清華附中2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題及答案

清華附中2019-2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（每小題4分，共40分）.

1.(4分)已知集合A={x|f<1},且則〃的值可能為()

A.-2B.-1C.0D.1

2.(4分)下列函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是()

A.y=x2B.y=tanxC.y=0.5vD.y=/gx

3.(4分)若點(diǎn)P(4,3)在角a的終邊上，則cosa=()

A.-B.-C.-D.-

5543

4.(4分)在a=k>g3().l,b=tan—,c=22，d=sin2中，最大的數(shù)為()

4

A.aB.bC.cD.d

5.（4分）“a+尸=耳+22乃，女eZ”是"sina=cos尸”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（4分）下列區(qū)間包含函數(shù)/'（x）=x+log2X-5零點(diǎn)的為（）

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

7.(4分)函數(shù)/(x)=丁」一的定義域?yàn)?

)

歷(元+1)

A.(-1,0)50，+8)B.[-1,0)50，”)

C.[―1,4-00)D.(-l,+oo)

8.（4分）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則

平均倉儲(chǔ)時(shí)間為土天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備

8

費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（）

A.60件B.80件C.100件D.120件

9.(4分)已知6=(0,2),sin20=-貝!Jsin。-cos6=()

439

2「瓜D瓜

A.-B.—j—

3333

10.(4分)若函數(shù)f(x)的圖象上存在一點(diǎn)A(Xo,%),滿足為+%=0,且x(>y(產(chǎn)0，稱函

數(shù).f(x)為“可相反函數(shù)在：①y=sin無；②丫:/"*；③y=x?+4x+l；④丫=--”中,

為“可相反函數(shù)”的全部序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

二、填空題(每小題5分，共30分).

11.(5分)已知幕函數(shù)f(x)=x"'經(jīng)過點(diǎn)(2,；),則/(夜)=.

12.(5分)已知。為第二象限角，且sin?=2,則sin(O+2)=

32

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+e)(A>0,a)>0,\(p\<7t)的部分圖象如圖,則函數(shù)/(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為一.

-1-

14.(5分)關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx與g(x)=cosx有下面三個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)的圖象平移得到：

②函數(shù)/(X)與函數(shù)g(x)在(乙，左)上均單調(diào)遞減；

2

③若直線x=t與這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別交于不同的A,8兩點(diǎn)，則|A8|,,1.

其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為—.

15.(5分)已知函數(shù)/。)=歸+2'"，1,若函數(shù)丫=/(冷-左恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).則實(shí)

\x,x>\

數(shù)上的取值范圍為.

16.(5分)定義：如果函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間［〃，上存在〈A1。<b),滿

足/(為)=于9)一,9),則稱函數(shù)尸/⑴是口,加上的“平均值函數(shù)”.X。是它的一個(gè)均

h-a

值點(diǎn)，若函數(shù)〃X)=X2+小是［7,1］上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是—.

三、解答題(共6小題，共80分).

17.(13分)計(jì)算：

(1)log64+21og63.

(2)必癢啦

(3)cos120°+tan1350.

18.(13分)已知sina-cosa='

sina+cosa2

(1)若0為第三象限角，求COS2的值；

(2)求tan(a+?)的值；

(3)求cos2a的值.

19.(13分)己知函數(shù)f(x)=|log.x|(4>0MHl).

(1)若/(2)=-,求實(shí)數(shù)a的值；

2

(2)若0Vxi<工2，且/(5)=/“2)，求七工2的值；

(3)若函數(shù)/(x)在己，3]的最大值與最小值之和為2,求實(shí)數(shù)a的值.

2

20.(13分)已知函數(shù)/(x)=4cosxsin(x+三).

6

(1)求/弓)的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程：

(3)對(duì)于任意xe[0,詞均有f(x).J(0)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

21.(14分)若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且存在非零實(shí)數(shù)T,使得對(duì)于任意xeR,

/(x+T)=V(x)恒成立，稱函數(shù)/(x)滿足性質(zhì)P(T).

(1)分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質(zhì)p(1),并說明理由；

①fM=sin2/rx；

②g(x)=cos4x?

(2)若函數(shù)/(x)既滿足性質(zhì)P(2).又滿足性質(zhì)P(3),求函數(shù)/(x)的解析式；

(3)若函數(shù)f(x)滿足性質(zhì)尸(1.01).求證：存在使得|/(不)|<0.001.

