常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第20頁/共20頁江蘇省常州高級中學(xué)2022~2023學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量檢查高一年級數(shù)學(xué)試卷2023.06說明：1．請將所有題目的答案填涂在答卷紙上．2．本卷總分150分，考試時間120分鐘．一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則其在復(fù)平面所對應(yīng)的點為，故其在第四象限，故選：D.2.若、是兩個不重合的平面，①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則.以上說法中成立的有（）個.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面面平行的判定定理可判斷①；根據(jù)已知條件判斷平面與平面的位置關(guān)系，可判斷②；利用線面平行的判定定理可判斷③.【詳解】對于①，設(shè)、為平面內(nèi)兩條相交直線，、為平面內(nèi)兩條相交直線，且滿足，，因為，，，所以，，同理可得，因為、為平面內(nèi)兩條相交直線，故，①對；對于②，設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則、相交（不一定垂直），②錯；對于③，若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，由線面平行的判定定理可知，，③對.所以，真命題的個數(shù)為.故選：C.3.如圖，在正方體中，二面角的大小為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面，可知，同時，可知二面角的平面角為，即可得結(jié)果.【詳解】由題可知：在正方體中，平面由平面，所以，又所以二面角的平面角為，因為，則故選：B【點睛】本題考查二面角的平面角的大小，關(guān)鍵在于找到該二面角的平面角，考查觀察能力以及概念的理解，屬基礎(chǔ)題.4.如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知該幾何體的體積是由半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積，再加上圓的面積即可.【詳解】解：由題意得，球的半徑，圓柱的底面半徑，高，則該幾何體的表面積為.故選：D.5.在中，，點M滿足，若，則BC的值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】取中點O，由已知可確定，利用向量的運算和長度關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造方程求得.【詳解】取中點O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的四等分點，，，，，又，，.故選：C.6.正四面體ABCD中異面直線AB與CD所成角為，側(cè)棱AB與底面BCD所成角為，側(cè)面ABC與底面BCD所成的銳二面角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別根據(jù)異面直線所成角的定義，線面角的定義，以及二面角的定義確定的大小即可得到結(jié)論．【詳解】過A作A在底面的射影O，∵是正四面體，∴O是底面的中心，取的中點，連接，如圖所示，在正四面體中，平面，平面，，又，平面，，則平面，平面，，即異面直線與所成的角為，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影為，則是側(cè)棱與底面所成的角，即，，，側(cè)面與底面所成的角為，∴，∵，，

∵，∴，即，則，即.故選：A7.中，角、、的對邊分別是、、，角的平分線交邊于點．若，，且，則中最長的邊為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合三角形的面積公式可得出，利用余弦定理可求得的值，進而可得出關(guān)于、的方程組，解之即可.【詳解】因為，由，即，整理可得，由余弦定理可得，所以，，即，解得或（舍）.所以，，即，解得或，因為，故中最長的邊為，故選：B.8.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決．二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點即可求解.【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為，而招商引資后經(jīng)濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資凈收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10.一名射擊運動員射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，若他連續(xù)射擊兩次，則下列正確的是（）A.事件“兩次均擊中”與“恰擊中一次”為互斥事件B.事件“兩次均未擊中”與“至少擊中一次”互為對立事件C.事件“第一次擊中”與“兩次均擊中”相互獨立D.該運動員擊中目標(biāo)概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概念判斷ABC選項；先求出該運動員未擊中目標(biāo)的概率，進而可得該運動員擊中目標(biāo)的概率，即可判斷D選項.【詳解】事件“兩次均擊中”與“恰擊中一次”不能同時發(fā)生，屬于互斥事件，故A正確；事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少擊中一次”，故B正確；事件“兩次均擊中”包含了事件“第一次擊中”，故C錯誤；該運動員未擊中目標(biāo)的概率為，則該運動員擊中目標(biāo)的概率為，故D正確.故選：ABD.11.長方體中，，，，點E，點F分別線段AC，的中點，點P，點Q分別為線段AC，上的動點，則下列說法正確的是（）A.存在P，Q,使得 B.三棱錐體積的最大值為10C.若的周長為10，則 D.的最小值為7【答案】AB【解析】【分析】利用線面垂直可得線線垂直判斷A，利用等體積法求出最大體積判斷B，利用三角形邊長的范圍判斷C，將側(cè)面翻折到與平面同一平面，利用三點共線可判斷D.【詳解】對于選項A，因為平面，平面，所以，當(dāng)點P與點C重合，點Q與重合時，，正確；對于選項B，因為平面平面，所以點P到平面的距離h即點P到的距離h，所以點P到平面的最大距離為3，又，所以，所以，即三棱錐體積的最大值為10，正確；對于選項C，因為平面，平面，所以，又，所以在中，，若，則點Q與點重合，此時即的周長為，錯誤；對于選項D，將矩形和矩形展開矩形，則，錯誤.故選：AB12.在圓O內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，．則下列說法正確的是（）A.四邊形ABCD的面積為 B.圓O的半徑為C. D.若于點H，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補及余弦定理和面積公式進行判斷；對于B，利用正弦定理求出該外接圓的直徑；對于C，利用數(shù)量積公式求解判斷；對于D，利用數(shù)量積公式求解判斷．