=3BF＝43∴BF＝4，∴AF＝AB﹣BF＝43?故選：D．5、（2022春?襄州區(qū)期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，則下列判斷：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形．正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【考點】正方形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定；【分析】①由三角形的中位線定理可以判定結(jié)論正確；②利用AD平分∠A可以判定四邊形AEDF是菱形而非正方形，可得②的結(jié)論錯誤；③利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出DE＝DF，從而得出四邊形AEDF是菱形；④∠A＝90°，則根據(jù)①的結(jié)論可得四邊形AEDF是矩形．【解答】解：①∵D是BC的中點，E是AB的中點，∴DE∥AC．∵D是BC的中點，F(xiàn)是AC的中點，∴DF∥AB．∴四邊形AEDF是平行四邊形．∴①正確；②如圖，由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．若AD平分∠BAC，則∠EAD＝∠FAD．∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴②不正確；③如圖，若AD⊥BC，∵D是BC的中點，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，E是AB的中點，∴DE=12同理：DF=12∴DE＝DF．由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴③正確；④若∠A＝90°，如圖，由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．6、（2022?利通區(qū)校級一模）如圖，在□ABCD中，AB＝3，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于12BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則四邊形ABEF的周長為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【考點】等式的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；角平分線的定義【分析】利用基本作圖得到AB=AF=3，∠BAE=∠FAE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得BC∥AD，則∠BEA=∠FAE，【解答】由作法得AB＝AF＝3，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴BE∥AF∴∠BEA＝∠FAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA＝3，∴BE＝AF∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB＝AF∴四邊形ABEF為菱形，∴四邊形ABEF的周長＝4×3＝12.故答案為：A.7、（2022秋?封丘縣校級期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中點AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，則DE的長為（）A．1 B．32 C．2 D．【答案】A【考點】三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；【分析】連接BE并延長交AC的延長線于點F，易證明△ABF是等腰三角形，則得AF的長，點E是BF的中點，求得CF的長，從而DE是中位線，即可求得DE的長．【解答】解：連接BE并延長交AC的延長線于點F，如圖，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠ABE＝∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF＝AB＝5，點E是BF的中點，∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位線，∴DE=1故選：A．8、（2022春?潼關(guān)縣期末）如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AC向△ABC外構(gòu)造等邊△ACD，E為AB的中點，連接CE、DE，∠ACB＝90，∠ABC＝30°．下列結(jié)論：①AC⊥DE；②四邊形BCDE是平行四邊形；③四邊形ADCE是菱形；④S四邊形BCDE＝3S△ACD．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì)；【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝60°，AC=12AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝60°，推出CD∥AB，根據(jù)線段中點的定義得到BE＝AE=12AB，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形BCDE為平行四邊形，故②正確；四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形ADCE是菱形，故③正確；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF∥BC，根據(jù)垂直的定義得到AC⊥DE，故①正確；設(shè)AC＝x，則【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC=12∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵E為AB的中點，∴BE＝AE=12∴BE∥CD，CD＝BE＝AE，∴四邊形BCDE為平行四邊形，故②正確；四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE=12∴四邊形ADCE是菱形，故③正確；∵四邊形BCDE為平行四邊形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故①正確；設(shè)AC＝x，則AB＝2x，∴S△ACD＝S△ACE＝S△CBE=34x∴S四邊形BCDE＝2S△BCE＝2S△ACD，故④錯誤；故選：C．9、（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC、BD的交點，E、F分別為邊BC、CD上一點，且OE⊥OF，連接EF．若∠AOE=150°，DF=3，則EFA．23 B．2+3 C．3+1【答案】A【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；【分析】由題意證明△BOE≌△COF（ASA），所以O(shè)E＝OF，則△OEF是等腰直角三角形；過點F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的長，進而可求出EF的長．【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD為對角線，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；過點F作FG⊥OD，如圖，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG=22DF∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF=6∴EF=2OF＝23故選：A．10、（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點P在AD上，點Q在BC上，且AP＝CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；【分析】連接BP，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE＝AB＝12，連接PE、CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，則PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE＝AB＝12，連接PE，則BE＝2AB＝24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，連接CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=B∴PC+PB的最小值為26，即PC+QD的最小值為26，故選：D．