教師招聘考試學(xué)科筆試講義（數(shù)學(xué)）

目 錄第一節(jié) 式與方程 1第二節(jié) 函數(shù) 7第三節(jié) 統(tǒng)計與概率 28第四節(jié) 向量 46第五節(jié) 立體幾何 53第六節(jié) 不等式和復(fù)數(shù) 69第七節(jié) 平面解析幾何 80第八節(jié) 數(shù)列 93第九節(jié) 集合與簡易邏輯 102第十節(jié) 推理與證明 109第十一節(jié) 算法與框圖 115第十二節(jié) 數(shù)學(xué)史 125PAGEPAGE13PAGEPAGE100（一）數(shù)（二）代數(shù)式

??一節(jié)式與方程自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)真分?jǐn)?shù)實數(shù)分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)正無理數(shù)復(fù)數(shù)無理數(shù)負(fù)無理數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)非純虛數(shù)多項式多項式整式有理式單項式代數(shù)式分式無理式（根式）1】在代數(shù)式個。

1m，0，13a，22 x

，x

，

中屬于整式的有（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【例2】若分式2x4的值為0，則x的值為（ ）．x1A2 B1 C．1 D2或1xx2

有意義的x的取值范圍是（ ）x2

x2

x2

A.6

0，則ab（ b2B.6 b2

D.55yx4C.2x4

2x2x42x22x2x42

的值恒為2，則x的取值范圍（ ）x2D.x2x41【例6

x21

x2。x x1 （三）方程（組）方程的次和元：方程中未知數(shù)的最高次數(shù)稱為方程的次，方程中不同未知數(shù)的個數(shù)稱為元。式方程叫做一元一次方程，這里的“元”是指未知數(shù)，“次”是指含未知數(shù)的項的最高axb0（其中a0，a，b是常數(shù)）。（組）1的方程叫二元一次方程。二元一axbyc0（a0b0，a，b，c為常數(shù)）。一般情況下，一個二元一次方程有無數(shù)個解。由幾個一次方程組成并且含有兩個未知數(shù)的方程組，叫二元一次方程組。注意：二元一次方程組不一定由兩個二元一次方程合在一起，方程可以超過兩個，0的二元方程）。2x6如3xy1

也是二元一次方程組。二元一次方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程，同時它也必須是一個數(shù)對，而不能是一個數(shù)。一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一ax2bxc0(a0a為二次項系數(shù)，b為c為常數(shù)項。①直接開平方法：適用于解形如(xa)2b(b0)的一元二次方程。ax2bxc0(a0的一元二次方程。運用配方法解一元二次方程的一般步驟是：1。）。d.化成(xm)2n的形式。e.若n0，選用直接開平方法得出方程的解。ax2bxc0a0b24ac，是方程的兩根，則：bb24ac20方程ax2bxcbb24ac22a0ax2bxc0(a0xxb。1 2 2a0ax2bxc0(a0沒有實數(shù)根。運用公式法解一元二次方程的一般步驟是：b.確定a、b、c的值。計算b24ac的值。若b24ac0，則代入公式求方程的根。若b24ac0，則方程無解。④因式分解法：適用于方程一邊是零，另一邊是一個易于分解成多項式的一元二次方程。（韋達定理）①定理x2xc0（a0）12那么，就有ax2bxcaxx1xx2比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，得xxb ①，acacx1x2a ②。②逆定理12m12n1x2x2xn0。分式方程分式方程的解在求解完成后必須驗證是否為增根（增根不是方程的解，需要舍去）。①在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程。②解這個整式方程的解。0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解，舍去。④寫出原方程的根?！纠?若a b c bcacab 4的根的情況是（ A.有兩個不等的無理數(shù)根 有兩個相等的無理數(shù)根C.有兩個不等的有理數(shù)根 有兩個相等的有理數(shù)根2】分式方程2x1

