2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊導(dǎo)學(xué)課件

5二次函數(shù)與一元二次方程第二章二次函數(shù)逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似根的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象的特征與a，b，c的符號(hào)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)感悟新知1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x

軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與一元二次方程根的關(guān)系一般地，由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a

≠0)的圖象可知：如果拋物線y=ax2+bx+c(a

≠0)與x

軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x=x0

是方程ax2+bx+c=0(a

≠0)的一個(gè)根.感悟新知2.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)二者之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，列表如下：感悟新知判別式結(jié)果內(nèi)容b2－4ac>0b2－4ac=0b2－4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x=有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒有實(shí)數(shù)根感悟新知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象a>0a<0感悟新知拋物線與x

軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)沒有交點(diǎn)感悟新知拓寬視野已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，求當(dāng)y=m時(shí)自變量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的函數(shù)值y=m，求自變量x

的值.一元二次方程ax2+bx+c=m的解是拋物線y=ax2+bx+c

與直線y=m

的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).感悟新知二次函數(shù)y=x2－6x+n

的圖象如圖2-5-1，若關(guān)于x的一元二次方程x2－6x+n=0的一個(gè)根為x1=1，則另一個(gè)根x2=________.例15感悟新知解題秘方：緊扣拋物線與x

軸兩交點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系求解.解：由圖象知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1，0).由題知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=－=3.∴拋物線與x

軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(5，0).∴方程的另一個(gè)根為x2=5.可用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.感悟新知1-1.拋物線y=x2+2x+m－1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m

的取值范圍是()A.m<2B.m>2C.0<m

≤2D.m<－21-2.[中考·成都]在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，若拋物線y=x2+2x+k與x

軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則k=_____．A1知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似根的關(guān)系感悟新知2二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象與x

軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此可以借助二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根.感悟新知1.利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象與x

軸的公共點(diǎn)求一元二次方程ax2+bx+c=0的根(1)作出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，確定圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程ax2+bx+c=0的根的個(gè)數(shù).感悟新知(2)觀察圖象，函數(shù)圖象與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，當(dāng)函數(shù)圖象與x

軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是整數(shù)時(shí)，可通過不斷縮小根所在的范圍估計(jì)一元二次方程的根.感悟新知方法提醒估計(jì)一元二次方程的根的方法：對(duì)于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1與x2之間存在一個(gè)根，取x3=，若ax23+bx3+c>0，則取x4=；若ax23+bx3+c<0，則取x4=.這樣不停地取下去，直到達(dá)到所要求的精確度為止.感悟新知(3)交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.感悟新知2.利用二次函數(shù)y=ax2

的圖象與直線y=－bx－c的公共點(diǎn)求方程ax2+bx+c=0的根(1)將方程ax2+bx+c=0化為ax2=－bx－c

的形式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y=ax2

和直線y=－bx－c，并確定拋物線與直線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.感悟新知利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程－x2+2x－3=－8的近似根(結(jié)果精確到0.1).例2解題秘方：畫出二次函數(shù)y=－x2+2x+5的圖象，利用二次函數(shù)的圖象與x

軸的公共點(diǎn)計(jì)算一元二次方程的近似根.感悟新知解：整理方程，得－x2+2x+5=0.作函數(shù)y=－x2+2x+5的圖象如圖2-5-2.感悟新知由圖象可知，拋物線與x

軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在－2和－1之間，3和4之間，即方程－x2+2x－3=－8的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在－2和－1之間，3和4之間，用取平均數(shù)的方法不斷縮小根的取值范圍，從而確定方程的近似根為x1≈－1.4，x2≈3.4.感悟新知2-1.［中考·蘇州］若二次函數(shù)y=ax2+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，則關(guān)于x的方程a(x－2)2+1=0的實(shí)數(shù)根為()A.x1=0，x2=4B.x1=－2，x2=6C.x1=，x2=D.x1=－4，x2=0A知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象的特征與a，b，c的符號(hào)關(guān)系感悟新知3二次函數(shù)y=ax2+bx+c

中，a的符號(hào)決定拋物線的開口方向，ab

的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的大致位置，c

的符號(hào)決定拋物線與y

軸交點(diǎn)的大致位置，b2－4ac

的符號(hào)決定拋物線與x

軸的交點(diǎn)情況，具體如下表：感悟新知字母或式子的符號(hào)圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下b=0對(duì)稱軸為y

軸ab>0(a，b

同號(hào))對(duì)稱軸在y

軸左側(cè)ab<0(a，b

異號(hào))對(duì)稱軸在y

軸右側(cè)感悟新知cc=0圖象過原點(diǎn)c>0圖象與y

軸正半軸相交c<0圖象與y

軸負(fù)半軸相交b2－4acb2－4ac=0圖象與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)b2－4ac>0圖象與x

軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2－4ac<0圖象與x

軸沒有交點(diǎn)感悟新知收藏夾二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a

≠0)的函數(shù)值：當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c；當(dāng)x=－1時(shí)，y=ab+c；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c.感悟新知已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2-5-3，有下列結(jié)論：①a+b+c<0；②

a－b+c>0；③abc>0；④b2<4ac；⑤b=2a.其中正確的結(jié)論有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)B例3感悟新知解題秘方：根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征與字母系數(shù)之間的關(guān)系判斷.感悟新知解：當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y<0，即a+b+c<0，故①正確；當(dāng)x=－1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y>0，即a－b+c>0，故②正確；觀察圖象知拋物線過原點(diǎn)，∴c=0，∴abc=0，故③錯(cuò)誤；∵拋物線與x

軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac

＞0，即b2

＞4ac，故④錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=－1，∴－=－1，∴b=2a，故⑤正確.感悟新知3-1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c