專題04 導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用（精講）

第1頁（共34頁）專題04·導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用命題規(guī)律切線的相關(guān)問題是高考中的熱門考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空題中，偶爾也會出現(xiàn)在解答題中.特別是近幾年高考中關(guān)于公切線的相關(guān)考點(diǎn)出現(xiàn)較多.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中，作為解題工具具有很重要的地位，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為解決曲線的切線和公切線提供諸多便利.本專題研究導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用，希望對同學(xué)們解決切線和公切線有所幫助.題型歸納題型1求切線【解題技巧】曲線切線方程的求法：1.以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．2.如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．【例1】（2023?江西模擬）已知函數(shù)f(x)=g(x)，x＞0xex+xA．ex﹣y﹣1＝0 B．（e﹣1）x﹣2y+e﹣1＝0 C．2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0 D．3x﹣y+2＝0【分析】由已知求得函數(shù)g（x）的解析式，再求其導(dǎo)函數(shù)，得到g′（1）與g（1）的值，利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且x＜0時(shí)，f（x）=x∴設(shè)x＞0，則﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）=??xe?x?x2∴g（x）＝xex﹣x2，x＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＝ex+xex﹣2x，g′（1）＝2e﹣2，又g（1）＝e﹣1，∴g（x）在x＝1處的切線方程為y＝（2e﹣2）（x﹣1）+e﹣1，即2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是中檔題．【例2】（2023?汕頭一模）已知f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1﹣1，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為．【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義，求得f（x）在x＜0時(shí)的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程．【解答】解：由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，得f（﹣x）＝﹣f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1﹣1，可得x＜0時(shí)，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1+1，x＜0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝e﹣x﹣1，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線的斜率為1，切點(diǎn)為（﹣1，0），則切線的方程為y﹣0＝x+1，即有y＝x+1．故答案為：y＝x+1．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．題型2求切點(diǎn)【解題技巧】已知斜率求切點(diǎn)：已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k．【例1】（2022秋?遵義月考）若直線y＝k（x﹣1）與曲線y＝ex相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合切點(diǎn)同時(shí)在直線、曲線上，即可求解．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），∵y'＝ex，∴k=e又∵y0=ex0y∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，e2）．故答案為：（2，e2）．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的方程，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022春?浙江月考）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x﹣2．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，4）處的切線方程；（2）直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，得切線斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程；（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得切線的斜率和方程，代入原點(diǎn)，解得m，可得切點(diǎn)和切線的方程．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝x3﹣x﹣2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3x2﹣1，可得在點(diǎn)（2，4）處切線的斜率為3×4﹣1＝11，則切線方程為y﹣4＝11（x﹣2），即為11x﹣y﹣18＝0；（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則n＝m3﹣m﹣2，切線的方程為y﹣n＝（3m2﹣1）（x﹣m），代入原點(diǎn)，可得﹣m3+m+2＝﹣3m3+m，解得m＝﹣1，所以切點(diǎn)為（﹣1，﹣2），切線l的方程為y＝2x．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．題型3由切線求參數(shù)【解題技巧】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時(shí)，一般是利用切點(diǎn)P(x0，y0)既在曲線上又在切線上和切線的斜率等于該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值構(gòu)造方程組求解．