填空題（每小題3分，共8題，共24分）11、（2021秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，在□ABCD中，過點C作CE⊥AB，垂足為E，若∠BAD＝120°，則∠BCE的度數(shù)為.【答案】30°；【考點】平行四邊形的性質(zhì)；【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度數(shù)，由直角三角形的兩上銳角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故選：30°．12、如圖，從①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有種.【答案】4；【考點】平行四邊形的判定；【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可一一判斷得出答案.【解答】解：因為平行四邊形的判定方法有：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可選①③；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可選②④；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可選①②或③④；故答案為：法有四種。故答案為：4.13、（2022?東平縣校級開學(xué)）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝度．【答案】75【考點】矩形的性質(zhì)；【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OA＝OB，根據(jù)角平分線求出AB＝BE，得到等邊三角形OAB，推出∠OBC＝∠OCB＝30°，OB＝BE，求出∠BOE的度數(shù)即可求出答案．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠CAE＝15°，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴AB＝BE，∴∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BCA＝30°，AB=12AC＝∴BE＝BO，又∵∠DBC＝∠ACB＝30°，在△BOE中，∠BOE＝（180°﹣∠DBC）÷2＝75°．故答案為：75．14、如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點C的坐標(biāo)是（3，2），則點A的坐標(biāo)是．【答案】（﹣2，3）．【考點】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】作AD⊥y軸于點D，CE⊥x軸于點E，先證明△AOD≌△COE，因為C（3，2），所以O(shè)D=OE=3，AD=CE=2，再根據(jù)點A在第二象限求出點A的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，作AD⊥y軸于點D，CE⊥x軸于點E，則∠ADO=∠CEO=90°，∵四邊形OABC是正方形，∴∠AOC=∠DOE=90°，OA=OC，∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，在△AOD和△COE中，∠ADO＝∠CEO，∠AOD＝∠COE，OA＝OC，∴△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD=OE=3，AD=CE=2，∵點A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．15、（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當(dāng)∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是矩形；③當(dāng)AB＝AC時，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①②③④【考點】正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；【分析】①利用SAS證明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷結(jié)論①正確；②當(dāng)∠BAC＝150°時，求出∠EAD＝90°，根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形即可判斷結(jié)論②正確；③先證明AE＝AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷結(jié)論③正確；④根據(jù)正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形即可判斷結(jié)論④正確．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等邊三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四邊形ADFE是平行四邊形，故結(jié)論①正確；②當(dāng)∠BAC＝150°時，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四邊形AEFD是平行四邊形，∴平行四邊形ADFE是矩形，故結(jié)論②正確；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四邊形AEFD是平行四邊形，∴當(dāng)AB＝AC時，AE＝AD，∴平行四邊形AEFD是菱形，故結(jié)論③正確；④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四邊形AEFD是正方形，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．16、（2021八下·紹興期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E在邊AB上，連接DE，取DE的中點F，連接EO并延長交CD于點G．若BE＝3CG，OF＝2，則線段AE的長是．【答案】4【考點】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位線定理【分析】本題首先利用平行四邊形的性質(zhì)，證明△AOE≡△COG，得到AE=CG，從而得到BE=DG.根據(jù)三角形的中位線定理，確定DG=2OF=4，所以BE=4，因為BE=3CG，所以CG=43【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AB=CD∴∠OAE=∠OCG∵點O時AC的中點∴OA=OC在△AOE和△COG中，∠OAE=∠OCG∴△AOE≡△COG（ASA）∴AE=CG∴BE=DG∵F是DE的中點∴OF是△DEG的中位線∴DG=2OF=4∵BE=DG=3CG∴CG=4即AE=4故答案為：4317．（2022秋?渠縣校級期末）如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE＝BC，P為CE上任一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值是．【答案】2【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；【分析】連接AC，PB，AC交BD于O，根據(jù)S△BCE＝S△BPC+S△BPE，從而12BE?OC=12BE?【解答】解：如圖，連接AC，PB，AC交BD于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=2BC=∴OC=12AC∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE，∴12BE?OC=12BE?