數(shù)學(xué)八年級下冊專題17.8 勾股定理章末測試卷（拔尖卷）（人教版）（教師版）

第17章勾股定理章末測試卷（拔尖卷）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2021春?黔南州期末）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，由下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c）【解題思路】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，即可判斷選項A；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，即可判斷選項B；根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項C和選項D即可．【解答過程】解：設(shè)△ABC中，∠A的對邊是a，∠B的對邊是b，∠C的對邊是c，A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠B=12∠A，∠C=1∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+12∠A+1解得：∠A＝（108011∴△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意；B．∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；C．∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；D∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，即a2+c2＝b2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：A．2．（3分）（2021春?金寨縣期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長是（）A．2 B．3.5 C．3 D．2.5【解題思路】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理可得BC，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得DE＝DC，根據(jù)三角形面積公式求出CD，即可求出BD．【解答過程】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC=A∵AD平分∠BAC，∴DE＝DC，∵S△ABC=12AC?BC=12AC?CD+12AB?DE，即12×解得CD＝1.5，∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．故選：D．3．（3分）（2021春?平定縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）A．8 B．12 C．18 D．20【解題思路】在△ABC中，通過勾股定理得AC2＝20，從而解決問題．【解答過程】解：在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，∵四邊形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC＝AC2＝20，故選：D．4．（3分）（2021?遷西縣模擬）如圖，快艇從A地出發(fā)，要到距離A地10海里的C地去，先沿北偏東70°方向走了8海里，到達B地，然后再從B地走了6海里到達C地，此時快艇位于B地的（）A．北偏東20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【解題思路】由AC＝10海里，AB＝8海里，BC＝6海里得AC2＝AB2+BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，再利用平行線的性質(zhì)和互余的性質(zhì)得到∠1，求得∠2．【解答過程】解：如圖，過點B作BD∥AE，∵AC＝10海里，AB＝8海里，BC＝6海里，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC為直角三角形，即∠ABC＝90°，又∵B點在A的北偏東70°方向，∴∠1＝90°﹣70°＝20°，∴∠2＝∠1＝20°，即C點在B的北偏西20°的方向上．故選：B．5．（3分）（2021?河南模擬）如圖所示是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達哥拉斯”圖案，現(xiàn)在有五種正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，6，選取其中三塊（可重復(fù)選?。?，按如圖所示方式組成圖案，使所圍成的三角形是直角三角形，則選取的三塊紙片的面積不可以是（）A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 D．2，4，6【解題思路】如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．依據(jù)三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積進行判斷即可．【解答過程】解：由題意可得，三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積，∵所圍成的三角形是直角三角形，∴斜邊對應(yīng)的正方形的面積＝兩直角邊對應(yīng)的正方形的面積和，又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6，∴選取的三塊紙片的面積不可以是3，4，5，故選：A．6．（3分）（2021春?西城區(qū)校級期中）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每一格長度為1，小正方形的頂點稱為格點，A，B，C，D，E，F(xiàn)都在格點上，以AB，CD，EF為邊能構(gòu)成一個直角三角形，則點F的位置有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【解題思路】先利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理，如果滿足AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，即為直角三角形，解出EF的長，進而得出點F的位置．【解答過程】解：由題意可得，CD＝2，AB=2∵以AB，CD，EF為邊能構(gòu)成一個直角三角形，∴AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，即13+4＝EF2或4+EF2＝13，解得EF=17F點的位置如圖所示．故選：D．7．（3分）（2021春?欽州期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．后人在此基礎(chǔ)上進一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加1得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)．由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”．根據(jù)以上規(guī)律，“由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）A．16 B．17 C．25 D．64【解題思路】直接根據(jù)題意分別得出由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”進而得出答案．【解答過程】解：∵由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為A，∴（82）2故A＝17，故選：B．8．（3分）（2020秋?偃師市期末）如圖，有一個圓柱，底面圓的直徑AB=16πcm，高BC＝12cm，P為BC的中點，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱的表面爬到A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【解題思路】把圓柱的側(cè)面展開，連接AP，利用勾股定理即可得出AP的長，即螞蟻從A點爬到P點的最短距離．【解答過程】解：已知如圖：∵圓柱底面直徑AB=16πcm、母線BC＝12cm，P為∴圓柱底面圓的半徑是8πcm，BP＝6cm∴AB=12×2×8在Rt△ABP中，AP=AB2∴螞蟻從A點爬到P點的最短距離為10cm，故選：B．9．（3分）（2021?長沙模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長為（）A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺【解題思路】設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．【解答過程】解：設(shè)繩索有x尺長，則102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長14.5尺，故選：B．10．（3分）（2021春?梁山縣期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【解題思路】設(shè)每個小直角三角形的面積為m，則S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依據(jù)S1+S2+S3＝45，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，進而得出S2的值．【解答過程】解：設(shè)每個小直角三角形的面積為m，則S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，∵S1+S2+S3＝45，∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，即3S2＝45，解得S2＝15．故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020秋?武侯區(qū)校級月考）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），則xy＝22.5．【解題思路】根據(jù)勾股定理列出方程，進而利用各圖形面積的關(guān)系列式解答即可．【解答過程】解：根據(jù)勾股定理可得：x2+y2＝49，（x﹣y）2＝4，可得：49﹣2xy＝4，解得：xy＝22.5，故答案為：22.5．