1

0的解為（ ）。x2

x3

x5

x6

2 x24

x 1x245x27x20?！纠?】設(shè)Qxx3xq且滿足方程p 。a是Qx0的根；寫出以33為根的一元二次方程。

q題海x22x30，原方程應(yīng)變形為A．(x1)22C．(x1)24x的分式方程m3

B．(x1)24D．(x1)221的解是非負(fù)數(shù)則m的取值范圍（ x11xA．m＞2 B．m≥2a2a2且m≠3 a2a2a3．如果a22a10，那么代數(shù)式a4a

的值是（ ）。A．﹣3 B．﹣1C．1 D．3的值等于（ ）。

4 4 m nA．1 B．0C．﹣1 D．14已知mn是方程x23x﹣20的兩個實數(shù)根則m24mn2mn的值（ A．1 B．3C．﹣5 D．﹣9若關(guān)于x的一元二次方程ax2bx30滿足4a2b3，則該方程一定有的根是（ ）。A.1 B.2 C.-1 D.-2若關(guān)于x的一元二次方程kx22x10有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 。8．分解因式：2x212x32 。如果方程kx22x10有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 。x1x23axa20的一個根，求代數(shù)式3a29a1的值。11yy4)12y。12xxm2x20m。若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值。??二節(jié)函數(shù)一、知識要點（一）函數(shù)的概念映射映射的概念fA中的任BABf）AB的映射。記作：f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）→B（象）。映射的性質(zhì)①任意性②有序性③存在性④唯一性⑤封閉性。注意：一對一，多對一是映射；但一對多顯然不是映射。函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。fA中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合AByf(x)xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍Axy值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)xA叫做函數(shù)的值域。（1）函數(shù)的單調(diào)性①函數(shù)的單調(diào)性定義fxIID上的任意兩個x1，x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)D上是增函x1x2f(x1)f(x2fxD上是減函數(shù)。②單調(diào)區(qū)間f(xDyf(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）Dyf(x)的單調(diào)區(qū)間。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則：“同增異減”。③函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足，對于任意的xI都有f(x)Mx0If(x0)MMxI都有f(x)M，x0If(x0)MM為最小值。（2）函數(shù)的奇偶性①函數(shù)的奇偶性定義一般地，如果對于函數(shù)fxxf(x)f(x)，那么函數(shù)fxy軸對稱；fxxf(x)f(x)，那么函數(shù)fx就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。②奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性是相同的，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性是相反的。數(shù)的和、積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。③利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟非奇非偶函數(shù)。fxf（-x）的關(guān)系。)xfxf（x）是奇函數(shù)；注意：f(0)0f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。但奇函數(shù)f(x)x0處有意義，f(00。函數(shù)的周期性①周期函數(shù)yf(x)Tx取定義域內(nèi)的任何值時，f(xT)f(xyf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期。②最小正周期如果在周期函數(shù)fx的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期。③重要結(jié)論f(x)f(xa)f(x)f(x)的周期為a；f(xa

1f(x)

(a0T2a；f(xa)f(xa)，則T2a；函數(shù)圖象的對稱性yf(x)xf(x)2bf(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于點(b)成中心對稱；yf(x)xfx)f(2ax)yf(x)xa成軸對稱；yf(x)f(x)bf(2ax)的圖象關(guān)于點(b)對稱；yf(x)f(x)f(2axxa對稱。1yarcsin1的定義域為（ ）22x【例2】設(shè)映射f:xx3x1，則在f下，象1的原象所成的集合 。3fx是定義在Rfx1fx1f23，則f322的值等于多少（ ）。B.1 C.2 3a4fxogax2xx上為增函數(shù)a的取值范圍應(yīng)是a（ ）。Aa1 B.a0a1C.0a125f(x3x

(1)x，則f(x)3

D.1a12函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 函數(shù)，且在R上是減函數(shù)6fxRx0fxx31；當(dāng)1x1時，fxfx；當(dāng)x1時，fx1fx1。則f6為多少（ ）2 2 2A.2

