高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 拋物線課時(shí)闖關(guān)（含解析）

第八章第8課時(shí)拋物線課時(shí)闖關(guān)（含解析）一、選擇題1．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A．－2 B．2C．－4 D．4解析：選D.由已知得橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，得p＝4.2．(2010·高考湖南卷)設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．4 B．6C．8 D．12解析：選B.y2＝8x的焦點(diǎn)是F(2,0)，準(zhǔn)線x＝－2，如圖所示，|PA|＝4，|AB|＝2，∴|PB|＝|PF|＝6.故選B.3．已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x解析：選D.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.4．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線eq\f(x2,a)－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是()A.eq\f(1,25) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,3)解析：選B.根據(jù)拋物線定義可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－4，則拋物線方程為y2＝16x.把M(1，m)代入得m＝4，即M(1,4)．在雙曲線eq\f(x2,a)－y2＝1中，A(－eq\r(a)，0)，則kAM＝eq\f(4,1＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a)).解得a＝eq\f(1,9).5．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)解析：選C.依題意得，拋物線C的方程是y2＝4x，直線l的方程是y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－1))消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是eq\f(6,2)＝3，縱坐標(biāo)是y＝3－1＝2，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(3,2)，因此選C.二、填空題6．已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝________.解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3.答案：37．(2012·開封質(zhì)檢)已知拋物線y＝ax2(a≠0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸交于R點(diǎn)，過已知拋物線上一點(diǎn)P(1,2)作PQ⊥l于Q，則(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；(2)梯形PQRF的面積是________．解析：代入(1,2)得a＝2，所以拋物線方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).又Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))，|FR|＝eq\f(1,4)，|PQ|＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8)，所以梯形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(17,8)))×1＝eq\f(19,16).答案：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))(2)eq\f(19,16)8．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí)，測(cè)量水面的寬度為8米，當(dāng)水面上升eq\f(1,2)米后，水面的寬度是________米．解析：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程為x2＝－8y，水面上升eq\f(1,2)米，則y＝－eq\f(3,2)，代入方程，得x2＝－8·(－eq\f(3,2))＝12，x＝±2eq\r(3).故水面寬4eq\答案：4eq\r(3)三、解答題9．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為(eq\f(3,2)，eq\r(6))，求拋物線與雙曲線的方程．解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p＝2c設(shè)拋物線方程為y2＝4c·x∵拋物線過點(diǎn)(eq\f(3,2)，eq\r(6))，∴6＝4c·eq\f(3,2)，∴c＝1，故拋物線方程為y2＝4x.又雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(eq\f(3,2)，eq\r(6))，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,1－a2)＝1.∴a2＝eq\f(1,4)或a2＝9(舍)．∴b2＝eq\f(3,4)，故雙曲線方程為：4x2－eq\f(4y2,3)＝1.10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x.(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3)，∵M(jìn)N⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，故MN的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，解方程組得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).11．已知直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求拋物線的方程．解：由題意得kOD＝eq\f(1,2)，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直線AB過點(diǎn)D(2,1)，∴直線AB的方程為y＝－2x＋5，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，∴Oeq\o(A,\s\up6(→))·Oeq\o(B,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋5,y2＝2px))得4x2－(2p＋20)x