∵BC＝BE，∴BE?OC＝BE?PR+BE?PQ，∴PR+PQ＝OC=2故答案為：2218、如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點D的對應(yīng)點D'落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為．【答案】52或【考點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）【分析】連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得MD′=PD′，設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，由線段的構(gòu)成AM=AB-BM可將AM用含x的代數(shù)式表示出來，用勾股定理可求得x的值；在Rt△END′中，設(shè)ED′=a，由題意可分兩種情況：①當(dāng)MD′=3時，用勾股定理可求解；②當(dāng)MD′=4時，同理可求解.【解答】解：如圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P.∵點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′=PD′，設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折疊圖形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，設(shè)ED′=a，①當(dāng)MD′=3時，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=52，即DE=5②當(dāng)MD′=4時，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=53，即DE=5故答案為：52或5三、解答題（共8題，共66分）19、（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，以AB、BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．求證：四邊形ADCE是矩形．【考點】矩形的判定【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形.【解答】證明：∵AB=AC，D為BC邊的中點，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，AE=BD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形20、（7分）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O．求證：AD與BE互相平分．【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)【分析】連接BD，AE，利用ASA證出△ABC?△DEF，即可得出四邊形ABDE是平行四邊形，即可證出AD與BE互相平分．【解答】（1）證明：如圖，連接BD、AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠DEF,BC＝EF,∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AD與BE互相平分；21、(8分)（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點．（1）求證：AF＝CE；（2）若四邊形AECF的周長為10，AF＝3，AB＝2，求平行四邊形ABCD的周長．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì);【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的對邊平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形證得四邊形AECF為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的周長公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，∴AE＝12AD，CF＝12∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF＝CE；（2）解：∵四邊形AECF的周長為10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四邊形ABCD的周長＝8+2×2＝12．22、（8分）在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．【考點】角平分線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理可得出四邊形為菱形。（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可計算得出AC的長度?！窘獯稹浚?）證明：∵AD=2BC，E為AD的中點，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四邊形BCDE是菱形．（2）解：連接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=12，∴∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=3．23、（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF=BE，連接AF，DE，DF．（1）求證：四邊形AEFD為矩形；（2）若AB=3，DE=4，BF=5，求DF的長．【考點】矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）先證四邊形AEFD為平行四邊形，再證∠AEF=90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得DF=AE，AF=DE=4，再由勾股定理的逆定理得△BAF為直角三角形，∠BAF=90°，然后由面積法求出AE的長，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AD=BC=EF，又∵AD∥EF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴平行四邊形AEFD為矩形；（2）解：由（1）知，四邊形AEFD為矩形，∴DF=AE，AF=DE=4，∵AB=3，DE=4，BF=5，∴AB2+AF2=BF2，∴△BAF為直角三角形，∠BAF=90°，∴S△ABF＝12AB×AF＝12BF∴AB×AF=BF×AE，即3×4=5AE，∴AE＝125∴DF＝AE＝12524、（8分）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，連接DE、BF、BD．（1）求證：四邊形DEBF為平行四邊形；（2）當(dāng)∠ADB＝90°時，求證：四邊形DEBF是菱形．【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB//CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝12AB＝EB，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四邊形DEBF為平行四邊形；（2）證明：∵∠ADB＝90°，E為邊AB的中點，∴DE＝12∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴四邊形DEBF為菱形．25、（8分）（2021秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，AB的中點，點F是CB延長線上的一點，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長．【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，BC＝2DE，再證DE＝BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【解答】（1）證明：∵點D，E分別是AC，AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，