【詳解】對于A，連接，在中，，，，，解得，，，，，，四邊形的面積，故A正確；對于B，設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理得，該外接圓的半徑為，故B錯誤；對于C，過點作于點，過點作于點，所以，,則由垂徑定理得，，，解得，，，，,，故C正確；對于D，由C選項得，，,故D正確．故選：ACD．三、填空題：（本題共4小題，每小題S分，共計20分．）13.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為_____．【答案】4【解析】【分析】利用平均數(shù)、方差的概念列出關(guān)于的方程組，解方程即可得到答案．【詳解】由題意可得：，設(shè)，，則，解得，∴故答案為4．【點睛】本題考查統(tǒng)計的基本知識，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法，屬于基礎(chǔ)題．14.______．【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及和差角公式，結(jié)合輔助角公式即可求解.【詳解】,故答案為：15.甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制（無平局），甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲獲得冠軍的概率為______．【答案】【解析】【分析】分別求出比賽進行了2，局的概率,然后相加，得到答案;【詳解】根據(jù)題意，比賽為“三局兩勝”制（無平局），則甲獲勝分為比賽2局或者比賽3局兩種情況，則甲獲得冠軍的概率為：.故答案為：.16.設(shè)點Q在半徑為1的圓P上運動，同時，點P在半徑為2的圓O上運動．O為定點，P，Q兩點的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點P轉(zhuǎn)過角度時，點Q轉(zhuǎn)過角度，則在運動過程中的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由于,所以，故，故的取值范圍為，故答案為：四、解答題：（本題共6小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知向量，向量與的夾角為，且．（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量，，向量，若，求的最大值并求出此時x的取值集合．【答案】（1）或；（2）3，.【解析】【分析】（1）設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積和向量的模建立方程組并求解作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合確定向量，再求出并借助輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求解任何.【小問1詳解】設(shè)，依題意，，，而，因此，解得或，所以向量的坐標(biāo)是或.【小問2詳解】向量，且，當(dāng)時，，不符合題意，舍去，當(dāng)時，，符合題意，即，則，，因為，則當(dāng)，即時，，所以的最大值是3，此時x的取值集合是.18.如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，，M為上一點，且平面.（1）求證：（2）如果點N為線段的中點，求證：平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件容易證明平面，所以得到；（2）根據(jù)已知條件容易判斷出是中點，取中點，并連接，，則容易說明平面平面，平面，所以得到平面；【詳解】解：（1）平面，平面，，即；又，，、平面，平面，因為平面，；（2）取中點，連接，；平面，平面，，又；是的中點；，平面，平面；平面，同理，平面，，平面，平面平面平面，平面；平面；【點睛】考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，屬于中檔題．19.某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質(zhì)，開設(shè)“田徑隊”和“足球隊”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達標(biāo)測試時，從這兩支隊伍中各隨機抽取100人進行專項體能測試，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計兩組測試的平均成績，（2）若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀，從兩組測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊，再從這人中選出2人做正，副隊長，求正、副隊長都來自“田徑隊”的概率．【答案】（1）“田徑隊”的平均成績?yōu)?3，“足球隊”的平均成績?yōu)?1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計算得到，，再根據(jù)平均數(shù)公式計算得到答案.（2）確定抽取的比例為，列舉出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的情況，得到概率.【小問1詳解】由田徑隊的頻率分布直方圖得：，解得，同理可得．其中“田徑隊”平均成績?yōu)椋?，“足球隊”的平均成績?yōu)椋?【小問2詳解】“田徑隊”中90分以上的有（人），“足球隊”中90分以上有（人）．所以抽取的比例為，在“田徑隊”抽取（人），記作a，b，c，d；在“足球隊”抽?。ㄈ耍涀鰽，B，C．從中任選2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21個，正、副隊長都來自“田徑隊”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6個，故正、副隊長都來自“田徑隊”的概率為．20.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A＝45°，，E為AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段PC的中點．（1）證明：平面PDE；（2）已知M為線段DE的中點，求直線MF與平面PDE所成的角的正切值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點H，證明四邊形FHEB為平行四邊形，由線面平行判定定理即可得證；（2）由題目條件易得，在由面面垂直的性質(zhì)定理證得平面⊥平面，連接,即為直線MF與平面PDE所成的角，,代入即可求出答案.【小問1詳解】取PD的中點,連接,，∵F，分別為PC，PD的中點，∴又∵E為AB的中點，∴，∴，∴FGEB為平行四邊形，∴，又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE.【小問2詳解】在平行四邊形中，因為，所以，又因為A＝45°，可得即，因為平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=，所以平面⊥平面，由（1）可知，，所以平面，連接,即為直線MF與平