22.（14分）已知集合A為非空數(shù)集，定義A+={x\x=a+b,a,b^A},AT={x\x=\a-b\,

a,feeA}.

(1)若集合A={-1,1},直接寫出集合A*及A?

(2)若集合A={X1,x2,七，x4},xl<x2<x3<x4,且A=A,求證七+七=々+W；

(3)若集Aq{x|O領(lǐng)k2020,xeN},且川A-=0,求集合A中元素的個(gè)數(shù)的最大值.

參考答案與試題解析

一.選擇題（每小題4分，共40分）.

1.（4分）已知集合4={回/<1},且aeA,則〃的值可能為（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：集合A={x|x2<l}={x[—

四個(gè)選項(xiàng)中，只有OeA,

故選：C.

2.（4分）下列函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2B.y=tan.rC.y=0.5vD.y-

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y=V,是二次函數(shù)，在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于y=tanx,是正切函數(shù)，在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意;

對(duì)于C,y=0.5',是指數(shù)函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意；

對(duì)于。，y=lgx,是對(duì)數(shù)函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；

故選：D.

3.（4分）若點(diǎn)P（4,3）在角a的終邊上，貝Ucosa=（）

A.-B.-C.-D.-

5543

44

【解答】解：點(diǎn)尸（4,3）在角，的終邊上，則cosa=J=3,

V42+325

故選：A.

I

4.（4分）在a=log3（）.l,/?=tan—,c=22，d=sin2中，最大的數(shù)為（

4

A.aB.bC.cD.d

【解答】解：a=log0.1<0,/?=tan—=1,c=22G（0,1）,J=sin2<1,

34

則最大的是匕=1.

故選：B.

5.（4分）“a+￡=]+2Qr,女￡Z”是"sina=cos〃”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

jr

【解答】解：sina=cos/3=>cos(~_=cosp,

IT

0=2k冗士23-a),k0Z.

JT-rr

化為：a+/3=-+2k7t,keZ,或尸一e=-一+2%/,keZ,

“a+/3=S2k兀,keZ"是"sinc=cos￡”的充分不必要條件.

故選：A.

6.(4分)下列區(qū)間包含函數(shù)/Q)=x+log2X-5零點(diǎn)的為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【解答】解：經(jīng)計(jì)算/(1)=1-5=-4<0,f(2)=2+1-5=-2<0,f(3)

=3+log23-5=log23-2<0,f(4)=4+2-5=1>0,

故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,4),

故選：C.

7.(4分)函數(shù)/(外=丁」一的定義域?yàn)?)

/心+1)

A.(-1,0)0(0,+00)B.[-1,0)0(0,+oo)

C.[—1,+oo)D?(—1,4-00)

【解答】解：要使函數(shù)有意義，則及(x+l)wo,且x+l>0,

即冗>一1且工工0,

故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x>-l且XH。｝,

故選：A.

8.(4分)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)1件，則

平均倉儲(chǔ)時(shí)間為土天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備

8

費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()

A.60件B.80件C.100件D.120件

【解答】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和是

Y1

800+X-=800+-X2

88

1

800+-x29

這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和為/'(%)=——J=幽+4&為正整數(shù))

Xx8

由基本不等式，得〃x)..2=20

當(dāng)且僅當(dāng)助=lx=10時(shí)，f(x)取得最小值、

x8

可得尤=80時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小

故選：B.

冗1

9.(4分)已知6=(0二),sin26?=-,貝Hsin?-cos'=()

43

.22「巫76

A.—RB.—C.—nD.------

3333

【解答】解：0=(0,—)(sin20=—>

43

sin。-cos0<0,

sin0-cos0=—^/(sin0-cos0)2=-^1-sin20==~~~■

故選：D.

10.(4分)若函數(shù)/(x)的圖象上存在一點(diǎn)A(與，y0),滿足%+%=0,且%為=0,稱函

數(shù)f(x)為“可相反函數(shù)在：?^=sinx；②y=/nx；③yn^+dx+l；④"—-"中,

為“可相反函數(shù)”的全部序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

【解答】解：由定義可得：；

函數(shù)/(x)為''可相反函數(shù)”，即函數(shù)/(x)與直線y=-x有交點(diǎn)且交點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn).

結(jié)合圖象可得：只有②③④符合要求；

故選：D.