12．（3分）（2021春?廣安期末）如圖，已知四邊形A，B，C，D，E都是正方形，圖中所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，D的面積依次為4，6，15，則正方形C的面積為5．【解題思路】由題意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，代入計算即可．【解答過程】解：由題意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，∵正方形A，B，D的面積依次為4，6，15，∴SC＝SD﹣SA﹣SB＝15﹣6﹣4＝5，故答案為：5．13．（3分）（2021春?保山期末）在直角三角形ABC中，若AB＝8，AC﹣BC＝2，則三角形ABC的面積為15或60．【解題思路】①當(dāng)AB＝8是斜邊時，根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝64，求得AC?BC＝30，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；②當(dāng)AC為斜邊時，由已知條件得到AC＝BC+2，根據(jù)勾股定理得到BC＝15，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答過程】解：①當(dāng)AB＝8是斜邊時，則AC2+BC2＝AB2＝64，∵AC﹣BC＝2，∴（AC﹣BC）2＝AC2+BC2﹣2AC?BC＝4，∴AC?BC＝30，∴三角形ABC的面積=12AC?②當(dāng)AC為斜邊時，∵AC﹣BC＝2，∴AC＝BC+2，∵AC2＝AB2+BC2，∴（BC+2）2＝82+BC2，∴BC＝15，∴三角形ABC的面積=12AB?BC綜上所述，三角形ABC的面積為15或60，故答案為：15或60．14．（3分）（2021春?環(huán)江縣期末）如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時，水平距離CD＝6m，踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則AC的長是m7.5．【解題思路】設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2．【解答過程】解：設(shè)秋千繩索AB的長度為xm，由題意可得AC＝AB＝xm，四邊形DCFE為矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣3）2+62＝x2，解得x＝7.5，即AC的長度為7.5m，故答案為：7.5．15．（3分）（2021春?平定縣期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，則∠DAB+∠CAB的度數(shù)是45度．【解題思路】作C點關(guān)于AB的對稱點E，連接DE，利用勾股定理得出AD，DE，AE的長，進而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答過程】解：作C點關(guān)于AB的對稱點E，連接AE，DE，如圖所示：∴∠CAB＝∠EAB，由勾股定理得：AD=22+32=13∴AD2+DE2＝AE2，∴△AED是直角三角形，∵AD＝DE，∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，故答案為：45．16．（3分）（2021春?睢陽區(qū)期末）如圖，臺階階梯每一層高20cm，寬40cm，長50cm．一只螞蟻從A點爬到B點，最短路程是130cm．【解題思路】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【解答過程】解：如圖所示，∵它的每一級的長寬高為20cm，寬40cm，長50cm，∴AB=502答：螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程是130cm．故答案為：130cm．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2021春?瀘州期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D為AB上一點，CD＝4，BD＝3．（1）求證：∠BDC＝90°；（2）求AC的長．【解題思路】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC即可．【解答過程】（1）證明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，∴42+32＝52，∴∠BDC＝90°；（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，依題意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，解得AC=25故AC的長為25618．（6分）（2021春?南昌期末）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的俯視示意圖），今推開雙門，門框上點C和點D到門檻AB的距離DE為1尺（1尺＝10寸），雙門間的縫隙CD為2寸，求門寬AB的長是多少寸？【解題思路】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解答過程】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE=12∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，答：門寬AB的長是101寸．19．（8分）（2021春?陽東區(qū)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為ts．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值．【解題思路】（1）由勾股定理求解即可；（2）①由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)∠APB＝90°時，點P與點C重合，則BP＝BC＝4cm，得t＝4；②當(dāng)∠BAP＝90°時，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．【解答過程】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2（2）由題意得：BP＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)∠APB＝90°時，如圖1所示：點P與點C重合，∴BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②當(dāng)∠BAP＝90°時，如圖2所示：則CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，解得：t=25綜上所述，當(dāng)△ABP為直角三角形時，t的值為4s或254s20．（8分）（2020秋?南海區(qū)期末）在△ABC中，（1）如圖1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面積；（2）如圖2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面積．【解題思路】（1）已知△ADC三邊的長度，運用勾股定理的逆定理首先證出CD⊥AB，然后在直角△DCB中，應(yīng)用勾股定理求出BD，則AB＝AD+BD，最后根據(jù)三角形的面積公式得出△ABC的面積；（2）過C作CD⊥BA的延長線于點D，利用勾股定理得出AD的長，進而得出CD的長解答即可．【解答過程】解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD=B∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴△ABC的面積=1（2）過C作CD⊥BA的延長線于點D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，設(shè)AD為x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，則132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝5，∴CD=A∴△ABC的面積=12?AB?CD21．（8分）（2021春?鞏義市期末）如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計劃將這塊四邊形空地進行綠化整理．（1）求需要綠化的空地ABCD的面積；（2）為方便師生出入，設(shè)計了過點A的小路AE，且AE⊥BC于點E，試求小路AE的長．【解題思路】（1）由勾股定理求出AC＝15m，再由勾股定理的逆定理證出△ACD是直角三角形，∠D＝90°，然后由三角形面積公式求解即可；（2）由三角形的面積公式求解即可．【解答過程】解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC=BC2∵CD＝9m，AD＝12m，∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴需要綠化的空地ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD=12AB×AC+12AD×CD=12（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴S△ABC=12BC×AE=12∴17×AE＝8×15，解得：AE=12017（即小路AE的長為12017m22．（8分）（2020秋?項城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C、D重合，連接AE、EB．設(shè)AB、DE交于點G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．請你回答以下問題：（1）填空：∠AGE＝90°，S四邊形ADBE＝12c2（2）請用兩種方法計算四邊形ACBE的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．【解題思路】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EDF＝∠CAB，求得∠ACE+∠CAB＝90°，得到∠AGC＝90°，根據(jù)垂直的定義得到DE⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形ACBE的面積，于是得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠EDF＝∠C