空間向量在立體幾何中的應(yīng)用專項(xiàng)練習(xí)教師版

空間向量的應(yīng)用

-知識(shí)切片

用空間向量證平行垂直

異面直線夾角小題

線面角：小題（定義法、最小角定理套公式）、大題（正方體、不規(guī)則：菱形,惻面垂

____________________直于底面、囪、直角警*形、棱臺(tái)）____________________________________________

空間向量的應(yīng)用二面角：小題（定義法、向量統(tǒng)性運(yùn)算）；大題：建系類型同上

距離：（1）點(diǎn)或距，異面直線距（幾何法）；（2）點(diǎn)到面的距離：小題（幾何法：等

體積轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)），大題：

存在性問題：存在平行垂直,存在線面角、二面角

二.知識(shí)點(diǎn)擊

模塊一利用空間向量證明平行、垂直

1.用向量方法證明空間平行關(guān)系的方法

設(shè)直線八，/2的方向向量分別是。/，則要證明h//li，只需證明a//b.

線線

即a=M（&CR）.

平行

（1）設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的法向量是u,則要證明l//a,只

需證明O±M,BPan=0.

⑵根據(jù)線面平行判定定理在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向

線面平行量是共線向量即可.

（3）證明一條直線/與一個(gè)平面”平行，只需證明/的方向向量能用平面

a內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.

面面⑴轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行.

平行⑵求出平面a，6的法向量u,v,證明“〃v即可說明a〃尸.

2.利用空間向量證明垂直問題

線線垂直：利用向量法證明線線垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數(shù)量

積為0.證明的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求直線的方向向量.

線面垂直利用向量法證明線面垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量垂直于平面中的兩條相交直線所在的

方向向量，即證明它們的方向向量的數(shù)量積為0.

面面垂直：=0.

題型一利用空間向量證明平行問題

例I.已知正方體力8C￡M山CQ的棱長為2,E,尸分別是BBt,DDi的中點(diǎn)，求證：

⑴匹/平面/。后；

(2)平面/OE〃平面81G尸.

【精彩點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解.

(自主解答】⑴建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz廁有2)(0,0,0)42,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),￡(2,2,1),

戶(0,0,1),5,(2,2,2),

所以芯=(0,2,1)，房=(2,0,0),祖(0,2,1).

2

設(shè)"1=（X1,力，Z1）是平面4DE的法向量，則〃1_1_忌,"|J■融,

“1?扇=2xi=0,%]=0,

即,■得，

n\-AE=2ji+zi=0,也=-2yl.

令zi=2,則yi=-1,所以"i=(0,-1,2).

因?yàn)橥?i=-2+2=0,所以/咨J_"i.

又因?yàn)镕CiQ平面ADE,所以尸G〃平面ADE.

(2)1?見尸(2,0,0),設(shè)〃2=(也,yi,Z2)是平面5cl尸的法向量.由"2,用i,?2±C^i,

"2.戶還I=2次+Z2=0,X2=0,

得,一得，

?2-CIOI=2x2=0,3=-lyi.

令Z2=2,得力=-1,所以112=(0,-1,2),

因?yàn)镸l=?2,

所以平面/DE〃平面BiCiF.

練習(xí)1.如圖3-2-5,在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，O是BQi的中點(diǎn)，求證：BC〃平面OCQ.

圖3-2-5

【精彩點(diǎn)撥】證明線面平行，可用平面內(nèi)的一組基底表示直線，然后證明直線不在平面內(nèi).

【自主解答】設(shè)5A=a,5t=b，而1=c,

3

則由=a+c,[)^1=b+c,Dt)=D31+Dlb=c+1(a+b).

設(shè)存在實(shí)數(shù)x,y,使得國1=xE^l+y56成立,

EIc+-a+b1+a+(x+y)c.

貝!Ja+c=x(b+c)+yL2-—4d+?

2

"?"a,b,c不共線,

2-1,

x=-1,

；?'x+Y=0,解得，

2y=2,

x+y=1,

.,.C^l=-D?1+2Dt),

即向量dSi,D^I,冊共面.

