菱形的性質(zhì)與判定（知識(shí)講解）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）

專題1.1菱形的性質(zhì)與判定（知識(shí)講解）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性質(zhì)定理與判定定理.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

特別說(shuō)明：：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行

四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.

要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)

1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.

特別說(shuō)明：：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將菱形

分成完全全等的兩部分.

（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另

一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線

互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.

（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)題.

要點(diǎn)三、菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

3.四條邊相等的四邊形是菱形.

特別說(shuō)明：：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種方法

是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.

【典型例題】

類型一、利用菱形的性質(zhì)求角

1.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AH垂直BC,點(diǎn)E是AH上一點(diǎn)，延

長(zhǎng)AH至點(diǎn)F,使FH=EH,

(1)求證：四邊形EBFC是菱形；

(2)如果求證：AC.LCF.

【分析】

(1)根據(jù)題意可證得ABCE為等腰三角形，由AHLCB,則BH=HC,從而得出四邊

形EBFC是菱形；

(2)由(1)得N2=N3,再根據(jù)NBAC=NECF,得N4=N3,由AHLCB,得

Z3+Z1+Z2=9O°,從而得出ACJ_CF.

證明：(1)VAB=AC,AH1CB,

；.BH=HC.

VFH=EH,

...四邊形EBFC是平行四邊形.

XVAH1CB,

.??四邊形EBFC是菱形.

(2)證明：如圖，

?.?四邊形EBFC是菱形.

.*.Z2=Z3=—ZECF.

2

VAB=AC,AH1CB,

Z4=—ZBAC.

2

NBAC=NECF,

N4=N3.

VAH±CB

二Z4+Zl+Z2=90°.

.?.N3+Nl+N2=90°.

即：AC1CF.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌

握.

【變式1】如圖,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,NA=30。.

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫(xiě)作法，保留

作圖痕跡）

（2）在⑴的條件下，連接BF,求NDBF的度數(shù).

【分析】

（1）分別以A、B為圓心，大于LAB長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于線段AB兩側(cè)，連接兩

2

個(gè)交點(diǎn)的直線即為所求；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可以求出/ABD的度數(shù)，再根據(jù)FA=FB可得出/A=NFBA=30。,

再用/ABD—々BA，即可得出NDBF的度數(shù).

解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；

（2）?.?四邊形ABCD是菱形，

AZABD=ZDBC,DA〃CB,

.,?ZABC+ZA=180°.

VZA=30°,

.".ZABC=150°,

/.ZABD=ZDBC=75°

VEF垂直平分線段AB,

r.AF=FB.

NA=NFBA=30°.

.".ZDBF=ZABD-ZFBA=75o-30o=45°.

故答案為（1）見(jiàn)解析；（2）45。

【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的尺規(guī)作圖的方法，熟練掌握；以及菱形的性質(zhì)，注意菱

形的對(duì)角線是平分一組對(duì)角的，這個(gè)性質(zhì)比較容易遺忘，要熟練掌握，靈活利用.

【變式2】如圖，△ABC中，ZACB=90°,￡＞、E分別是BC、BA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。E,

產(chǎn)在OE延長(zhǎng)線上，且AF=AE,若四邊形ACE尸是菱形，求N8的度數(shù).

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得4尸=AC=CE，從而可得AC=CE=AE,再根據(jù)等邊三角

形的判定與性質(zhì)可得44C=60。，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得.

解：???四邊形AC所是菱形，

.?.AF=AC=CE,

-.■AF=AE<

AC=CE-AE-

.?.△ACE是等邊三角形，

NBAC=60°，

又?.?NACB=90°,

：.ZB=90°-ABAC=30°.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

類型二、利用菱形的性質(zhì)求線段

?^2.如圖，在四邊形A3CO中，AB//DC，AB^AD＞對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)0,

AC平分/班。，過(guò)點(diǎn)C作CELA3交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE

(D求證：四邊形ABCD是菱形

(2)若A8=g，BD=4,求OE的長(zhǎng)

【分析】

(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明同。=OC,結(jié)合已知條件先證明四邊形

ABCO是平行四邊形，從而可得結(jié)論；

(2)由勾股定理可求AO的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)可得=1AC,即可得OE的

2

長(zhǎng).