【例1】（2022秋?淮安期末）直線y＝kx+1與曲線f（x）＝ax3+b相切于點(diǎn)P（1，2），則b＝（）A．13 B．1 C．53【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知可得關(guān)于k，a，b的方程組，求解得答案．【解答】解：由f（x）＝ax3+b，得f′（x）＝3ax2，∵直線y＝kx+1與曲線f（x）＝ax3+b相切于點(diǎn)P（1，2），∴k=3aa+b=22=k+1，解得故選：C．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．【例2】（2023?郫都區(qū)模擬）若直線l：x+y+a＝0是曲線C：y＝x﹣2lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出y＝x﹣2lnx的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)值為﹣1求解切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求得a值．【解答】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)P（m，n），直線x+y+a＝0斜率為﹣1，由題意可得，y'|得m＝1，∴n＝1﹣2ln1＝1，則切點(diǎn)為（1，1），切線方程為y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0．∴a＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查已知切線方程求參數(shù)，是基礎(chǔ)題．題型4切線條數(shù)問題【解題技巧】1．設(shè)點(diǎn)列方程過程同前（求切線過程）．2．切線條數(shù)判斷，實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)橫坐標(biāo)為變量的函數(shù)（方程）零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．【例1】（2023?泰州模擬）若過點(diǎn)P（t，0）可以作曲線y＝（1﹣x）ex的兩條切線，切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2的取值范圍是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）【分析】設(shè)切點(diǎn)(x0，(1?x0)ex0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)P（t，0），結(jié)合韋達(dá)定理可得【解答】解：設(shè)切點(diǎn)(x則切線方程為y?(1?x0∴?(1?x0)ex0=?x0ex∴x0?1=?tx0+x0其中x1x2=1，xy1令g（t）＝（1﹣t）et+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣tet+1，當(dāng)t＜﹣3時(shí)，g'（t）＞0，當(dāng)t＞1時(shí)，g'（t）＜0，∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，﹣3）上遞增，在（1，+∞）上遞減，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，當(dāng)t→﹣∞時(shí)，g（t）→0，當(dāng)t→+∞時(shí)，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即y1故選：D．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，方程思想，韋達(dá)定理的應(yīng)用，函數(shù)思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬中檔題．【例2】（2022春?肥城市期中）過曲線C：f（x）＝x3﹣ax+b外一點(diǎn)A（1，0）作C的切線恰有兩條，則（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)﹣b＝1 C．b＝a+1 D．a(chǎn)＝2b【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線的方程，將切點(diǎn)代入，列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，據(jù)題意此方程有兩個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出兩個(gè)極值，令極值為0，求出a，b的關(guān)系．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣a，過點(diǎn)A（1，0）作曲線C的切線，設(shè)切點(diǎn)（x0，f（x0）），則切線方程為：y＝（3x02﹣a）（x﹣1），將（x0，f（x0））代入得：f（x0）＝（3x02﹣a）（x0﹣1）＝x03﹣ax0+b，即2x03﹣3x02+a﹣b＝0（*），由條件切線恰有兩條，得方程（*）恰有兩根．令u（x）＝2x3﹣3x2+a﹣b，則u′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），顯然有兩個(gè)極值點(diǎn)x＝0與x＝1，于是u（0）＝0或u（1）＝0當(dāng)u（0）＝0時(shí)，a＝b，符合題意；當(dāng)u（1）＝0時(shí)，a﹣b＝1，此時(shí)f（x）＝x3﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1﹣a），f（x）經(jīng)過（1，0），與條件不符．故a＝b．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．題型5求公切線【解題技巧】1．共切點(diǎn)的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點(diǎn)的公切線問題：先設(shè)出切點(diǎn)后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為斜率和原函數(shù)與切線方程均過切點(diǎn)這兩點(diǎn)列方程．【例1】（2022秋?贛州月考）若函數(shù)f(x)=3x+1x?3(x＞0)的圖象與函數(shù)g（x）＝txex的圖象有公切線l，且直線l與直線y=?A．1e B．e2 C．1e或2e D．【分析】先由題意可得直線l的斜率k＝2，再根據(jù)l與f（x）相切求切線l的方程，再設(shè)切線l與g（x）＝txex切于點(diǎn)P（x0，y0），接著根據(jù)切點(diǎn)的特點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，最后再解方程組即可得解．