?.響量國1不在玩1,5b所確定的平面0C1D內(nèi)，

；.B1C〃平面OC1D.

練習(xí)2.在如圖3-2-6的多面體中，EF_L平面AEB,AE1EB,AD〃EF,EF〃BC,BC=2AD=4,EF=3,

AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn)，求證：AB〃平面DEG.

圖3-2-6

4

【證明】：EFJ_平面AEB,AEU平面AEB,BEU平面AEB,

AEFIAE,EF1BE.

又：AEJ_EB,AEB,EF,EA兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),.\EB=(0,2,2),R=(2,2,0),A6=(2,0,

-2).

設(shè)平面DEG的法向量為n=(x,y,z),

Ef)n=0,2y+2z=0,

囪?n=0,(2x+2y=0,

令y=1,得z=-1,x=-1,則n=(-1,1,-1),

.?.翹―n=-2+0+2=0,即&_Ln.

VABC平面DEG,

；.AB〃平面DEG.

練習(xí)3.在正方體中，E,F,G,4,M,N分別是正方體六個(gè)表面的中心，證明：平面EFG//

平面HMN.

(證明】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2,則11,0),尸(1,0,1),G(2,l,l),

5

”(1,1,2),M(l,2,l),MO,1,1).

?,?彷=(0,-1,1),前二(1,0,1),威二(0,1,-1)zHk=(-1,0,-1).

設(shè)m=(xizy\,zi),〃=(X2,yi,22汾別是平面EFG和HMN的法向量,

-yi+zi=0,

由r得，

mEG=0,X]+zi=0,

令X]=1,得股=(1,-1,-1).

〃加=0,)?2-Z2=0,

由一得

nHN=0,-X2-Z2=0.

令工2=1,得〃=(1,-1,-1).

于是有所二〃，即膽〃"，故平面EFG〃平面HMN.

題型二利用空間向量證明垂直問題

線線垂直

例1.在棱長為a的正方體OABC-OiABJ中，E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF,求證：A,F±CiE.

【精彩點(diǎn)撥】分析題意一建立空間直角坐標(biāo)系一

6

表示出Al,F,Cl,E的坐標(biāo)—表示出向量ATF與C布—ATF-C和=O—A1F_LC1E

【自主解答】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Al(a,0,a),C1(O,a,a).

設(shè)AE=BF=x，則E(a,x,0),F(a-x,a,0).

/?ATF=(-x,a,-a),Clt=(a,x-a,-a).

ATF-CIT=(-x,a,-a)-(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,

AAlVlCT^,即A1F1C1E.

練習(xí)1.正方體中"為/C的中點(diǎn)，證明：

圖3-2-3

(1)BDI±T4C；

(2)85

【證明】以D為原點(diǎn),DA,DC,DD\所在直線分別為x軸，)，軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

7

系Dxyz,設(shè)正方體的棱長為1,則8(1,1,0),￡>,(0,0,1)，力(1,0,0),C(0,l,0),上’2'°),.

(l)B3i=(-1,-1,1),

祀=(-1,1,0)，

=1)x(-1)+(-1)x1+1x0=0,

：.Bb\LAb,：.BD\^AC.

⑵麗i=(-1,-1,1),

屋尸昵，0,

.,.屈.函=(_叱+(-1)X：+1X1=0,

線面垂直

例2.如圖3-2-14所示,在正方體ZBCLMiSC6中,￡1，尸分別是8山，ZJC的中點(diǎn),求證：/E_L平面小。戶

8

圖3-2-14

【精彩點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，得到有關(guān)向量的坐標(biāo),求出平面小。尸的法向量，然后證明還與

法向量共線.

【自主解答】

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,

/力i=(-1,0,0),D^F=[°r,]

設(shè)平面AiDiF的法向量n=(x,y,z),

則〃?/工)i=0,n-D\F=0,

-x=0,

即’1解得x=0,y=2z.

-v-z=n0

brf

令z=l,則“=(0,2,1).

=[。/'J,,=2曲.

：.n//Ai,即平面小。氏

9

【總結(jié)】坐標(biāo)法證明線面垂直有兩種思路

方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；

(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；

(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.

方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；

(3)求出平面的法向量；

(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.