證明:(1)-AB//DC，

AC平分NJMD,

西邊形A8CD是平行四邊形，

???四邊形A8CO是菱形.

(2)四邊形A3CD是菱形.

:BD=4，

A8=至，

【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，直角三角形

的性質(zhì)，證明CD=AB是解本題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在菱形A5C。中，AC=8,BD=6,求△ABC的周長(zhǎng).

【分析】

利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.

解：?.,在菱形A8CD中，AC=8,80=6,

：.AB^BC,ZAOB=90°,A0=4,80=3,

???一=48=,32+42=5,

,AABC的周長(zhǎng)=A3+BC+AC=5+5+8=18.

【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)，利用勾股定理，求出菱形的邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線

BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)若AC=8,BD=6,求AADE的周長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；(2)18.

解：(1)???四邊形ABCD是菱形，

.'.AB/7CD,AC1BD,

，AE〃CD,ZAOB=90°,

VDE1BD,即NEDB=90°,

.?.NA0B=NEDB,

，DE〃AC,

二四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)解：；四邊形ABCD是菱形，AC=8,BD=6,

,,.AO=4,DO=3,AD=CD=5,

四邊形ACDE是平行四邊形，

，AE=CD=5,DE=AC=8,

.,.△ADE的周長(zhǎng)為AD+AE+DE=5+5+8=l8.

類型三、利用菱形的性質(zhì)求面積

已知：如圖，菱形48。中，過(guò)4。的中點(diǎn)E作AC的垂線EF,交A8于點(diǎn)

M,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)廠.如果FB的長(zhǎng)是&,N4EM=30。.求菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積.

【答案】8"4月.

【分析】

首先連接BD,易證得四邊形EFBD為平行四邊形，即可求得AD的長(zhǎng),繼而求得菱形

ABCD的周長(zhǎng)，求出對(duì)角線的長(zhǎng)度，利用菱形的面積=對(duì)角線乘積的一半求出面積.

解：連接BD

???在菱形ABC。中，

J.AD//BC,ACA.BD.

XVEF1AC,

：.BD//EF.

.,?四邊形EFBD為平行四邊形.

:.FB=ED=O.

'：ZAEM=30°

:.BD=2瓜,AC=2五,

是AO的中點(diǎn).

：.AD=2ED=2y/2.

菱形ABCI）的周長(zhǎng)為4x2及=8&,

菱形ABCD的面積為萬(wàn)x2?）x2=4A/3.

【點(diǎn)撥】本題主要平行四邊形、菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在菱形ABCD中，NA與NB的度數(shù)比為1：2,周長(zhǎng)是48cm.求:

（1）兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形的面積.

【分析】

（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得菱形的邊長(zhǎng)為48-4=12cm,然后再證明△ABC是等邊三

角形，進(jìn)而得到AC=AB=12cm,然后再根據(jù)勾股定理得出BO的長(zhǎng)，進(jìn)而可得BD的長(zhǎng)即

可；

（2）根據(jù)菱形的面積公式=對(duì)角線之積的一半可得答案.

解：（1）；菱形ABCD的周長(zhǎng)是48cm,

AB=BC=CD=DA=12cm,

又：NABC與/BAD的度數(shù)比為1：2,ZABC=60°,

.,.△ABC是正三角形，AC=AB=12cm,又/ABO=30。，

；.A0=6cm,BO=AB2-AO2=673cm>BD=12Qcm,

(2)S菱形ABCD=gACBD=72bcm2.

【變式2】如圖，四邊形ABC。是菱形，AC=8,BD=6,O”_LAB于點(diǎn)〃，求

的長(zhǎng)度.