【解答】解：由題意可得直線l的斜率k＝2，令f'(x)=3?1x2=2，（x＞0），∴∴切線l的方程為y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，設(shè)切線l與g（x）＝txex切于點(diǎn)P（x0，y0），又g′（x）＝tex（x+1），∴y0=2x∴x0x0+1=2x0?12，∴2x∴t=1e或t＝4故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求切線，方程思想，屬中檔題．【例2】（2022?通遼模擬）已知直線l是曲線y＝ex﹣1與y＝lnx+1的公共切線，則l的方程為．【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求解切線方程，利用兩條曲線的切線方程相同，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：直線l與曲線y＝ex﹣1相切，切點(diǎn)為（a，ea﹣1），y′＝ex，切線的斜率為：ea，切線方程為：y﹣ea+1＝ea（x﹣a），即y＝eax﹣aea+ea﹣1．直線l與y＝lnx+1相切，切點(diǎn)為（b，lnb+1），所以y′=1x，切線的斜率為：1b，切線方程為：y﹣lnb﹣1=1b（x﹣b），即：y直線l是曲線y＝ex﹣1與y＝lnx+1的公共切線，可得1b=ealnb=?aea+ea所以l的方程為：y＝ex﹣1或y＝x．故答案為：y＝ex﹣1或y＝x．【點(diǎn)評】本題考查曲線的切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．題型6公切線條數(shù)問題【解題技巧】1．共切點(diǎn)的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點(diǎn)的公切線問題：先設(shè)出切點(diǎn)后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為斜率和原函數(shù)與切線方程均過切點(diǎn)這兩點(diǎn)列方程．【例1】（2022?昆都侖區(qū)校級一模）曲線f（x）＝ax2（a＞0）與g（x）＝lnx有兩條公切線，則a的取值范圍為．【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出各自曲線上的切點(diǎn)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程，由已知的兩條切線得到方程有兩個(gè)解，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到a的范圍．【解答】解：f（x）＝ax2的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝2ax，g（x）＝lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1設(shè)切線與f（x）＝ax2相切的切點(diǎn)為（s，t），與曲線g（x）＝lnx相切的切點(diǎn)為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2as=1m=t?ns?m，又t＝as2∴2as=1m=as2?lnms?m設(shè)h（s）＝as2﹣ln（2as）﹣1，∴h'（s）＝2as?2a∵a＞0，s＞0，∴由h'（s）＞0，得到當(dāng)s＞12a時(shí)，h′（s）＞0，h（當(dāng)0＜s＜12a時(shí)，h′（s）＜0，h（即有s=12a時(shí)，h（s）取得極小值，也為最小值，且為h（12a）＝﹣由恰好存在兩條公切線，即h（s）＝0有兩解，且h（0）→+∞，當(dāng)s→+∞，f（s）→+∞，∴只要h（12a）＜0，可得a的范圍是a＞∴a的取值范圍為（12e故答案為：（12e【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．【例2】（2023?安徽模擬）已知直線l與曲線y＝ex、y＝2+lnx都相切，則直線l的方程為．【分析】分別求出直線l與曲線y＝ex的切線方程，直線l與曲線y＝2+lnx的切線方程，再根據(jù)題意建立方程組，解出即可．【解答】解：設(shè)直線l與曲線y＝ex的切點(diǎn)為（m，em），由y＝ex，得y′＝ex，則直線l的方程為y﹣em＝em（x﹣m），即y＝emx﹣mem+em，設(shè)直線l與曲線y＝2+lnx的切點(diǎn)為（n，2+lnn），由y＝2+lnx，得y'=1x，則直線l的方程為y?(2+lnn)=所以em=1ne所直線l的方程為y＝ex或y＝x+1．故答案為：y＝ex或y＝x+1．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．題型7由公切線求參數(shù)【解題技巧】1．共切點(diǎn)的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點(diǎn)的公切線問題：先設(shè)出切點(diǎn)后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為斜率和原函數(shù)與切線方程均過切點(diǎn)這兩點(diǎn)列方程．【例1】（2022?江蘇模擬）若兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，2e] B．（0，e] C．[2e，+∞） D．（e，2e]【分析】首先設(shè)出兩個(gè)函數(shù)在A，B兩點(diǎn)處的切線，利用待定系數(shù)法將a用x2表示，在構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)最值即可．【解答】解：設(shè)A(xy1'=2x，y故在A處切線為：y?(x12在B處切線為y?(alnx2?1)=所以2x1=構(gòu)造函數(shù)f（x）＝4x2（1﹣lnx），f′（x）＝4x（1﹣2lnx），令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在(0，e)故f(x)∵正實(shí)數(shù)a＞0，∴a的取值范圍是（0，2e]，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線及求解函數(shù)最值，屬于中檔題．【例2】（多選）（2022春?石家莊期末）若兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值可能是（）A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e【分析】設(shè)公切線與兩曲線的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得過切點(diǎn)的切線方程，再由斜率相等、直線在y軸上的截距相等列式，可得a=?4x22(lnx2?1)，令g（x）＝﹣4【解答】解：切線與y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1的切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由y＝x2﹣1，得y′＝2x，由y＝alnx﹣1，得y′=a則兩切線方程分別為y?