練習(xí)1.如圖3-2-15，長方體/BCZMiBiCQi中,AB=AD=\,AAi=2，點(diǎn)尸為DDi的中點(diǎn)，求證：直線P3i_L

平面PAC.

C''B

S3-2-15

【證明】依題設(shè)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz廁C(1,0,0),P(0,0,l)J(0,l,0),

5(1,1,2),

10

于是*=(-1,1,0),矽=(-1,0,1),附=(1,1,1),

.,.C^P^I=(-1,1,0)-(1,1,1)=0,

辦兩=(-[0,1)(1,1,1)=0,

故O_L兩I,,gpPSi±CP,PBxVCA,

又CPCyCA=C，且。尸U平面PAC,C4U平面PAC.

故直線P8I_L平面處C

面面垂直

1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化

為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直.

2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)

過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度.

例3.如圖3217所示，在直三棱柱N8C-小81G中，AB±BC,AB=BC=2,BBi=l,E為8歷的中點(diǎn),證明：

平面AECil.平面AA\C\C.

11

圖3-2-17

［精彩點(diǎn)撥】要證明兩個(gè)平面垂直，由兩個(gè)平面垂直的條件，可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為

求兩個(gè)平面的法向量ni,112,證明"八"2=0.

【自主解答】

由題意得AB,BC,BiB兩兩垂直.以B為原點(diǎn),BA,BC,BBi分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

4(2,0,0),小(2,0,1),C(0,2,0),Ci(0,2,l),￡l

則及產(chǎn)(0,0,1)，祀=(-2,2,0)，充I=(-2,2,1)，港2，0，3

設(shè)平面/U1GC的一個(gè)法向量為〃尸（R,Z1）.

npA^x-0

zi=0t

則

nrAt'=0-2xi+2y\=0.

令xi=1,得yi二1.An；=(1,1,0).

設(shè)平面ZEG的一個(gè)法向量為〃2二。2,外,z2).

"2?花=0,卜2X2+2玫+Z2=0,

則‘一='04.1n

L弟=01兀+產(chǎn)=0,

令Z2=4,得X2=1,"二?=,-1,4).

12

mn2=1x1+1x(-1)+0x4=0.

J_”2,二平面4EG_L平面441CC.

練習(xí)1.在四面體中，N8_L平面8C￡>,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,尸分別是4C,力。的

中點(diǎn)，求證：平面平面ABC.

【提示】

4(°],p(o，病。)，4用,4°巧用.

建系如圖，取40,0,a)，則易得8(0,0,0),

VZSCZ)=90°,：.CDl.BC.y.AB±W-^BCD,：.ABLCD.yi.ABCiBC=B,J.CDLW-^ABC,：.cb=

[-4

為平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),

由n-Ep=0,

(一也道(]

即(x,y,z)l4U,4"'J=0,有x=y.

由"協(xié)=0,即(X,y,z>(lo，02“’刃4=0,

有~~-ay+=0=z=-3y.

取y=1,得n=(l,l,.

13

一蜴［爭爭°)=0

：.nLCb,

平面8EF_L平面”C.

練習(xí)2.在正方體山中，￡為CG的中點(diǎn)，證明：平面平面B\BD.

【證明】以加，DC,DDi所在直線分別為A-軸，)■軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則0(0,0,0),51(1,1,1),M1g=(1,1,1),勵(lì)=[°1(3,設(shè)平面BQE

的法向量為〃/=(%,J3z),貝！Jx+>+z=0且y+；z=0,令z=-2,^]y=1,%=1,/.?/=(1,1,-2).同理求

得平面58D的法向量為"2=(1,-1,0),由"r"2=0,知"」”2,.I平面平面B出。

模塊二異面直線夾角

14

兩條異面直線所成角的求法

設(shè)a,b分別是兩異面直線6,/2的方向向量，則

人與，2所成的角。a與b的夾角4

(0,1]

范圍[0,兀]

求法COS0=cosy?=

W\b\

注意：

1.幾何法求異面直線的夾角時(shí)，需要通過作平行線將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形來求解，過

程相當(dāng)復(fù)雜；用向量法求異面直線的夾角，可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過程，只需對相應(yīng)向量進(jìn)行運(yùn)算即

可.