二、填空題（每小題5分，共30分）.

11.（5分）已知幕函數(shù)=/經(jīng)過點(diǎn)（2」），則，（0）=_；

【解答】解：幕函數(shù)f（x）=x"'經(jīng)過點(diǎn)（2,；）,

即2"'=1,解得機(jī)=-2,

4

所以f(x)=x~2；

所以/（收）=（0）-2=g.

故答案為：—.

2

12.（5分）已知。為第二象限角，且sin6=2,則sin（6+￥）=?

【解答】解：因?yàn)?。為第二象限角，且sinO=2,

3

所以cos6=-正,

3

則sin（6+—）=cos0=一或?.

23

故答案為：-與

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+°）（A>0,ty>0,\（p\<7r）的部分圖象如圖,則函數(shù)f（x）

的單調(diào)遞增區(qū)間為——

44

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/(x)=Asin(s+e)(A＞(),口＞0\(p\＜乃)的部分圖象,

可得A=l,1改=2一」,

2口44

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得乃x'+夕=萬，/.0=四，/(x)=sin(^-x+—).

444

令244一生領(lǐng)Jrx+且2Qr+生，求得24一9轟％2k-—

24244

故函數(shù)的增區(qū)間為[22-：，2-],keZ,

故答案為：［2%—5，2k—5,keZ.

14.(5分)關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx與g(x)=cosx有下面三個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)的圖象平移得至IJ：

②函數(shù)〃幻與函數(shù)g。)在上均單調(diào)遞減；

③若直線x=f與這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別交于不同的A,B兩點(diǎn)，則|AB|,,1.

其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為①②.

【解答】解：對(duì)于①，由于f(x)=sinx=cos(x+^),所以函數(shù)f(x)=sinx的圖象可由函數(shù)

g(x)=cosx的圖象向左平移至個(gè)單位得到；①正確；

2

對(duì)于②，函數(shù)/(x)=sinx在(工，萬)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)=cosx在(工，%)上為減函數(shù);

22

②正確；

對(duì)于③，若直線x=f與這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別交于不同的A,3兩點(diǎn)，則

\AB\=|sin-coV-12|建i嗔0.故③錯(cuò)誤；

4

故正確結(jié)論序號(hào)為①②；

故答案為：①②.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=K+2x，X，l,若函數(shù)y=/(x)-k恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).則實(shí)

X,x>1

數(shù)上的取值范圍為_(-1,0)[1^3]_.

【解答】解：條件等價(jià)于方程〃》)=人有2個(gè)不等實(shí)根，也即函數(shù)/。)與丁=k的圖象有2

個(gè)不同的交點(diǎn)，

故左e(-l,0)[1,3],

故答案為(-1,0)[1,3].

16.(5分)定義：如果函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[。，切上存在/(“<工0<6),滿

足/'(%)=上吐3,則稱函數(shù)>=/(》)是他，加上的“平均值函數(shù)”.X。是它的一個(gè)均

h-a

值點(diǎn)，若函數(shù)/。)=/+如是[7,1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是—[0j+8)_

【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f(x)=d+/nr是[7,1]上的平均值函數(shù)，

則方程%2+mx=/⑴一/㈠),即f+必-=0在(-1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，

1-(-1)

若函數(shù)g(X)=f+如；一〃?在(_]/)內(nèi)有零點(diǎn).

貝=>+4/九.0,解得〃2..0,或門，-4.

g(1)=1>0,^(―1)=1-2/77.g(0)=~m.

對(duì)稱軸：X-――.

2

①機(jī).0時(shí)，g(0)=r%,0,g(1)>0,因此此時(shí)函數(shù)g(x)在(-1,1)內(nèi)一定有零

點(diǎn)..,.機(jī).0滿足條件.

②"4,-4時(shí)，-y..2,由于g(1)=1>0,因此函數(shù)g(x)=f+〃忒-加在(-1,1)內(nèi)不可能

有零點(diǎn)，舍去.

綜上可得：實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［0,+00).

故答案為：［0,+00).

三、解答題(共6小題，共80分).

17.(13分)計(jì)算：

(1)log64+21og63.

(2)夜x⑸蚯

(3)cos120°+tan135°.

【解答】解：(1)log。4+21og63=3+2空=>4+k9=些=皿；

頷Ig6lg6頷

1

,11+11

(2)應(yīng)x&x3=23+2)+2"=2r3"=21=2.