24

【答案】DH=三

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)與勾股定理求出AB,最后由菱形ABCO的面積

=ABDH=-ACBD進(jìn)行求解.

2

解：???四邊形ABCD是菱形，AC=8.BD=6,

：.A0=-AC=4,BO=-BD=3,ZAQB=90°，

22

在汝A4QB中，山勾股定理得AB=5,

?.,菱形ABCD的面積=ABDH=-ACBD,

2

:.5DH=-xSx6,

2

24

:.DH=——.

5

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積計(jì)算：①利用平行四邊形的面積

公式；②菱形面積=,。人(。、〃是兩條時(shí)角線的長(zhǎng)度).

2

類型四、利用菱形的性質(zhì)證明

?>4.如圖，在菱形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且AE=DE,連接CE.

(1)求證：CE=DE.

(2)當(dāng)BE=2,CE=1時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng).

【分析】

(1)證AABET^CBE(SAS),即可得出結(jié)論；

(2)連接AC交BD于H,先由菱形的性質(zhì)可得AHLBD,BH=DH,AH=CH,求出

BH、EH的長(zhǎng)，由勾股定理求出AH的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果.

解：(1)；四邊形ABCD是菱形，

.?.ZABE=ZCBE,AB=CB,

在^ABECBE中，

'AB=CB

<ZABE=NCBE,

BE=BE

/.△ABE^ACBE,

，AE=CE,

VAE=DE,

.*.CE=DE；

(2)如圖，連接AC交BD于H,

???四邊形ABCD是菱形，

AAHIBD,BH=DH,AH=CH,

VCE=DE=AE=I,

，BD=BE+DE=2+1=3,

.,.BH=—BD=-,EH=BE-BH=2--=—,

2222

在RtAAHE中,由勾股定理得：AH=JAE2_EH2=

在RSAHB中，由勾股定理得：AB=JB四+AH?

.?.菱形的邊長(zhǎng)為百.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌

握全等三角形的判定和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1】已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，連接

AE,CF,求證：△ADE^ACDF.

解：試題分析：山菱形的性質(zhì)得出AD=CD,由中點(diǎn)的定義證出DE=DF,山SAS證明

△ADE絲ZXCDF即可.

試題解析：；四邊形ABCD是菱形，，AD=CD,..?點(diǎn)E、F分別為邊CD、AD的中點(diǎn)，

；.AD=2DF,CD=2DE,；.DE=DF,在△ADE和△CDF中，VAD=CD,ZADE=ZCDF,

DE=DF,/.△ADE^ACDF(SAS).

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定.

【變式2】如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D分別作DE_LAB于點(diǎn)E,作DF_LBC于點(diǎn)

F.求證：AE=CF.

【分析】

先由菱形的性質(zhì)得到AD=CD,ZA=ZC,再由AAS證得AAPEMACDR,即可

得出結(jié)論.

證明：???四邊形ABCO是菱形，

:.AD^CD，ZA=NC,

'.'DE±AB>DF±BC,

：.AAED=ACFD^°,

在ZVLOE和△CDF中，

NAED=NCFD

<NA=NC,

AD=CD

AADE=^CDF(AAS),

：.AE=CF.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性

質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型五、添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形

C?5.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,8D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F在BD

上，且BE=DF.

(1)求證：AABE也CDF；

(2)不添加輔助線，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得四邊形AECE是菱形；并給予證明.

【分析】

(1)由四邊形ABCO是平行四邊形，可得AB=CD,AB〃CD,再證明

ZABE=ZCDF,從而可得答案；

(2)補(bǔ)充的條件是：ACJ.3D.(答案不唯一)山四邊形ABCD是平行四邊形，可

得O4=0C,OB=OD,再證明OE=O尸，證明四邊形AECF是平行四邊形，從而可得

結(jié)論.

(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD.

：.ZABE=ZCDF.

又：BE=DF，

：.^ABE^CDF(SAS\.