、~Co,-

2.由于兩異面直線夾角。的范圍是I'2」,而兩向量夾角a的范圍是［0,兀］,故應(yīng)有cos9=|cosa|,求解時(shí)要特

別注意.

題型一異面直線夾角

幾何法

例1.在正方體ABCD-48?。中，直線g與DQ所成角的大小為（）

15

C.60°D.30°

【分析】連接四，BQ\,則為直線叫與。G所成角，再由△羽.為等邊三角形得答案.

【解答】解：如圖，

連接陽，BR,則N8MQ為直線與。G所成角，

???ABCD-是正方體，

△AB,D,為等邊三角形，則乙雜Q=60。.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

練習(xí)1.在正方體ABCD-中，E為棱DC的中點(diǎn)，則異面直線AE與8G所成角的余弦值為（）

16

A.正B亞「Vio

2555

【分析】連結(jié)碼，D、E,由8c〃/Q,得ND/E是異面直線花與8G所成角（或所成角的補(bǔ)角）,由此

能求出異面直線AE與8G所成角的余弦值.

【解答】解：連結(jié)，QE,

???8GHAD,,ND\AE是異面直線AE與BCX所成角（或所成角的補(bǔ)角），

設(shè)正方體/8CD-4AGA中棱長為1,

=亞

貝?。?鼻=和+E=血,AE=DtE=

一2

055

2222+

.ADt+AE-D^4-4M

cos/D、AE=!--------------!——=------------7=r=-----

2xADXxAE2立>/55

2

.?.異面直線AE與8G所成角的余弦值為萼

故選：c.

17

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線間的位置關(guān)系、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

AA

練習(xí)2.如圖，在長方體力BCD-/4CQ中,底面相C。為正方形，一片=也，則異面直線BG與所成角

A.-c

2-7D為

【分析】連結(jié)48,4G,由/啰//。。，得到幺陽是異面直線g與2c所成角，然后^用余弦定理能求

出異面直線BG與*所成角的余弦值.

【解答】解：在長方體/8CD-4ACQ中，底面N8C。為正方形，第=百，

連結(jié)48,4G，則4B//OC,BCl=AlB=y/i+3=2,A\C[=ym=&,

N48G異面直線BC\與0c所成角，

4+4-23

cosZ.A.BC,=-----------=—

112x2x24

則異面直線BC,與D.C所成角的余弦值為|.

18

故選：c.

H

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面的關(guān)系、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

練習(xí)3.在四棱錐中，尸平面/SCO,PA=2,四邊形/88是邊長為2的正方形，￡是尸。的

中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值是（）

A.3B.也C.也D.亞

3366

【分析】取CD的中點(diǎn)F,連接BF,EF.推導(dǎo)出EFIIPC,得到2BEF為異面直線BE與PC的所成角（或

補(bǔ)角），由此能求出異面直線BE與PC所成角的余弦值.

【解答】解：如圖，取C。的中點(diǎn)廠,連接",EF.

-：E是PD的中點(diǎn)，所以EF//PC,

則NBEF為異面直線BE與PC的所成角（或補(bǔ)角）.

由題意可得=,￡F=-PC=-x2V3=V3,BE=46.

22

19

在ABEF中，由余弦定理可得cosNBEF="二%=旦.

2V6xV33

，異面直線砥與PC所成角的余弦峰號(hào)

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，空間中線線間的位置關(guān)系、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

向量法

例2.已知正四棱柱中，"=6,=1,則直線4c和8G所成的角的余弦值為（）

AJZR-J叵D*

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,DC,OR所在直線為x，了，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量求解空間角.

【解答】解：如圖，

20

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,0A所在直線為x，夕，二軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（6,01），C（0,6,0）,B（幣，幣,0）,C,（0,6,1）.

衣=（-石，石,-i）,sq=（-73,0,1）.

福西3T近

cos<4cBei>=

|而Id西「52―7

二直線4c和BC,所成的角的余弦值為?.

故選：4.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是基礎(chǔ)題.

