浙江省寧波市慈溪市西部教研共同體2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案解析

2023學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，本題共10個(gè)小題，滿分30分）1.若，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵∴∴故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知比例的運(yùn)算法則．2.有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②拋擲一枚均勻的骰子兩次，朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和一定不小于2；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于0℃時(shí)冰融化；④如果a，b為實(shí)數(shù)，那么a+b＝b+a．其中是必然事件的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】必然事件指的是一定發(fā)生的事件，據(jù)此分別判斷即可．【詳解】①中，一年最多366天，則367人中，必有2人生日相同，是必然事件；②中，骰子朝上面最小為1，兩次之和最小為2，即一定不小于2，是必然事件；③中，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，低于0℃，冰不會(huì)融化，不是必然事件；④中，根據(jù)加法交換律，a+b＝b+a一定成立，是必然事件故選：C【點(diǎn)睛】本題考查必然事件的判定，注意事件可分為3類：隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件．3.如圖下列條件不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、，補(bǔ)充，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定定理“兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似”確定A正確，不符合題意；B、，補(bǔ)充，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定定理“兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似”確定B正確，不符合題意；C、，補(bǔ)充，得到，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定定理“兩條對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”確定C正確，不符合題意；D、根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定定理，該選項(xiàng)不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)三角形相似的判定，熟記兩個(gè)三角形相似的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．4.將拋物線的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律可得答案．【詳解】解：根據(jù)平移規(guī)律可知，得到的拋物線的解析式是，故選：B．5.若拋物線與y軸交點(diǎn)為（0，﹣3），則下列說法不正確的是【】A.拋物線開口向上B.拋物線的對(duì)稱軸是x=1C.當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為﹣4D.拋物線與x軸的交點(diǎn)為（－1，0），（3，0）【答案】C【解析】【分析】把（0，-3）代入拋物線解析式求c的值，然后再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】把(0,?3)代入y=x2?2x+c中得c=?3，拋物線為y=x2?2x?3=(x?1)2?4=(x+1)(x?3)所以：拋物線開口向上，對(duì)稱軸是x=1，當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值為?4，與x軸的交點(diǎn)為(?1,0),(3,0)；C錯(cuò)誤.故選C.6.如圖，如果與都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），那么與的相似比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性質(zhì)，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出的邊長，運(yùn)用三邊對(duì)應(yīng)成比例，則兩個(gè)三角形相似這一判定定理證明，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，由勾股定理得：，∴；同理可求：，∵，∴，∴，∴與的相似比為，故選：B．7.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OB，OC，由正方形ABCD的性質(zhì)得，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，∵正方形ABCD內(nèi)接于，∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．8.如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（）．A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長，交于點(diǎn)，由題意可得，的長度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如下圖：則的長度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，由題意可得：，由勾股定理可得：，∴，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與正多邊形的性質(zhì)，確定出圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值的位置．9.如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】與關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線的對(duì)稱軸為y軸，因此拋物線與直線的交點(diǎn)和與直線的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)與交點(diǎn)為，則，即在點(diǎn)之間的函數(shù)圖像滿足題意的解集為：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解與關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，有下列結(jié)論；④若點(diǎn)在該拋物線上，則．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象，可以判斷各個(gè)小題是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴，故②錯(cuò)誤；由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可設(shè)拋物線為，∵過點(diǎn)，∴，解得，∵，∴，∴，故③正確，∵拋物線的最低點(diǎn)是，∴若點(diǎn)在該拋物線上，則，故④正確．故選：C．二、填空題（每小題4分，本題共6個(gè)小題，滿分24分）11.如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，則的度數(shù)是________．【答案】##80度【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，即可解答．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．12.已知一個(gè)扇形的半徑為，面積為，則此扇形的弧長為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解此類題目的關(guān)鍵是觀察所給的已知條件：如果已知扇形的半徑和圓心角，則利用公式解答；如果已知扇形的半徑和弧長則利用公式解答．本題已知扇形的半徑和弧長，則利用公式解答，把對(duì)應(yīng)的數(shù)值代入即可求得弧長．【詳解】解：，，．故答案為：．13.從小明、小聰、小慧和小穎四人中隨機(jī)選取2人參加學(xué)校組織的社工活動(dòng)，則小明被選中的概率是________．【答案】【解析】【分析】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；據(jù)此作答：記小明為A、小聰為B、小慧為C、小穎為D，畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式計(jì)算可得．【詳解】解：記小明為A、小聰為B、小慧為C、小穎為D，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等可能結(jié)果，其中小明被選中（其中含有A）的有6種結(jié)果，∴小明被選中的概率是故答案為：．14.如圖，四條平行直線l1，l2，l3，l4被直線l5，l6所截，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，若FG＝3，則線段EF和線段GH的長度之和是________．