(x12化簡得y=2x1x?1?又兩條切線為同一條，可得2x1=令g（x）＝﹣4x2（lnx﹣1）（x＞0），得g'（x）＝4x（1﹣2lnx），當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，g'（x）＞0，g當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴∴a∈（0，2e]．結(jié)合選項(xiàng)可得，正實(shí)數(shù)a的取值可能是ABD．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．題型8切線應(yīng)用:距離問題【解題技巧】1．一般的距離問題：當(dāng)直線l平移到與曲線C相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q到直線l的距離最小.再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．2．距離公式轉(zhuǎn)化型：①距離公式形式：平方和；②以此還可以類比斜率公式形式．【例1】（2022?南京模擬）已知點(diǎn)A在曲線y＝ex上，點(diǎn)B在直線y＝x﹣2上，則點(diǎn)A，B之間的距離的最小值為．【分析】設(shè)A（x0，ex0【解答】解：設(shè)A（x0，ex0），由y＝ex，得則y'|x=x0=ex0∴點(diǎn)A，B之間的距離的最小值為|0?1?2|1故答案為：32【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．【例2】（2022春?邢臺月考）已知點(diǎn)P是函數(shù)f（x）＝x2的圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的最短距離是．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求切點(diǎn)到直線的距離即為所求．【解答】解：∵y＝x2，∴y′＝2x，令y′＝2x＝1，可得x=1∴與直線y＝x﹣2平行的直線與曲線y＝x2的切點(diǎn)為（12，1（12，14）到直線y＝x﹣2的距離d∴點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的最短距離是72故答案為：72【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問題，是中檔題．題型9切線應(yīng)用:存在或恒成立問題【解題技巧】利用切線作為“臨界線”放縮．這類思維，有時(shí)也應(yīng)用于大題的不等式證明，稱之為“切線放縮”．【例1】（2022春?東區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝lnx，g（x）＝ax+1，若存在x0≥1e使得f（x0）＝g（﹣x0），則實(shí)數(shù)【分析】由題意可得a=1?lnx0x0在x0≥1e上有解．設(shè)h（x）【解答】解：由f（x0）＝g（﹣x0），可得lnx0＝﹣ax0+1，即a=1?lnx0x0設(shè)h（x）=1?lnxx（x≥1e），h′（當(dāng)x＞e2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)1e≤x＜e2時(shí)，h′（x）＜0，h（可得h（x）在x＝e2處取得極小值，且為最小值?1又h（x）的最大值為h（1e）＝2e所以?1e2≤a≤2e，即a的取值范圍是[故答案為：[?1e2【點(diǎn)評】本題考查存在性問題解法，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．【例2】（多選）（2022春?撫順期末）已知函數(shù)f(x)=??x2?2x，x≤0，xlnx，x＞0，若關(guān)于x的不等式f（x）＞ax﹣eA．﹣1 B．0 C．12 【分析】將恒成立轉(zhuǎn)化成f（x）的圖象恒在直線y＝ax﹣e的上方，再數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：∵f（x）＞ax﹣e在R上恒成立，∴等價(jià)于f（x）的圖象恒在直線y＝ax﹣e的上方，畫出f(x)=?又直線y＝ax﹣e恒過點(diǎn)（0，﹣e），①當(dāng)直線與y＝xlnx，x＞0相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)P（x0，x0lnx0），y'＝lnx+1，可得k＝1+lnx0，由1+lnx0=x0ln②當(dāng)直線與y=??直線y＝ax﹣e與半圓（x+1）2+y2＝1（y≤0）相切，如圖，由|?a?e|a2+1=1，解得a=1?故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查考查數(shù)形結(jié)合法解恒成立問題，導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，直線與圓相切，屬中檔題．題型10切線應(yīng)用:零點(diǎn)問題【解題技巧】對于函數(shù)與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以借助于切線（臨界線）來求解，但是一定要注意函數(shù)一般情況下，是比較簡單的凸凹函數(shù)．【例1】（2023?二七區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）滿足f(x+1)=ax+a，x≤?1，ln(x+1)，x＞?1．，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣f（﹣xA．(?1e，0) B．(0，1【分析】畫出f（x），f（﹣x）的圖象，因?yàn)閥＝ax與y＝﹣ax，y＝lnx與y＝ln（﹣x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且y＝ax與y＝﹣ax交于原點(diǎn)，要使f（x）＝f（﹣x）恰有5個(gè)零點(diǎn)，y＝lnx與y＝﹣ax的圖象必需有兩個(gè)交點(diǎn)，求出y＝lnx與y＝﹣ax相切時(shí)a的值可得答案．