練習(xí)1.如圖3-2-7，在正四棱柱中,AA\=^B，則異面直線小8與4。所成角的余弦值為（）

圖327

21

A|B-tC1

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DDx所在直線為x軸/軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系6片（圖略），

設(shè)力8=1.

則5(1,1,0),4(1,0,2),4(1,0,。),9(0,0,2),狼=(0,1,-2),赤產(chǎn)(-1,0,2),

/山vi5i-4

cos{A\B,At)\)4

|他||赤i|&由5

.??異面直線/山與所成角的余弦值為^

【答案】D

練習(xí)2.如圖3-2-4,在三棱錐心48c中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)N,8,H分別在x軸、y

軸、z軸上，。是線段N8的中點(diǎn)，且/C=8C=2,ZVDC=^,求異面直線/C與⑺所成角的余弦值.

圖3-2-4

【精彩點(diǎn)撥】確定/,C,/,Z）的坐標(biāo)-求向量及與防一

計(jì)算cos〈就，vb）的大小，并轉(zhuǎn)化為NC與⑺夾角的余弦值

【自主解答】由于ZC=8C=2,。是N8的中點(diǎn)，所以C(0,0,0),21(2,0,0),8(0,2,0),￡)(1,1,0).

當(dāng)，=:時(shí)，在RtATCZ)中，CD=^,；.K0,0,巫),

22

.?.就=(-2,0,0),力=(1,1,-#),

T、祀?力-2S

/.cos(AC,VD)==------=--------.

\AO\VD\2x2^24

???異面直線/C與⑺所成角的余弦值為坐

模塊三線面角

1.平面的法向量

已知平面a,如果向量n的基線與平面a垂直，則向量”叫做平面a的法向量或說向量n與平面a正交.

2.三垂線定理

(1)正射影

已知平面a和一點(diǎn)Z,過點(diǎn)/作a的垂線I與a相交于點(diǎn)A',則4就是點(diǎn)A在平面a內(nèi)的正射影,簡稱射影

(2)三垂線定理

如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射線垂直，則它也和這條斜線垂直.

(3)三垂線定理的逆定理

如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.

3.直線與平面所成的角

(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面的夾角為:；

23

(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面的夾角為。；

(3)斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角)；

(4)直線與平面的夾角的范圍是「°'L

4.直線與平面所成角的求法：

設(shè)直線)的方向向量為a,平面a的法向量為n,直線I與平面a所成的角為9,則sin°=&3=品-

4.最小角定理

(1)線線角、線面角的關(guān)系式：

如圖，0B是0A在平面a內(nèi)的射影，OMUa,9是0A與0M所成的角，

&是OA與OB所成的角，

。2是OB與OM所成的角，則cos0=cos_0icos_02.

(2)最小角定理：

斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角,是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.

題型一定義法求線面角

求法：作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點(diǎn)，通過這個(gè)點(diǎn)作平面的垂線，從而確定射影，找到要求

的角.其中關(guān)鍵是作平面的垂線，此方法簡稱為“一作，二證，三計(jì)算”.

例1.在長方體/8CD-45C0中，/8=4,8C=3,力小=5,試求自。與平面小8CD所成角的正弦值_____.

24

【精彩點(diǎn)撥】作出5點(diǎn)在平面小內(nèi)的射影，從而得到SiDi在平面48C。內(nèi)的射影.

【自主解答】作SELhS,垂足為E,又因?yàn)??！蛊矫?."Qi_LBiE

由B\E1.A\B及B\ELA\D\得8iE_L平面48cz>i,

而DiCi

AB

所以，DiE就是DB在平面小8CD1內(nèi)的射影，

從而乙BQiE就是。|囪與平面/LBC。所成的角.

在RtZ\8|O|E中，有5淪/35=3二0山|=/i朋+4必=叱6+9=5,

D\B\

又S4AiBB\=/iB.EBi*iB「BBi,AiB=-\]25+\6=\[4\,

；.EB]=^=^,：.sinZB\DiE=^^-.