【答案】6【解析】【分析】【詳解】∵l1//l2//l3，∴EF：FG=AB：BC，即EF：3=1：2，解得EF=；∵l2//l3//l4，∴FG：GH=BC：CD，即3：GH=2：3，解得GH=，則線段EF和線段GH的長度之和==6．點(diǎn)睛：本題考查平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，熟記定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則的度數(shù)是_______．【答案】或【解析】【分析】分①點(diǎn)P在BC的延長線上，②點(diǎn)P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，如圖∵，，∴∴∵以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，∴AC=PC∴∵∴∴②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，如圖由①得，∵AC=PC∴∴故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵．16.如圖（1）中，，D是的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使，延長交于點(diǎn)F，探究的值．（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，則__________；（2）如圖（3）中，，D是的中點(diǎn)，G是邊上一點(diǎn)，（），延長至點(diǎn)E，使，延長交于點(diǎn)F．則________（用含n的式子表示）．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)連接，可證是等邊三角形，結(jié)合條件可推出，即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，證可得，再證即可求解．【詳解】解：（1）取的中點(diǎn)連接，如圖所示：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴；（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵D是的中點(diǎn)，∴，又是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：①；②【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形、中位線定理等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．三、解答題（本題有8小題，共66分；17-19每題6分，20-21每題8分，22-23每題10分，24題12分）17.如圖，半圓O的直徑，弦，（1）求弦的長（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，扇形的面積公式，等底等高三角形的面積相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．（1）連接由同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半可得,證明是等邊三角形，可得；（2）把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，判斷出陰影部分的面積=扇形的面積，根據(jù)扇形的面積公式即可求解【小問1詳解】連接如圖，∴，又∴是等邊三角形，∴；【小問2詳解】∵，∴的面積=的面積，∴陰影部分的面積=弓形的面積的面積=扇形的面積．18.即將在泰州舉辦的江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)帶動(dòng)了我市的全民體育熱，小明去某體育館鍛煉，該體育館有A、B兩個(gè)進(jìn)館通道和C、D、E三個(gè)出館通道，從進(jìn)館通道進(jìn)館的可能性相同，從出館通道出館的可能性也相同．用列表或畫樹狀圖的方注列出小明一次經(jīng)過進(jìn)館通道與出館通道的所有等可能的結(jié)果，并求他恰好經(jīng)過通道A與通道D的概率．【答案】【解析】【分析】通過列表展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好經(jīng)過通道A與通道D的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，求解．【詳解】解：列表如下：CDEAACADAEBBCBDBE∵由表可知共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好經(jīng)過通道A與通道D的結(jié)果有1種，∴P(恰好經(jīng)過通道A與通道D)=．答：他恰好經(jīng)過通道A與通道D的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是列出所有等可能的結(jié)果．19.【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．20.如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）【解析】【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再利用函數(shù)圖象可得時(shí)的取值范圍．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．∴，解得：，∴拋物線為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，∴解得：，，如圖，當(dāng)時(shí)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．21.如圖，已知是⊙的直徑，是所對(duì)的圓周角，．（1）求的度數(shù)；（2）過點(diǎn)作，垂足為，的延長線交⊙于點(diǎn)．若，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，得；根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)，得；根據(jù)垂徑定理、特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）連結(jié)，是直徑，，（2），，∴，，且是直徑．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、含角的直角三角形、三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角、垂徑定理、含角的直角三角形、三角函數(shù)、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，從而完成求解．22.在邊長為3的正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與點(diǎn)A，D重合），射線與射線交于點(diǎn)F．（1）若，求的長．（2）求證：．（3）以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)G．若，求的長．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）通過證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（2）通過證明，可得，可得結(jié)論；（3）設(shè)，則，，由勾股定理可求解．【小問1詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，；小問2詳解】證明：，，又，，，；【小問3詳解】解：設(shè)，則，，在中，，，，．23.如圖，在中，，，以為直徑的交于．（1）求證：；（2）弦交于，若，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）首先連接，由為的直徑，可得，又由中，，由三線合一，可得；（2）首先過點(diǎn)作于，連接，易證得，設(shè)圓的半徑為，然后由勾股定理求得的長，又由，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得與的長，則可求得的值．【小問1詳解】證明：連接，為的直徑，，即，中，，．【小問2詳解】解：過點(diǎn)作于，連接．為的直徑，，為公共角，，，設(shè)圓的半徑為，則，，，，，，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1：圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形或圓弧形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．素材2：為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．

問題解決：任務(wù)1：確定橋拱形狀是拋物線：在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2：擬定設(shè)計(jì)方案：在任務(wù)1的基礎(chǔ)上，給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．任務(wù)3：確定橋拱形狀是圓?。涸趫D2中用適當(dāng)方法求圓弧所在圓的半徑長任務(wù)4：擬定通行方案：在任務(wù)3的基礎(chǔ)上，該河段水位漲達(dá)到最高時(shí)，有一艘貨船它漏出水面高米，船體寬9米需要從拱橋下通過，給出船航行線路，并判斷是否能順利通行．【答案】任務(wù)1：圖見解析，；任務(wù)2：方案一：從頂點(diǎn)處開始懸掛，共可掛7盞燈籠，最左邊一盞掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；方案二：從對(duì)