(2)補(bǔ)充的條件是：ACrBD.(答案不唯一)

證明：???四邊形A3C。是平行四邊形，

，Q4=0C，OB=OD.

BE=DF，

：.OE=OF.

/?四邊形AECF是平行四邊形.

又：ACLBD,

二四邊形Afb是菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判

定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，△ABC中，。、E分別是邊45、4c的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是8c上一點(diǎn)，NB

=NDEF.

(1)求證：四邊形8DEF是平行四邊形；

(2)直接寫(xiě)出當(dāng)AA5C滿足什么條件時(shí)，四邊形尸是菱形.

【分析】

(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OE〃BC,然后證

明根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；

(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得出推出A8=8C即可.

解：(1)：點(diǎn)。、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

DE是△ABC的中位線.

DE//BC.

：.NB=NADE.

又NB=/DEF.

ZADE=NDEF.

BD//EF.

'：DE//BC,BD//EF,

/.四邊形BDEF是平行四邊形.

(2)答案不唯一，如AB=BC.

*/OE是△ABC的中位線

：.BD=—AB,BF=—BC

22

,:AB=BC

：.BD=BF

：.aBDEF是菱形

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與

平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在RtAABC中，ZB=90°,BC=5后，ZC=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)

沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以

每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止

運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過(guò)點(diǎn)D作DF_LBC于點(diǎn)F,連接DE、EF.

(1)AC的長(zhǎng)是,AB的長(zhǎng)是.

(2)在D、E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變化，那么

線段EF與AD是何關(guān)系，并給予證明；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由.

【答案】(1)AB=5,AC=10；(2)EF與AD平行且相等；(3)當(dāng)t=3時(shí)，四邊形AEFD

3

為菱形

【分析】

(1)在RSABC中，NC=30。，貝l」AC=2AB,根據(jù)勾股定理得到AC和AB的值.

(2)先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD〃EF,并且AD=EF,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)

系不變.

(3)求得四邊形AEFD為平行四邊形，進(jìn)而利用菱形的判定與性質(zhì)得出AE=AD時(shí)，求出

t的值，進(jìn)而得出答案.

(1)解：二?在RSABC中，ZC=30°,

，AC=2AB,

根據(jù)勾股定理得：AC2-AB2=BC2,

A3AB2=75,

AAB=5,AC=10；

（2）EF與AD平行且相等.

證明：在ADFC中，ZDFC=90°,ZC=30°,DC=2t,

ADF=t.

又丁AE=t,

AAE=DF,

VABIBC,DF1BC,

???AE〃DF.

???四邊形AEFD為平行四邊形.

.?.EF與AD平行且相等.

（3）解：能；

理由如下：

VAB1BC,DF±BC,

???AE〃DF.

又?.?AE=DF,

???四邊形AEFD為平行四邊形.

VAB=5,AC=10.

AAD=AC-DC=10-2t.

若使口AEFD為菱形，則需AE=AD,

即1=10-2l,解得：1=—.

3

即當(dāng)時(shí)，四邊形AEFD為菱形.

3

故答案為：（1〉A(chǔ)B=5,AC=10；（2）EF與AD平行且相等；（3）當(dāng)t=W時(shí)，四邊形

3

AEFD為菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)，以及30。角的宜角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型六、證明已知四邊形是菱形

罌，6.如圖，oABCD中，BC=2AB,AB1AC,分別在邊BC、AO上的點(diǎn)E

與點(diǎn)尸關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF、AE.CF、DE.

(1)試判定四邊形AECE的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)求證：AE±DE

【答案】(1)四邊形AEC產(chǎn)為菱形，理由詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)題意可證明△AQEgACOE,再由OE=OF,E尸_LAC可得到四邊形

AECb是菱形；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解.