勺41小141

練習(xí)1.正方體/3C0-48CQ中，E為棱48上的點(diǎn)，S.4B=4EB,則直線的￡與平面ND。/所成角的正

切值為（）

A.顯B.包C.也D.V17

8416

【分析】由已知畫出圖形把直線CE與平面ADDM所成角，轉(zhuǎn)化為直線GE與平面BCQB、所成角，連接BC一

則NEC、B即為直線GE與平面BCC、B、所成角，設(shè)出正方體的棱長，求解三角形可得直線GE與平面ADD,A,

所成角的正切值.

25

【解答】解：如圖，

在正方體ABCD-4AGA中，：平面AA\D\DI/平面BB&C,

直線GE與平面ADD.A,所成角等于直線C,E與平面BCqB｝所成角，

?.?E81平面網(wǎng)CC，連接8G,則乙田8即為直線Cf與平面8CG四所成角.

設(shè)正方體/8CD-44CQ的棱長為4a，貝l]EB=a,BC、=46a.

tanNEC、B--^=-=.

4缶8

即直線GE與平面ADD.A,所成角的正切值為當(dāng).

8

故選：4.

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題.

練習(xí)2.正三棱柱NBC-44G中N5=AA,,則8c與平面AAyBxB所成角的余弦值為（）

B而

A.半5C?半DT

26

【分析】取AB中點(diǎn)D,證明CD1平面AA^B，在取△BXCD中計(jì)算cosNCBQ即可.

【解答】解：取中點(diǎn)。,連接CO,B、D,

7\ABC是等邊三角形，；.CDVAB,

???BB、1平面ABC,CDu平面ABC,

BB、1CD,

5LAB^\BB,=B,N8u平面,881<=平面/448,

.,.CD1平面4448,

NCB、D為BC與平面所成的角，

設(shè)=彳4=1，則4c=近,B}D=J-^+l=,

，3"4。=第=當(dāng)

故選：/.

【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

27

練習(xí)3.在三棱錐尸-48C中，已知Azi8c是邊長為6的等邊三角形，平面/8C,21=12，則48與平面

P8C所成角的余弦值為（）

A2歷口歷「V133八7133

A.-------B.C.-------D.-------

19381938

【分析】取8c中點(diǎn)。，連結(jié),PD，過點(diǎn)/作于E，連結(jié)8E，推導(dǎo)出，從而平

面PBC,進(jìn)而NABE即為AB與平面PBC所成角，由此能求出AB與平面PBC所成角的余弦值.

【解答】解：如圖，取8c中點(diǎn)。，連結(jié)ND,PD,

過點(diǎn)/作ZE1PD于E，連結(jié)8E,

PA±平面ABC,\ABC是邊長為6的等邊三角形，

BC1AE,:.AEVW^PBC,

N4BE即為AB與平面PBC所成角,

■：PA=12,AB=6,:.AD=3-j3,PD=3M,

PA*AD12宕

AE=

PDV19

空^/T33

sm^ABE=—cos/A,BE—--^=

ABV1919

故選：C.

28

p

【點(diǎn)評】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

題型二最小角定理求線面角

例1.如圖戶后，已知NBOC在平面a內(nèi)，是平面a的斜線，且2A0B=AAOC=60°,OA=OB=OC=a,

BC=42a，求ON和平面a所成的角.

【分析】取8c的中點(diǎn)。,連接4),BD,可得AO4c,AO/B是等邊三角形，\OBC,AJ8c是直角三角

形，故4DL5C,利用勾股定理得出。D，4。，故4)，a,于是乙40。為所求角.

【解答】解：取8c的中點(diǎn)。，連接,BD.

29

OA=OB=OC=a,ZAOB=ZAOC=60°,

^OAC,AO43是等邊三角形，

:.AB=AC=a,ADVBC,

又BC=4ia,:.ZBOC=ZBAC=90°,AD=OD=-BC=—a,

22

:.OD2+AD2=OA2,:.ADLOD,

又8Cu平面a,OOu平面0，BCp\OD=D,

平面a,.?.40。為ON與平面a所成的角，

OD=AD,ADLOD,

:ZOD=45°,即OA和平面a所成的角為45。.

【點(diǎn)評】本題考查了線面角的計(jì)算，做出平面a的垂線，找出要求的線面角是解題關(guān)健，屬于中檔題.