13

(3)cosl20°+tan135°=cos(l800-60°)+tan(l80°-45°)=-cos600-tan45°=-----1=——.

22

18.(13分)已知sina-cosa='

sincr+coscr2

(1)若a為第三象限角，求cosa的值；

(2)求tan(a+?)的值；

(3)求cos2a的值.

【解答】解：(1)已知包"3￡=工=咽心1,.」ana=3=@吧.

sina+cosa2tana+1cosa

a為第三象限角，/.cosa<0,sincr<0,且sin?a+cos?a=1.

七俎.3^ioVio

求得sina=---------,costz=---------.

1010

/、、.?—日/兀、tancr+13+1-

(2)由以上可得，tan(aH—)=----------=------=-2.

41-tan?1-3

(3)cos2a=2cos2a-l=2--1=?

105

19.(13分)已知函數(shù)/(力=|108“％|(4>0,〃。1).

(1)若/(2)=-,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若0V石〈W，且/(2)=/(工2)，求石”2的值;

(3)若函數(shù)/(九)在七，3]的最大值與最小值之和為2,求實(shí)數(shù)〃的值.

【解答】解：(1)依題意，|/og.2|=；,即/0g〃2=；或/%02=—；,

解得〃=4或〃=■!■；

4

(2)依題意，Ilog。石RlOgaWX0<Xj<X2,故k>g0再+1嗚％2=0,即log”(2馬)=。，

故X,X2=1；

(3)顯然當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=|Iog〃x|取得最小值為0,則函數(shù)/(x)在3]的最大值

為2,

若/(g)Hlog”-1l=2,解得a=坐或a=&；

若/(3)=|logfl3|=2,解得”號(hào)或a=G；

結(jié)合(2)可知，只有〃=與或。=6滿足題意.

20.(13分)己知函數(shù)/(x)=4cosxsin(x+馬.

6

(1)求/令)的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程：

(3)對(duì)于任意xe[0,詞均有/(x).J(O)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)/(x)=4cosxsin(x+—).

6

嗎)=0.

(2)依題意，得函數(shù)

冗后]

/(x)=4cosxsin(x+—)=4cosx(-^-sinx+—cosx)=5/3sin2x+2cos2x-l+1

=2(^-sin2x+—cos2x)+1=2sin(2x+—)+1.

226

它的最小正周期為主=〃.

2

函數(shù)/(x)的圖象的對(duì)稱軸方程

^2x+—=k7r+—J求得元=,改》+工,keZ?

6226

(3)對(duì)于任意xw[O,均有/(x)...f(O)成立，

71

f(0)=4cosOsin—=2.

6

2sin(2x+*+l=2,可得x時(shí)，/(y)=2,

所以0</%—.

3

21.(14分)若函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镠,且存在非零實(shí)數(shù)T,使得對(duì)于任意XER,

/。+7)=療。)恒成立，稱函數(shù)/(x)滿足性質(zhì)P(T).

(1)分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質(zhì)尸(1)，并說明理由；

①/(幻=sin2/x；

②g(x)=cos萬x.

(2)若函數(shù)/(乃既滿足性質(zhì)尸(2).又滿足性質(zhì)P(3),求函數(shù)的解析式；

(3)若函數(shù)f(x)滿足性質(zhì)尸(1.01).求證：存在/使得1/(%)|v0.001.

【解答】解：(1)令7=1,則/*+1)=/"),即該函數(shù)的周期為1,

OTT

/(x)=sin2乃尤的周期為一=1,故/(x)滿足性質(zhì)P(1),

2冗

②g(X)=COSTX的周期為至=2,故g(x)不滿足性質(zhì)尸(1),

71

(2)函數(shù)既滿足性質(zhì)P(2).又滿足性質(zhì)P(3),

f(x+2)=2/(x),f(x+3)=3/(%),

.??/(X+3)=f(x+1+2)=2/(x+1)=3/(x)①

X/(x+2)=/(x-l+3)=3/(x-1)=2f(x)②

結(jié)合.f(x+l)=/(x-l+2)=2/(x-l)③，聯(lián)立①②③消去〃x+l)、/(x-1)

解得了(x)=0.

(3)因?yàn)?(x+1.01)=1.01/(x),所以/(x)=p^/(x+1.01),

所以/(-%1=+0(，取X=°，,/'(0-1.01