【解答】解：因?yàn)閒(x+1)=ax+a，x≤?1所以f(x)=ax，x≤0lnx，x＞0，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以f（x），f（﹣x）的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)，畫出f（x），f（﹣x）的圖象，由圖象可得，因?yàn)閥＝ax與y＝﹣ax，y＝lnx與y＝ln（﹣x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且y＝ax與y＝﹣ax交于原點(diǎn)，要恰有5個(gè)零點(diǎn)，則y＝ax與y＝ln（﹣x），y＝lnx與y＝﹣ax的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y＝lnx與y＝﹣ax的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)（m，n），此時(shí)切線的斜率為y'=1x=1m=nm，可得n即?a=1e，交點(diǎn)所以要使函數(shù)g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a∈(?1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．【例2】（2022春?岳普湖縣月考）若關(guān)于x的方程x（|x|+a）＝1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的可能取值（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3【分析】圓方程可化為|x|+a=1x，作出函數(shù)y＝|x|+a和y【解答】解：因?yàn)閤＝0不是方程的解，原方程可化為|x|+a=1則條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|x|+a和y=1作出函數(shù)圖像如下：當(dāng)a≥0時(shí)，僅有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合；當(dāng)a＜0時(shí)，結(jié)合圖像，由方程﹣x+a=1x（x＜0）有一解，可得所以a＜﹣2符合要求．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．最新模擬一．選擇題1．（2023?洪澤區(qū)校級開學(xué)）若直線y＝3x+m與函數(shù)f（x）＝xex﹣3lnx+5的圖象相切于點(diǎn)A（x0，y0），則x0+lnx0＝（）A．3 B．ln3 C．e3 D．﹣ln3【答案】B【題型】求切點(diǎn)【解析】解：由題意可得f'(x)=(x+1)e由已知可得x0＞0，f'(x0)=(可得ex0=3x0，兩邊取自然對數(shù)可得x0所以x0+lnx0＝ln3．故選：B．2．（2022?淮安模擬）已知函數(shù)f（x）＝cos2x，x∈（0，π）在x＝x0處的切線斜率為85，則sinx0﹣cosx0A．?35 B．35 C．?【答案】D【題型】求切點(diǎn)【解析】解：由f（x）＝cos2x，得f′（x）＝﹣2sin2x，∴f′（x0）＝﹣2sin2x0=85，即sin2x0∵x0∈（0，π），且sin2x0＝2sinx0cosx0?45＜0，∴x0∈（π則sinx0﹣cosx0=(sin故選：D．3．（2022秋?鄠邑區(qū)期末）若曲線y＝x2+ax+b在點(diǎn)（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【題型】由切線求參數(shù)【解析】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，由題意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．∴a+b＝2．故選：A．4．（2023?榆林一模）已知函數(shù)f（x）＝alnx+x2的圖象在x＝1處的切線方程為3x﹣y+b＝0，則a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【題型】由切線求參數(shù)【解析】解：∵f（x）＝alnx+x2，∴f'(x)=a又f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為3x﹣y+b＝0，∴f'（1）＝a+2＝3，∴a＝1，∴f（x）＝lnx+x2，∴f（1）＝1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），將其代入切線方程3x﹣y+b＝0中可得：3﹣1+b＝0，∴b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故選：B．5．（2023?周至縣一模）過點(diǎn)（1，2）可作三條直線與曲線f（x）＝x3﹣3x+a相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】D【題型】切線條數(shù)問題【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為(x則切線方程為y?(x∵切線過點(diǎn)（1，2），∴2?(x∵過點(diǎn)（1，2）可作三條直線與曲線f（x）＝x3﹣3x+a相切，∴a=2x令g（x）＝2x3﹣3x2+5，則g'（x）＝6x2﹣6x，令g'（x）＝0，則x＝0或x＝1，當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，∴g（x）極大值＝g（0）＝5，g（x）極小值＝g（1）＝4，由a=2x可知函數(shù)y＝a與y=2x03∴a的取值范圍為（4，5）．故選：D．6．（2021秋?新鄉(xiāng)月考）已知函數(shù)f（x）＝kx2+kx﹣4lnx，若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A．[2ln25，ln33） B．（2ln25，C．[2ln25，2ln33） D．（2ln25【答案】A【題型】切線應(yīng)用:零點(diǎn)問題【解析】解：由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），從而f（x）＜0等價(jià)于k（x+1）＜4lnx即轉(zhuǎn)化為y＝k（x+1）的圖象在y=4lnx因?yàn)閥=4lnxx，所以當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，故函數(shù)y=4lnxx在（0，e）上單調(diào)遞增，在（畫出函數(shù)y=4lnx如圖所示．A（2，2ln2），B（3，4ln33），C（4，2ln由圖可知KPC≤K＜KPB，即k∈[2ln2故選：A．7．（2022?湖北模擬）若過點(diǎn)（a，b）可以作曲線y＝x?1x（A．b＞a＞0 B．a(chǎn)?1a＜bC．0＜a?1a＜b＜a D．a(chǎn)＞b＞a?【答案】D【題型】切線條數(shù)問題【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，x0?1x0），（x0＞0），y′＝1+1x則切線方程為：y﹣（x0?1x0）＝（1+1x02）（x﹣x0），把點(diǎn)（a，b）代入可得：b﹣（x0?1x0）＝（1+1x02）（a﹣令f（x）＝（b﹣a）x2+2x﹣a，x＞0，b﹣a≠0，則f（x）＝（b﹣a）(x?1a?b)則必須滿足b﹣a＞0，﹣a?1b?a＜0，1a?b＞0，f（0）＝﹣a＞0；或b﹣a＜0，﹣a?1b?a由b﹣a＞0，﹣a?1b?a＜0，1a?b＞由b﹣a＜0，﹣a?1b?a＞0，1a?b＞0，f（0）＝﹣a＜0，解得a＞0，a＞故選：D．