練習(xí)l.PA,PB,PC是從點(diǎn)尸引出的三條射線，每兩條的夾角均為60。，則直線PC與平面48所成角的余

弦值為（）

30

.1R在73V3

A.—B.——Cr.——Dn.——

2332

【分析】過PC上一點(diǎn)。作。。_L平面APB,則ZDPO就是直線PC與平面PAB所成的角，說明點(diǎn)0在NAPB

的平分線上，通過直角三角形尸的、DOP,求出直線尸C與平面尸/8所成角的余弦值.

【解答】解：過PC上一點(diǎn)。作。平面/P8,則NOP。就是直線PC與平面P48所成的角.

因?yàn)镹APC=ZBPC=60°,所以點(diǎn)。在AAPB的平分線上，即ZOPE=30°.

過點(diǎn)。作。E_LP/,OF1PB,因?yàn)?。OJ.平面ZP8，貝(JOE1PZ,DF1PB.

設(shè)PE=1,?：NOPE=30°OP=―!—=—.

cos3003

在直角\PED中，NDPE=60°,PE=1,貝！)PZ)=2.

在直角MOP中，。尸=氈，PD=2.貝!|cosNDPO="=也.

3PD3

即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是半.

3

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象

31

能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.已知A0為平面a的一條斜線，。為斜足，0B為OA在平面a內(nèi)的射影，直線0C在平面。內(nèi)，且

N40B=NBOC=45°，貝［|乙AOC的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】在CM取一點(diǎn)H,過彳作42」。，再作夕CUOC，垂足為C，,連接4C,由，OC,易得

OCLA'C.由余弦函數(shù)的定義，證得cosN{O8?cosN8OC=cosNZOC.即可求得乙4。。的大小.

【解答】解：在。1取一點(diǎn)彳，過/'作4*la,再作夕。1OC,垂足為C,連接4C,由4夕1OC,

易得OCJ./C.

貝［|cos408=——,cosNBOC=——，

OA'OB'

oc

cosZA0C=——，

OA'

故有cosNZO8?cosN8OC=cosNZOC.

由于N/OB=N8OC=45°,貝(JcosN/OC=cos45°?cos45°

出也」,貝!U/0C=60°.

222

故選：C.

32

A

【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間幾何中的三余弦定理，考查運(yùn)算能力

練習(xí)3.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PDL平面ABCD.若/PBC=60°,求直線PB與平

面ABCD所成的角也

解：由題意得/CBD=45°,ZPBD即為直線PB與平面ABCD所成的角0.

VcosZPBC=cos6-cosZCBD,ZPBC=60°.

即cos60°=cos9-cos45°,cos0=——.0=45°.

2

題型三向量法求線面角

長方體建系

例1.如圖，在長方體/8CD-44CQ中，M為8片上一點(diǎn)，已知8〃=2,8=3,AD=4I=5?

(1)求直線4c和平面/8CZ)的夾角；

33

【分析】(1)由題意可得4c與平面”8所成夾角為N4C4,判斷為等腰三角形，即可求出，

【解答】解：(1)依題意：J■平面,連接"C,則4c與平面"8所成夾角為乙4。,

AAt=5,AC+4。=5,△4。為等腰三角形，

Z.AtCA=—，，直線4c和平面/BCD的夾角為彳,

練習(xí)1.如圖，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD是矩形，A.D與交于點(diǎn)E,AA,=AD=2AB=4.

(1)證明：4E_L平面￡C￡).

(2)求直線4c與平面EAC所成角的正弦值.

34

【分析】（1）證明AA,1CD.CDLAD,推出CD1平面AARD,得到CD14E.證明AE1ED.即可證

明/E_L平面ECO.

（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線4c與平面所成角的正弦值.

【解答】（1）證明：因?yàn)樗睦庵鵄BCD-48CQ是直四棱柱，所以AA,1平面ABCD,則AAt±CD.

又CDLAD,AA^AD=A,

所以C￡>J■平面44Q。,所以CO1/E.

因?yàn)?4J4D,AAt=AD,所以4ZQQ是正方形，所以NEL.

又，所以力E_L平