C.0 D.27fxRgxfx，若agg2，bg28，cg，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）abc指數(shù)函數(shù)定義

cba

bac

bcayax(a0a1)x是自變量，函數(shù)的R。圖象和性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義yax(a0a1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a10a1y yaxy1(0,1)O xyax yyax (0,1)(0,1)ya定義域R值域()過定點圖象過定點()x0y1。奇偶性非奇非偶單調(diào)性R上是增函數(shù)R上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響aa越大圖象越低。公式

anaan個

a(nN*)a01(a0)ap

1(a0，pN*)apm anm

nam(a0，m、nN*，n1)1

n namarasars(a0，r、sQ)arsas(asQ)⑧brarbr(abrQ)對數(shù)函數(shù)定義若axN(a0，且a1)，則x叫做以aNxlogaNa叫N叫做真數(shù)。對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義ylogax(a0a1叫做對數(shù)函數(shù)。圖象a10a1y x1 ylogxa(0,1) (1,0) yax定義域()值域R過定點圖象過定點0)x1y0。奇偶性非奇非偶單調(diào)性在()上是增函數(shù)在()上是減函數(shù)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(x1)x1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越高。公式①loga(MN)logaMlogaN；②log

aN

aMlogaN；③logaMnnlogaM(nR)；④gam

m

M(m、nR且m0)；log

1）；b⑥logab

logab1；logbalogablogbclogcdlogad。冪函數(shù)（1）定義yx(Rx是常數(shù)。（2）冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)①冪函數(shù)的圖象②冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)yxyx2yx31yx2yx1定義域RRR值域RRyyR且y0奇偶性奇偶奇非奇、非偶奇單調(diào)性增x，增x0，減增增，減x0，減【例1】已知點a1在冪函數(shù)fxa1xb的圖象上，則函數(shù)fx是（ ， 2A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.定義域內(nèi)的減函數(shù) D.定義域內(nèi)的增函數(shù)【例2】已知a>1，0xy1，則下列關(guān)系式正確的是（ ）。A.axaylogxalogya

B.xayaD.logaxlogay【例3】已知alog32.5，blog92.2，clog92.5，則（ ）cb

cab

bac

abc【例4】若ab1，0c1，則（ acbcC.alogbcblogac

abcbacc5fxax（a0a1的定義域和值域都是0ab等于 ?！纠?11。若冪函數(shù)fx為奇函數(shù)。且在 ，， 22 上遞減，則等于 。（三）三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)任意角P(y)inyxty。三角x函數(shù)的符號如下：三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+--+tan+-+-sinsin2cos21，cos

tan。三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)①三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysincosytan定義域RRk，kZ 2 期內(nèi)）值域R對稱性對稱軸：Z)2對稱中心：0(kZ)對稱軸：xk(kZ)對稱中心：0(kZ)2 對稱中心：0(kZ)2 周期性22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k2k2 ， 2單調(diào)減區(qū)間2k32k2 ， 2(kZ)單調(diào)增區(qū)間2k2k單調(diào)減區(qū)間2k，+2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間kk 2 ， 2 (kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)②“五點作圖法”x軸相交的三個交點，作圖時的一般步驟為：x2 2 x+02x322yAsin(x+)0A0A0三角恒等變換①誘導(dǎo)公式角2k(kZ)22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan——口訣奇變偶不變，符號看象限②兩角的和差公式sin()sincoscossinsinsintantan1tantansinsintantan1tantan)③二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2tan22tan1tan2①正弦定理a

b

c

2RR是三角形外接圓的半徑。正弦定理的變形：a：b：csinA：sinB：sinC；a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA

anB2R

bnCc。2R 2R②余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC。余弦定理變形為：b2c2a2

