專(zhuān)題18 數(shù)學(xué)文化問(wèn)題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)在發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)含的人文成分,這個(gè)人文成分包括以下這些方面的要素，例如包括數(shù)學(xué)概念、公式一數(shù)學(xué)游戲一數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造活動(dòng)+數(shù)學(xué)的發(fā)展史一數(shù)學(xué)發(fā)展社會(huì)背景等數(shù)學(xué)史,還包括日常應(yīng)用中的數(shù)學(xué),以及數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神等。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來(lái)越多，只要我們平時(shí)注意積累和了解這方面的常識(shí)，解題時(shí)注意審題，實(shí)現(xiàn)載體與考點(diǎn)的有效轉(zhuǎn)化，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，問(wèn)題便可迎刃而解．【解題策略】首先在理解古代名人研究的成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合語(yǔ)意進(jìn)行探索，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)為為數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一以古代名人或者成就為背景【典例1】2018?萊蕪?4分）如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足∠PAC=∠PCB=∠PBA，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，三角形的布羅卡爾點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名，布羅卡爾點(diǎn)的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，若PA=，則PB+PC=．【分析】作CH⊥AB于H．首先證明BC=BC，再證明△PAB∽△PBC，可得===，即可求出PB.PC；【解答】解：作CH⊥AB于H．∴===，∵PA=，∴PB=1，PC=，∴PB+PC=1+．故答案為1+．學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)二以古代名著作品為背景【典例2】（2018?福建）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載”繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則符合題意的方程組是（）A． B．C． D．★考點(diǎn)三以科學(xué)技術(shù)為背景【典例3】（2016·陜西）某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力．他們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量．方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線(xiàn)BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線(xiàn)BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米，F(xiàn)G=1.65米．如圖，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．★考點(diǎn)四以其他方面的知識(shí)為背景【典例4】閱讀理解：如圖1，⊙O與直線(xiàn)a、b都相切，不論⊙O如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線(xiàn)a、b之間的距離始終保持不變（等于⊙O的直徑），我們把具有這一特性的圖形成為“等寬曲線(xiàn)”，圖2是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力既可以推動(dòng)物體前進(jìn)，據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)模卣箲?yīng)用：如圖3所示的弧三角形（也稱(chēng)為萊洛三角形）也是“等寬曲線(xiàn)”，如圖4，夾在平行線(xiàn)c，d之間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線(xiàn)間的距離始終不變，若直線(xiàn)c，d之間的距離等于2cm，則萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義下弧長(zhǎng)的計(jì)算，理解“等寬曲線(xiàn)”得出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【講透練活】變式1：（2018廣西南寧）（3.00分）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．2 D．2【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等邊三角形的面積，分別求出即可．變式2：(2017湖北宜昌)閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱(chēng)為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．應(yīng)用：當(dāng)n=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．【考點(diǎn)】KT：勾股數(shù)；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根據(jù)直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，∴Ⅰ、當(dāng)a=5時(shí)，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、當(dāng)b=5時(shí)，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、當(dāng)c=5時(shí)，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)分別為12，13或3，4．學(xué)科&網(wǎng)變式3：（2017江西）釣魚(yú)島自古就是中國(guó)的！2017年5月18日，中國(guó)海警2305，2308，2166，33115艦船隊(duì)在中國(guó)的釣魚(yú)島領(lǐng)海內(nèi)巡航，如圖，我軍以30km/h的速度在釣魚(yú)島A附近進(jìn)行合法巡邏，當(dāng)巡邏艦行駛到B處時(shí)，戰(zhàn)士發(fā)現(xiàn)A在他的東北方向，巡邏艦繼續(xù)向北航行40分鐘后到達(dá)點(diǎn)C，發(fā)現(xiàn)A在他的東偏北15°方向，求此時(shí)巡邏艦與釣魚(yú)島的距離（≈1.414，結(jié)果精確到0.01）變式4：（2017?北京）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線(xiàn)，則所容兩長(zhǎng)方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．（以上材料來(lái)源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》）請(qǐng)根據(jù)該圖完成這個(gè)推論的證明過(guò)程．證明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（S△AEF+S△FCM）．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)．變式5：（2017湖北隨州）風(fēng)電已成為我國(guó)繼煤電、水電之后的第三大電源，風(fēng)電機(jī)組主要由塔桿和葉片組成（如圖1），圖2是從圖1引出的平面圖．假設(shè)你站在A處測(cè)得塔桿頂端C的仰角是55°，沿HA方向水平前進(jìn)43米到達(dá)山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置，此時(shí)測(cè)得葉片的頂端D（D、C、H在同一直線(xiàn)上）的仰角是45°．已知葉片的長(zhǎng)度為35米（塔桿與葉片連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì)），山高BG為10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔桿CH的高．（參考數(shù)據(jù)：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.