8．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）已知直線l：y＝kx（k＞0）既是函數(shù)f（x）＝x2+1的圖象的切線，同時(shí)也是函數(shù)g（x）=pxx+1+lnx(p∈R)的圖象的切線，則函數(shù)gA．0 B．1 C．0或1 D．1或2【答案】B【題型】由公切線求參數(shù)【解析】解：設(shè)A(x1，x1由于f′（x）＝2x，則2x1=k設(shè)B(x2，px由于g'(x)=p(x+1所以2x令h（x）＝2x2﹣x+lnx﹣1，x＞0，則?'(x)=4x?1+所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（1）＝0，則函數(shù)h（x）有唯一零點(diǎn)x2＝1，則p＝4，所以g(x)=4x而g(x)=4xx+1+lnx=lnx?則由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g（x）在(1故選：B．9．（2022?晉中模擬）若兩曲線y＝lnx﹣1與y＝ax2存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，2e] B．[12e?3，+∞) C．【答案】B【題型】由公切線求參數(shù)【解析】解：設(shè)公切線與兩曲線y＝lnx﹣1與y＝ax2的切點(diǎn)分別為（x1，lnx1﹣1），（x2由y'|x=x得1x1=2a令h（x）＝x2（lnx﹣2），則h′（x）＝x（2lnx﹣3），由h′（x）＝0，得x=e∴當(dāng)x∈（e3，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，e3）時(shí)，h′（可得h（x）的最小值為h（e3）=?從而?14a≥?∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1故選：B．二．多選題10．（2022?新羅區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）=1e（ex+1）與g（x）＝ex+1?1A．l的斜率大于12 B．l在x軸上的截距為﹣2C．l的斜率小于12 D．l在y【答案】BC【題型】求公切線【解析】解：設(shè)切點(diǎn)分別為P(x因?yàn)閒′（x）＝ex﹣1，g′（x）＝ex+1，所以ex可得x1﹣1＝x2+1，即x1＝x2+2，則1e所以x1=0，P(0，2e)，Q(?2，0)，所以公切線方程為y?所以選項(xiàng)BC正確．故選：BC．三．填空題11．（2023?福州模擬）已知曲線y＝x3﹣3x2+6x+2在點(diǎn)P處的切線與在點(diǎn)Q處的切線平行，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．【答案】11【題型】求切點(diǎn)【解析】解：曲線y＝x3﹣3x2+6x+2，y′＝3x2﹣6x+6，y″＝6x﹣6，令6x﹣6＝0，可得x＝1，此時(shí)y＝13﹣3×12+6×1+2＝6，所以函數(shù)的對稱中心為（1，6）．曲線y＝x3﹣3x2+6x+2在點(diǎn)P處的切線與在點(diǎn)Q處的切線平行，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為11．故答案為：11．12．（2022?蘇州模擬）若直線y＝k（x﹣2）與曲線y＝ex相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（3，e3）【題型】求切點(diǎn)【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），∵y′＝ex，∴k=e又∵y0=ex0，y0=k(x0?2)故答案為：（3，e3）．13．（2022春?永順縣期中）已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2lnx+x2，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程是．【答案】4x﹣y+3＝0【題型】求切線【解析】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，又f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[2ln（﹣x）+x2]＝﹣2ln（﹣x）﹣x2，則f′（x）=?2x?2x又f（﹣1）＝﹣1，∴f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程是y+1＝4（x+1），即4x﹣y+3＝0．故答案為：4x﹣y+3＝0．14．（2023?梅河口市校級二模）若直線y＝kx與曲線y＝lnx和曲線y＝eax都相切，則a＝．【答案】1【題型】由公切線求參數(shù)【解析】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（m，lnm），∵曲線y＝lnx，∴y′=1x，∴k＝y(tǒng)′|x＝m=又∵切點(diǎn)P（m，lnm）在切線y＝kx上，∴l(xiāng)nm＝km，②由①②，解得k=1直線y=1ex和曲線y＝eax相切，切點(diǎn)為（n，e可得y′＝aeax，aean=1e，ean=ne故答案為：1e15．（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知a∈R，b∈R，則(a?b)2+【答案】2【題型】切線應(yīng)用:距離問題【解析】解：由題意，看成點(diǎn)（a，a）到點(diǎn)（b，1+eb）兩點(diǎn)之間的距離問題，轉(zhuǎn)化為y＝x上的點(diǎn)到函數(shù)y＝1+ex的最小值，設(shè)y＝1+ex與直線y＝x+c的切點(diǎn)為（m，n），那么n=1+eme那么函數(shù)y＝1+ex到y(tǒng)＝x的最小值即為切點(diǎn)到直線y＝x的最小值，所以，最小值d=|2?0|2=2．那么得故答案為：2．16．（2023?山西模擬）若曲線y=ax(x＞0)與曲線y＝2lnx存在公切線，則a【答案】[?2【題型】由公切線求參數(shù)【解析】解：設(shè)公切線與曲線f（x）=ax（x＞0）的切點(diǎn)為（x1，ax1），與曲線g（x）＝2lnx的切點(diǎn)為（x2，2lnx2），∵f'（x）=?ax2∴y＝f（x）在x＝x1處的切線方程為y＝（?ax12）（x﹣x1）+ax同理可得，y＝g（x）在x＝x1處的切線方程為y=2x2x+2由題意可知，?ax12∵ax12=?2x2＜0，∴a方程組①消去x1，整理得a=?x設(shè)lnx2＝t＜1，則a（t）=?(t?1)2et2，∴令a'（t）＝0，解得t＝﹣1，當(dāng)t＜﹣1時(shí)，a'（t）＜0，a（t）單調(diào)遞減；當(dāng)﹣1＜t＜1時(shí)，a'（t）＞0，a（t）單調(diào)遞增，∴a（t）min＝a（﹣1）=?2又∵a（1）＝0，∴?2e≤a＜0，即a故答案為：[?217．（2023?邵陽二模）已知直線l是曲線y＝ln（x﹣2）+2與y＝ln（x﹣1）的公切線，則直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（3+ln22【題型】求公切線【解析】解：由y＝ln（x﹣2）+2，得y′=1x?2，由y＝ln（x﹣1），得y′設(shè)直線l與曲線y＝ln（x﹣2）+2和y＝ln（x﹣1）分別切于（a，ln（a﹣2）+2），（b，ln（b﹣1）），則1a?2=1b?1，即a＝可得ln(b?1)+2?ln(b?1)1=1b?1∴y′＝2，切點(diǎn)為（32，﹣ln2），則切線方程為y＝2（x?32取y＝0，得x=3+ln22．∴直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（故答案為：（3+ln22四．解答題18．（2022春?喀什市校級期中）已知y＝1+lnx．（1）求曲線y＝1+lnx在點(diǎn)P（e，2）處的切線方程；（2）求曲線y＝1+lnx過原點(diǎn)O（0，0）的切線方程．【答案】（1）x﹣ey+e＝0；（2）x﹣y＝0．【題型】求切線【解析】解：（1）由y＝1+lnx求導(dǎo)得：y'=1x，當(dāng)x＝e時(shí)，由點(diǎn)斜式得曲線在點(diǎn)P（e，2）處的切線方程為y?2=1e(x?e)，即x﹣ey所以曲線y＝1+lnx在點(diǎn)P（e，2）處的切線方程x﹣ey+e＝0；（2）由題意知，點(diǎn)O（0，0）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為B（x0，1+lnx0），由（1）知曲線y＝1+lnx在點(diǎn)B處切線斜率為1x切線方程為y?(1+lnx即y=1x0x+lnx0解得x0＝1，于是得所求切線方程為y＝x，所以曲線y＝1+lnx過原點(diǎn)O（0，0）的切線方程為x﹣y＝0．真題在線一．選擇題1．（2021?新高考Ⅰ）若過點(diǎn)（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則（）A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea【答案】D【題型】切線條數(shù)問題【解析】解：法一：函數(shù)y＝ex是增函數(shù)，y′＝ex＞0恒成立，函數(shù)的圖象如圖，y＞0，即切點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上方，如果（a，b）在x軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)（a，b）在x軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果（a，b）在曲線上，只有一條切線；（a，b）在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知（a，b）在圖象的下方，并且在x軸上方時(shí)，有兩條切線，可知0＜b＜ea．故選：D．法二：設(shè)過點(diǎn)（a，b）的切線橫坐標(biāo)為t，則切線方程為y＝et（x﹣t）+et，可得b＝et（a+1﹣t），設(shè)f（t）＝et（a+1﹣t），可得f′（t）＝et（a﹣t），t∈（﹣∞，a），f′（t）＞0，f（t）是增函數(shù)，t∈（a，+∞），f′（t）＜0，f（t）是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)0＜b＜ea時(shí)，上述關(guān)于t的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對應(yīng)兩條切線．故選：D．2．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（）A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1【答案】B【題型】求切線【解析】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函數(shù)f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故選：B．3．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，則（）A．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1 B．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝e，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝e，b＝1【答案】B【題型】由切線求參數(shù)【解析】解：∵y＝aex+xlnx，∴y′＝aex+lnx+1，由在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切點(diǎn)為（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1．故選：B．4．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）曲線y＝2sinx+cosx在點(diǎn)（π，﹣1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0【答案】C【題型】求切線【解析】解：由y＝2sinx+cosx得y′＝2cosx﹣sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴y＝2sinx+cosx在點(diǎn)（π，﹣1）處的切線方程為y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故選：C．5．（2018?全國）若函數(shù)f（x）＝ax2+1圖象上點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y＝2x+1，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．14 【答案】D【題型】由切線求參數(shù)【解析】解：函數(shù)f（x）＝ax2+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝2ax，可得點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2a，由點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y＝2x+1，可得2a＝2，解得a＝1，故選：D．6．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】D【題型】求切線【解析】解：f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函數(shù)f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線的斜率為：1，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為：y＝x．故選：D．二．填空題7．（2022?新高考Ⅰ）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．【答案】（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）【題型】切線條數(shù)問題【解析】解：y'＝ex+（x+a）ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，（x0+a）ex∴切線的斜率k=e∴切線方程為y﹣（x0+a）ex0=（ex0+(又∵切線過原點(diǎn)，∴﹣（x0+a）ex0=（ex整理得：x0∵切線存在兩條，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．8．（2022?新高考Ⅱ）曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【答案】x﹣ey＝0，x+ey＝0【題型】求切線【解析】解：當(dāng)x＞0時(shí)，y＝lnx，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，lnx0），∵y'=1x，∴切線的斜率k=1x0，∴切線方程為y﹣lnx0=1又∵切線過原點(diǎn)，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切線方程為y﹣1=1e(x?e)，即x當(dāng)x＜0時(shí)，y＝ln（﹣x），與y＝lnx的圖像關(guān)于y軸對稱，∴切線方程也關(guān)于y軸對稱，∴切線方程為x+ey＝0，綜上所述，曲線y＝ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案為：x﹣ey＝0，x+ey＝0．9．（2022?全國）曲線y＝xlnx在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為．【答案】x﹣y﹣1＝0【題型】求切線【解析】由f（x）＝xlnx得y'=lnx+x?1x=lnx+1，∴即曲線f（x）＝xlnx在點(diǎn)（1，0）處的切線的斜率為1，則曲線f（x）＝xlnx在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案為：x﹣y﹣1＝0．10．（2021?全國）曲線y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在點(diǎn)（﹣2，3）處的切線方程是．【答案】30x﹣y+63＝0【題型】求切線【解析】解：函數(shù)y＝2x3﹣6x2﹣18x+7的導(dǎo)數(shù)為y′＝6x2﹣12x﹣18，可得曲線在點(diǎn)（﹣2，3）處的切線的斜率為6×4﹣（﹣24）﹣18＝30，則曲線y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在點(diǎn)（﹣2，3）處的切線方程為y﹣3＝30（x+2），即為30x﹣y+63＝0．故答案為：30x﹣y+63＝0．11．（2021?甲卷）曲線y=2x?1x+2在點(diǎn)（﹣1，﹣3）處的切線方程為【答案】5x﹣y+2＝0【題型】求切線【解析】解：因?yàn)閥=2x?1所以y′=2(x+2)?(2x?1)(x+2)2=5則曲線y=2x?1y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0．故答案為：5x﹣y+2＝0．12．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）曲線y＝lnx+x+1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為．【答案】y＝2x【題型】求切線【解析】解：y＝lnx+x+1的導(dǎo)數(shù)為y′=1設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得k＝1+1m=則切線的方程為y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故答案為：y＝2x．13．（2019?天津）曲線y＝cosx?x2在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為【答案】x+2y﹣2＝0【題型】求切線【解析】解：由題意，可知：y′＝﹣sinx?12，∵y′|x＝0＝﹣sin0y＝cosx?x2在點(diǎn)（0，1）處的切線方程：y﹣1=?12x，整理得：故答案為：x+2y﹣2＝0．14．（2019?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（﹣e，﹣1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．【答案】（e，1）【題型】求切點(diǎn)【解析】解：設(shè)A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′=1∴y'|x=x0=1x0，則該曲線在點(diǎn)∵切線經(jīng)過點(diǎn)（﹣e，﹣1），∴?1?lnx即lnx0=ex0，則x0＝故答案為：（e，1）．15．（2019?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y＝x+4x（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y＝0的距離的最小值是【答案】4【題型】切線應(yīng)用:距離問題【解析】解：由y＝x+4x（x＞0），得y′＝1設(shè)斜率為﹣1的直線與曲線y＝x+4x（x＞0）切于（x0，由1?4x02=?1，解得∴曲線y＝x+4x（x＞0）上，點(diǎn)P（2，32）到直線最小值為|2故答案為：4．16．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）曲線y＝3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為．【答案】y＝3x【題型】求切線【解析】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴當(dāng)x＝0時(shí)，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線斜率k＝3，∴切線方程為：y＝3x．故答案為：y＝3x．17．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）曲線y＝2lnx在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為．【答案】y＝2x﹣2【題型】求切線【解析】解：∵y＝2lnx，∴y′=2x，當(dāng)x＝1時(shí)，