a2c2b2

a2b2c2，cosB ，cosC2bc

2ac

2abSABC

1ah1absinC1acsinB1bcsinA2 2 2 2【例1】若tan3，則cos22sin2（ ）46425

4825D.1625【例2】若sin1，則cos2（ 389

79

79

89【例3】若cos3，則sin2（ 4 5 725

15

15

725【例4已知曲線C:ycosx，C:ysin2x2則下面結(jié)論正確的（ 1 2 3 把2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平個單位長度，得到曲線C。6 2把C12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平個單位長度，得到曲線C。12 2把C 11上的各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的2，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C。6 2把C 11上的各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的2，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C。12 2【例5】函數(shù)fxcosx的部分圖象如圖所示，則fx的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）A.k1，k3，kZ B.2k1，2k3，kZ 4 4 4 4 C.k1，k3，kZ

D.2k1，2k3，kZ 4 4 4 4 6】若tan1，則tan= 4 6 【例7】已知sincos1，cossin0，則sin 8fx

x x2sincos

2sin2x。fx的最小正周期；

2 2 2fx在區(qū)間上的最小值。【例9】已知角的頂點與原點Ox軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點P34。5 5 （1）求sin的值；（2）若角滿足sin5，求cos的值。1310ABCDADC90A452求cosADB；2

AB2BD5。

BC。11】在△ABCA，B，Ca，b，c.已知bsinAacos(B

).6B的大小；a=2，c=3b和sin(2AB的值.（四）分段函數(shù)分段函數(shù)①絕對值函數(shù)：x，

x0x0x，x0②符號函數(shù)：ysgnx0，x0③狄利克雷函數(shù)：D(x0x為無理數(shù)（五）函數(shù)的零點y=

f(x)f(x)=0xy=

f(x)的零點．yf(x)f(x)0yf(x)x軸交點的橫坐標(biāo)．即方程f(x)0有實數(shù)根yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．yf(x)在區(qū)間ab上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且f(a)fb)0yf(x)在區(qū)間ab內(nèi)有零點，即存在cab，使得f(c)0cf(x)0的根．（1）f(x)在[ab]上連續(xù)；（2）f(a)f(b)0；（3）在(ab)內(nèi)存在零點．這是零點存在的一個充分條件，但不是必要條件．判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0函數(shù)（a<0）的圖像yx1ox2xyo xyo x方程ax2+bx+c=0（a<0）的根兩個不相等的實根12x1=x2=-b2a沒有實根函數(shù)（a<0）的零點12-b2a沒有零點不等式ax2+bx+c>0（a<0）的解集{x|x1<x<x2}??不等式ax2+bx+c<0（a<0）的解集<或{x|x? b}2aRykox1x2 xax2+bx+c=0根的分布（ykox1x2 xyyyox1x2kxkox1x2 x在(1k2)一根k1<x1<k2<x2<k312?(1k2)布f(k)<0??△>0b>k2a??2a?b<k??件圖像x1<k<x2k<x1<x2x1<x2<k布yyyyyk2k1ox1x2k2xk1ox1x2k3xox1k1k2 x1 22a-b?(kk)f(k1)f(k2)<0或△=0且??f(k3)>0í?f(k2)<0?22a?1??k<- <k?í b?f(k2)>0?件圖像yf(x)x0

limxx0

f(x)f(x0)0xx 存在，則稱函數(shù)0fx0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)fx0f(x0)。lim

f(xf(x0)limylim

f(x0xf(x0)f(xxx0

x0 x 0在，則稱函數(shù)fx0不可導(dǎo)。f(xxx的切線斜率kxxklim

f(x)f(x0)。0 0

x0kf(x)，所以曲線yf(x)yy0f(x)(xx0。

在點(x0，y0)

的切線方程是f(x)0xf(x)0x軸正向的f(x)0x軸平行?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c)0（c為常數(shù)）。(x)x1（為任意實數(shù)），x1