解：解：(1)四邊形AECR為菱形，理由如下

由口ABCD可得AD//BC,從而ZC4F=ZACE

設(shè)AC與Ef相交于點(diǎn)。

???點(diǎn)E與點(diǎn)/關(guān)于AC對(duì)稱

/.OE=OFS.EF±AC

在AAOb和ACQE中

:.AAOFACOE

...Q4=0C，又OE=OF,EFJ_AC

二四邊形AECF為菱形，

(2)VABVAC>據(jù)(1)EF1AC

EF//AB

又,；OA=OC：.BE=CEAF=DF

■■AE1DE.

【點(diǎn)撥】此題主要考查菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)、

菱形的判定定理及直角三角形的性質(zhì).

【變式1】如圖，在中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在BO

和的延長(zhǎng)線上，且DE=BF,連接AE,CF.

(1)求證：&ADE冬YCBF；

(2)連接A/，CE,當(dāng)3。平分NA8C時(shí)，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【分析】

(1)利用SAS證明AADERCBF即可求解；

(2)先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再證明對(duì)角線互相垂直即可得到為菱形.

解:(1)???四邊形ABCD是平行四邊形,

，AD=BC,NADB=/CBD,

又；NADB+NADE=180。，ZCBF+ZCBD=18O0,

,ZADE=ZCBF

在AADEfUACBF中

/.△ADE^ACBF；

(2)四邊形AFCE是菱形

理由如下：

如圖，連接AP，CE,

由(1)得^ADE^ACBF

.?.CF=AE,ZE=ZF

；.AE〃CF

AAEPCF

...四邊形AFCE是平行四邊形

當(dāng)BD平分/ABC時(shí)，ZABD=ZCBD

又：AD〃CB,

二ZADB=ZDBC

.?.NABD=NABD

/.AD=AB=BC

...△ABC為等腰三角形

由等腰三角形性質(zhì)三線合一可得AC1EF

...平行四邊形AFCE是菱形

【點(diǎn)撥】此題主要考查特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的判定定

理.

【變式2】如圖，將AABC沿著AC邊翻折，得到AADC,且AB//C0.

(1)判斷四邊形ABCQ的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若AC=16,BC=10,求四邊

形ABC。的面積.

【分析】

(1)由折疊的性質(zhì)得出AB=AD，BC=CD,ABAC=ADAC，ZBCA=ZDCA,

由平行線的性質(zhì)得出NBC4=N￡)G4,得出NBAC=ZQ4c=N3C4=Nr>C4,證出

AD/IBC,AB=AD=BC=CD,即可得出結(jié)論；

(2)連接BD交ACT。，由菱形的性質(zhì)得出AC_LBO,OA=OB=-AC=S,

2

OB=OD,由勾股定理求出QB=J3C2_OC2=6,得出6。=2。6=12,由菱形面積

公式即可得出答案.

解：解：(1)四邊形ABCO是菱形；理由如下：

,/AABC沿著AC邊翻折，得到AADC,

???AB=AD，BC=CD，ABAC=ADAC,ZBCA^ZDCA,

'：AB//CD，

???ZBCA=ZDCA,

：.ABAC=ADAC=NBCA=ZDCA.

AAD/IBC,AB=AD=BC=CD，

，四邊形ABC。是菱形；

(2)連接BO交AC于。，如圖所示：

?.?四邊形ABCQ是菱形，

/.AC1BD,OA=OB=：C=8,OB=OD,

2

OB=y]BC2-OC2=V102-82=6-

，BD=2OB=12,

：.四邊形ABC。的面積=-ACxBD=lxl6xl2=96.

22

【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等

知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明四邊形ABC。是菱形是解題的關(guān)鍵.

類型七、用菱形的性質(zhì)與判定求角度

?^7.如圖1,在菱形A5CD中，AC=2,BZ>=26，AC,3。相交于點(diǎn)O.

(1)求邊AB的長(zhǎng)；

(2)求N5AC的度數(shù)；

(3)如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形ABC。的頂點(diǎn)A處，繞

點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60。角的兩邊分別與邊8C,CO相交于點(diǎn)E,F,連接ER判

斷AAEf是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由.

【分析】

(1)由菱形的性質(zhì)得出OA=1,OB=^，根據(jù)勾股定理可得出答案；

(2)得出△ABC是等邊三角形即可；

(3)由4ABC^AACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABEgZ\ACF；可得AE=AF,

根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形推出即可.

解：(1):四邊形ABCD是菱形，

AACIBD,

...△AOB為直角三角形，且OA=，AC=1,OB=-BD=y[?>.

22

?#-AB=ylo^+OB2=J/+(G)2=2；

(2)?.?四邊形ABCD是菱形，

，AB=BC,

由⑴得：AB=AC=BC=2,

/.△ABC為等邊三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等邊三角形，

?由(1)知，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2,AC=2,

.,.△ABC和4ACD是等邊三角形，

NBAC=NBAE+NCAE=60。，

ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在4ABE和4ACF中，

.?.△ABET/XACF(ASA),

，AE=AF,

■:NEAF=60°,

.??△AEF是等邊三角形.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖

形的旋轉(zhuǎn).解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

【變式1】如圖所示，點(diǎn)A是線段8。上一點(diǎn)，AABD和AACE都是等邊三角形.

(1)連結(jié)BE,CD,求證：BE=CD；

(2)如圖所示，將AABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AAB7)'.

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)____度時(shí)，邊A。'落在AE上；

②在①的條件下，延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)P,連結(jié)即'，C。'.當(dāng)線段AB、AC滿足什

么數(shù)量關(guān)系時(shí)，與ACPD全等？并給予證明.

【分析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC,NBAD=NCAE=60,，然

后求出=再利用“邊角邊''證明ABAE和AmC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)

應(yīng)邊相等即可得證；

(2)①求出//ME，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；

②當(dāng)AC=2AB時(shí)，&BDD與ACPD'全等?根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD>=AD，

然后得到四邊形A8D。'是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組時(shí)角可得

ZABD'=NDBD=30"，菱形的對(duì)邊平行可得DP//BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出

AC=AE，/ACE=60。，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出

ZPCD'=ZACD=3Q\從而得到

ZABD=NDBD'=NBD'D=ZACD=ZPDC=30，然后利用“角邊角”證明^BDD

與△CP。'全等.

解：(1)證明：?.?△45。和A4CE都是等邊三角形.

..AB=AD，AE^AC,/BAD=/CAE=60，

ZBAD+ZDAE=ZCAE+ZDAE，

即，84￡=/ZMC,

在和AD4c中，

AB=AD

<NBAE=ZDAC,

AE=AC

.-.△BAE^AZMC(SAS),

BE=CD:

(2)①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60。時(shí)，邊A。'落在AEk.

理由如下：；NBAD=NCAE=60S

/.NDAE=180°-60x2=60°，

???邊47落在AE上，

???旋轉(zhuǎn)角=//ME=6(T.

故答案為60.

②當(dāng)AC=2AB時(shí)，ABDD與KPD'全等.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，A8與AD重合，

：.AB=BD=DD=AD，

四邊形AB。。是菱形，

ZABD'=/DBD'=-/ABD='x60。=30。，DP//BC，

22

?.?△ACE是等邊三角形，

AC^AE,/ACE=60，

?.?AC=248,

:.AE^2AD,

ZPCD'=ZACD'=-=-x605=30,

22

又-：DP//BC，

ZABD=NDBD=NBD'D=NA3=NPCD=NPDC=30°，

在AB。。'與△CP。'中，

NDBD'=ZPCD'

<BD'=CD',

ZBD'D=NPD'C

..△BDD絲^CPD(ASA).

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

綜合性較強(qiáng)，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定時(shí)提到過(guò).

【變式2】如圖，AE/7BF,AC平分NBAE,且交BF于點(diǎn)C,BD平分NABF,且交

AE于點(diǎn)D,AC與BD相交于點(diǎn)O,連接CD

(1)求NAOD的度數(shù)；

(2)求證：四邊形ABCD是菱形.

試題分析：(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NDAC=NBAC,ZABD=ZDBC,然后

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDAB+NCBA=180。，從而得到NBAC+/ABD=L

2

(ZDAB+ZABC)=—xl80°-90°,得到答案/AOD=90°；

2

⑵根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NADB=NDBC,NDAC=/BCA,根據(jù)角平分線定義得出

NDAC=/BAC,ZABD=ZDBC,求出NBAC=NACB,ZABD=ZADB,根據(jù)等腰三角形

的判定得出AB=BC=AD,根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得

出答案.

試題解析：(1)VAC,BD分別是NBAD、NABC的平分線，NDAC=NBAC,

ZABD=ZDBC,：AE〃BF,/.ZDAB+ZCBA=180°,AZBAC+ZABD=—

2

(ZDAB+ZABC)=—xl80°=90°,AZAOD=90°；

2

⑵證明：；AE〃BF,；./ADB=/DBC,/DAC=/BCA,：AC、BD分別是/BAD、

ZABC的平分線，，NDAC=/BAC,ZABD=ZDBC,/.ZBAC=ZACB,ZABD=ZADB,

，AB=BC,AB=AD

，AD=BC,：AD〃BC,...四邊形ABCD是平行四邊形，：AD=AB,.?.四邊形ABCD

是菱形.

考點(diǎn)：菱形的判定.

類型八用菱形的性質(zhì)與判定求線段

C?8.如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD

的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACJ_BD,DO=BO,然后根據(jù)RQAOB的勾股定理求

出B0的長(zhǎng)度，然后根據(jù)BD=2BO求出答案.

解：???四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于。，/.AC1BD,DO=BO,

VAB=5,A0=4,；.B0=,52—42=3,，BD=2BO=2x3=6

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

【變式I】如圖，在AABC和ADCB中，AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點(diǎn)M.

(1)求證：△ABC^ADCB

(2)過(guò)點(diǎn)C作CN〃BD,過(guò)點(diǎn)B作BN〃AC,CN與BN交于點(diǎn)N,試判斷線段BN

與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解：(1)如圖，在AABC和ADCB中，

VAB=DC,AC=DB,BC=CB,

.".△ABC^ADCB.4分

(2)據(jù)已知有BN=CN.證明如下：

?；CN〃BD,BN//AC,

四邊形BMCN是平行四邊形.…?…6分

由(1)知，ZMBC=ZMCB,；.BM=CM,

二四邊形BMCN是菱形.；.BN=CN.(8分)

(1)由SSS可證△ABC^ADCB；

(2)BN=CN,可先證明四邊形BMCN是平行四邊形，由(1)知，ZMBC=ZMCB,

可得BM=CM,于是就有四邊形BMCN是菱形，則BN=CN

【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，AD/7BC,AD=2BC,ZABD

=90°,E為AD的中點(diǎn)，連接BE.

(1)求證：四邊形BCDE為菱形；

(2)連接AC,若AC平分/BAD,AB=2,求菱形BCDE的面積.

【分析】(1)根據(jù)菱形的判定證明即可；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)和三

角函數(shù)解答即可.

(1)證明：；E為4。的中點(diǎn)，

.\AD=2DE=2AE,

"：AD=2BC,

：.DE=BC,

又

.??四邊形BCDE為平行四邊形，

VZABD=90°,E為AO中點(diǎn)，

.,.在RSABO中，AD=2BE,

：.BE=DE,

，四邊形BCDE為菱形；

（2）解：過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)凡如圖所示：

丁AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZDAC,

又?.?4￡）〃8C,

.".ZBCA^ZDAC,

：.ZBCA=ZBAC,

：.AB=BC,

：.AB=BC=BE=DE=AE=2,

...△ABE為等邊三角形，

：.ZBAE=60°,NBDA=30。

二在RtAABO中，BD=>/3AB=2y/3

...在中，BF=BD=73