11。12xxx212xxx2(ax)axlna（a0a1），(ex)ex。④(loga

1

（a0，a1），(lnx)1x⑤(sinx)cosx，(cosx)sinx；求導(dǎo)法則若函數(shù)u(x)v(x)在點x0可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)u(x)v(x)在點x0也可導(dǎo)，且f(x0)u(x0v(x0。若函數(shù)u(x)v(x)在點x0可導(dǎo)，則函數(shù)f(x0u(x0v(x0u(x0v(x0。

f(x)u(xv(x)在點x0也可導(dǎo)，且0若函數(shù)vxx0c為常數(shù)，則(cv(x))xxcv(x0)。0若函數(shù)u(x)v(xxv(x)0f(x)u(x)x

也可導(dǎo)，且0 0f(x)u(x0)v(x0u(x0)v(x0)。

v(x) 00v2x00切線方程fxx0fx0yfx（x0，fx0）fx0k。00yfx在點（x0fx0）yfx0fx0xx0。00yfx在點（xfx）yfx

1 xx。0 0極值與最值

fx0若函數(shù)f

在點x0

的某鄰域U(x0)內(nèi)對一切xU(x0)有

f(x0)≥f(x)（或），f

f

在a，b上連

在a，b上一定有最大、最小值。若函數(shù)f

的最大（最小）x0在區(qū)間a，bx0必定是f

的極大（極?。┲迭c。fxx0x0fx00。極值與區(qū)間端點處的函數(shù)值比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值。ex【例1】已知函數(shù)fx nx

gx2個零點，則a的取值范圍是（ .0

B.

C.

.2】已知函數(shù)fx4x33tx26t2xt1，其中tR．當(dāng)t1yf(x在點(0,f(0處的切線方程；當(dāng)t0f(x的單調(diào)區(qū)間；x【例3】已知函數(shù)f(x)2x1，h(x) 。x3 2Fx8fxx2hx2（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；3 3設(shè)aRx的方程lg[

f(x1)2

]2lgh(ax)2lgh(4x)；4f(x)a2lnxx2axa0。f(x的單調(diào)區(qū)間；求所有實數(shù)a，使e1e為自然對數(shù)的底數(shù)。題海

f(xe2x[1e恒成立。1冪函數(shù)fxm24m4xm26m8在上為增函數(shù)則m的值（ ）A.1或3 B.1 C.3 D.2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z則（ ）2x3y5zC.3y5z2x已知alog2

B.5z2x3yD.3y2x5z，bln2， 1，bln2， 13，則，b，的大小關(guān)系為（ 2

bac

cabysin2x的圖象向右平移個單位長度，所對應(yīng)的圖象對應(yīng)函數(shù) 5 10（ ）354，上單調(diào)遞增 4在區(qū)間3，上單調(diào)遞減4 53在區(qū)間4，上單調(diào)遞增 2上單調(diào)遞增2 在ABC中，cosC5，BC1，AC5，則AB（ ）2 5230294 B. C.23029

5D.25在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若ABC為銳角三角形，且滿足sinB12cosC2sinAcosCcosAsinC，則下列不等式成立的是（ ）

A2B

B2Af(xsin2x,求的值。

3sinxsin(xπ0的最小正周期為。2f（x）在區(qū)間[0,2π]上的值域。3

3k1k2 。f(x)x2 2(kZ)f為偶函數(shù)，且在（0，＋∞f的解析式；f在（0，＋∞）k9fx＝-x23x1x[m，m＋1。f；≥1的最大值。10．已知tan4cos5。3 5求cos2的值；求tan的值。2已知△ABC的周長為2AB的長；

1sinA＋sinB＝

2sinC。若△ABC1sinCC的度數(shù)。6ωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.的值；f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.13a＞0f(x)1a，x∈（0，＋∞）．設(shè)0x2y＝fxfl．的方程；lx軸的交點是（x2，0）0x2

1 a1.a在CABC的對邊分別為abc2nAnBnAnB。ab2c求cosC的最小值。fxx3ax2bxc.

（１）y

fx.在點0,f0處的切線方程；（2）設(shè)ab4，若函數(shù)fxc的取值范圍；

??三節(jié)統(tǒng)計與概率（一）排列、組合與二項式定理兩個計數(shù)原理的含義①分類計數(shù)原理（也稱加法原理）辦法中有m2n類辦法中有mnNm1m2m3mn種不同的方法。②分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）n種不同的方法，…在第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2m3mn種不同的方法。注意：分類是獨立的、一次性的；分步是連續(xù)的、多次的。兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類計數(shù)原理中方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成整個事件。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法是完成事件的一個階段，不能完成整個事件。排列n（這里的被取元素各不相同nm個元素的一個排列。n(n1)(n2) m1)n(n1)(n2) m1)n!(nm)!n③排列數(shù)公式：

nm個相乘n

(m,

nN*,mn），如！5 (53)④全排列：n個不同元素全部取出的排列。n1nAnn!01。n組合n（這里的被取元素各不相同nm個元素的一個組合。nnn個mCm表示。n③組合數(shù)公式m Am 1) (nm1) n! *Cnn

AmmA3 3 A3如C55A33④組合性質(zhì)

21 (nm)!m!543321。CmCnm，規(guī)定C0Cn1。n n n nabn的展開式(ab)nC0anb0C1an1bCranrbrCna0bn。n n n nn1項；系數(shù)：依次為組合數(shù)C0C1C2CrCnn n n n n每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列、b的升冪排列展開。二項展開式的通項r1abnr1r1

Cranrbr0rn，rZ。n二項式系數(shù)的性質(zhì)n①在二項展開式中與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；②二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大。nn1項，它的二項式系數(shù)2

nC2最大；Cn當(dāng)nn1n11項，它們的二項式系數(shù)n1Cn2

2 2n1最大。Cn2③系數(shù)和：C0C1Cn2nn n nC0C2C4C1C32n1n n n n n附：一般來說axbyn（a，b為常數(shù)）時均可直接a1或b1AkAk1AkAk1（AkAA AA為Tk1的系數(shù)或系數(shù)的絕對值）的辦法來求解。（二）統(tǒng)計基本統(tǒng)計量

k k x1xxLx。n 1 2 nnx1f1x2f2xk出現(xiàn)fk次（這里f1f2fkn），這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為x1(xfxfxf)，這樣求得的平均數(shù)叫加權(quán)平均數(shù)，其中n 11 22 kkf1，f2

fk叫做權(quán)。③眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。⑤方差、標(biāo)準(zhǔn)差xxx x122x Lx2nx2n

xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，nx是平均數(shù)。方差估計總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差。抽樣①總體和個體總體：所有考查對象的全體。個體：總體中的每一個考察對象。樣本：從總體中所抽取的?部分個體叫做總體的?個樣本?？傮w平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常?樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。樣本平均數(shù)：樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。②簡單隨機抽樣叫做簡單隨機抽樣。最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法。③分層抽樣分層調(diào)查的定義：將總體按其屬性特征分成若干類型，然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的樣本，這種抽樣方法通常叫做分層抽樣。④系統(tǒng)抽樣n的樣本。ａ.N個個體編號；確定分段間隔kN（n是樣本容量）是整數(shù)時，取kN；n ni（i≤k）；k2i+k，再加k3i+2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本。統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表是表達和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計圖表有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、莖葉圖等。（1）條形統(tǒng)計圖條形的寬度必須保持一致，然后把這些條形排列起來，這樣的統(tǒng)計圖叫做條形統(tǒng)計圖。它可以表示出每個項目的具體數(shù)量，如圖所示：特點：易于比較數(shù)據(jù)之間的差別。扇形統(tǒng)計圖概念：利用圓和扇形來表示整體和部分的關(guān)系，即用圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形統(tǒng)計圖主要是反映具體問題中的部分與整體的數(shù)量關(guān)系。扇形100%1，如圖所示：特點易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小。折線統(tǒng)計圖概念：折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后用線段順次把各點連接起來。它既可以表示出項目的具體數(shù)量，又能清楚地反映事物變化的情況。特點：易于顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢，如圖所示：莖葉統(tǒng)計圖概念：植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。特點：①用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。②莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。頻率分布直方圖概念：在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，按照頻率分布表，在平面直角坐標(biāo)系中，橫軸標(biāo)出每個組的頻率端點，縱軸表示 組距方圖，如圖所示，直方圖中各矩形之間沒有空隙。步驟：①求極差②決定組距與組數(shù)③將數(shù)據(jù)分組④列頻率分布表⑤畫頻率分布直方圖（三）概率隨機事件和確定事件隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件；確定事件：必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件；SS的必然事件；SS的不可能事件；確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母ABC，…表示。頻率與概率SnAnAnA頻率。

AAfn

AnAA出現(xiàn)的n對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個P(A)AA的概率。概率的基本性質(zhì)0PA)1；P(E)1P(E)0；（1）古典概型試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1；如果某個事件Am個，那么nAPAm。nAPA事件A包含的可能結(jié)果數(shù)。試驗中所有可能結(jié)果數(shù)（２）幾何概型①幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。②幾何概型中，事件A的概率公式：PA 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積） 。）互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件。ABPAB)PAP(B)；ABPA)1P(B。注意。對立一定互斥，互斥不一定對立。４．條件概率①條件概率的定義對于任何兩個事件AB，在已知事件AB發(fā)生的概率叫做條P(BAP(BAPAB(PA0。P(A)②條件概率的性質(zhì)0P(BA)1；５．獨立事件A、B

ABA、B是相互獨立事件。獨立事件的性質(zhì)如下：ABP(BAP(BP(ABP(BA)P(AP(A)P(B；ABABAB也相互獨立；PAB)PA)P(B)AB相互獨立。6．nk次的概率在n次獨立重復(fù)試驗中，試驗成功的次數(shù)是一個隨機變量，用ξ來表示，事件發(fā)生的概率是P，則在n次獨立重復(fù)試驗中恰好成功k次的概率為nPkCkpk1pnk。n第一步，確定事件的性質(zhì)等可能事件，互斥事件，獨立事件，

即所給問題歸結(jié)為四類事件中某種。和事件，第二步，判斷事件概率的運算積事件，即判斷至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，確定運用加法或乘法原理。等可能事件:PA

m;n互斥事件:PABPAPB;獨立事件:PABPAPB;nn次獨立重復(fù)試驗:PkCkpk1pnk;n條件概率:PB|A離散型隨機變量

PABP(A)如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。離散型隨機變量的分布列X可能取的不同值為1x2inX取每一個值i2，3…，n）PXxipiX的分布列為：

i=1，Xx1xXx1x2xixnPp2ppn隨機變量X的分布列具有的性質(zhì)：①0pi1，i=1，2，3…，n；p1p2LpiLpn=1。二項分布①二項分布（n重伯努利實驗）AA—實驗。

將E獨立重復(fù)的進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立實驗為n重伯努利②二項分布的性質(zhì)nn次獨立重復(fù)試驗中，事件AkCkpk1p)nk(k，n)nnpX:超幾何分布

Bn，p。NM（M>N）n（nN）件產(chǎn)品，CkCnkCnXnPXk)MNM，（k為非負(fù)整CnNXN，M，n的超幾何分布，簡記為X~Hn，M，N。（3）離散型隨機變量的均值與方差若離散隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn①均值（期望）X的均值（數(shù)學(xué)期望）EX=x1p1x2p2LxipiLxnpn，它反映了隨機變量取值的平均水平。37PAGEPAGE38PAGEPAGE101重要公式：E(c)=c(c為常數(shù))；E(cX)=cE(X)；E(X±Y)=E(X)±E(Y)；EaXbaEXb。n nEXiE(Xi)i1 i1X，YEXY)E(X)E(Y)。②方差XpxE(X)2p

E(X)2pxE(X)2X的方差。11 2

nn XDXEXEX2XEX的平均偏離程度。重要公式：nDX xE(X)2p=EXE(X)2k D(c0(c為常數(shù)）D(cX)c2D(x)DaXba2DX。正態(tài)分布正態(tài)分布的定義及其性質(zhì)①定義：若連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為f(x)

(x 21 21

-xX~。

F(x) f(x)dx

1 (x)2 2x e 2x

dx為分布函數(shù)。 ②正態(tài)曲線的性質(zhì)：xx軸不相交；x=PXPX；1

PXPX0.5;x=處達到峰值2；曲線與x軸之間形成的區(qū)域的面積為1；當(dāng)一定時，曲線的形狀由決定，越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

N(μσ2中的

μ0,σ1N(01)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為(x)

1 x2e2,

x。2πX~N0,1Xxx2π叫做正態(tài)分布函數(shù)。(x)x為右邊界、密度曲線為上邊界、x軸為下邊界圖形的“面積”。p(x)xO x(x)1(x)=5。X~N(,2)

F(xxP(aXb(ba) 均勻分布

1 ，axbXf(x)ba

X在區(qū)間(a,b)上X~。

，其他0baF(x)xba1

xaaxbxb

1f(x)0

e

，x0

X服從參數(shù)為的指數(shù)分布?！纠?4同學(xué)各自在周六周天兩天中任選一天參加公益活動則周六周天都有學(xué)參加公益活動的概率為（ ）.18

38

58

78【例2】設(shè)復(fù)數(shù)zx1yi（x，yR），若z1，則yx的概率為（ ）A.31

B.11

C.11

D.114 2 4 2 2 2 3】一批產(chǎn)品的二等率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，又放回的抽取100件，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX（ ）4p，各成員的支付方式相互X10DX2.4，PX4PX6，則p（ ）A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【例5】從甲、乙等8名同學(xué)中挑選3名參加某項公益活動，要求甲、乙兩人中至少有1人參加，則不同的挑選方法有多少種（ ）。A.30 B.36 C.56 D.112不同的選法共有（ ）【例7】某人在打靶時射擊8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的那么該人射擊的8槍中“命中“不命中報告結(jié)果不同的結(jié)果（ A.720種 B.480種8(x2為（

x2A.15 B.20 C.40 D.80【例9】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要20件做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗。設(shè)每件產(chǎn)品不合格p（0p1），且各件產(chǎn)品是不是不合格品相互獨立。20fpfpp0。202件不合格品，以（1）p0作p2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要25元賠償費用。①若不對該箱余下的產(chǎn)品做檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，EX；②以檢驗費用與賠償費用的和的期望值作為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗。體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作55求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1B1的概率；

XXEX。題海3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生參加活動，則恰好選中2名女生的概率為（ ）【例2】某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達坐班車且到達發(fā)車站的時刻是隨機的則他等車不超過10分鐘的概率（ 13

12

23

34黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱。在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）A.14C.12

B.π8D.π4則抽到2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（ ）5

49

59

7950.75，連的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【例6】投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為06且各次投籃是否投中相互獨立則該同學(xué)通過測試的概率（ A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【例7】x2xy5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（ ）A.10 B.20 C.30 D.60x【例8】已知 x

5aax

3的項的系數(shù)為30，則a（ ）33A. B. C.6 D.633【例9】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)ABCBCABAC△

ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ）p1p2p3p2p3p1p2p37人，進行睡眠時間的調(diào)查。74人睡眠不足，373人做進一步的身體檢查：X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求A發(fā)生的概率。個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同。從任意中選取3個。1XX的分布列與數(shù)學(xué)期望。500由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：500xs2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；ZN，2，其中x2s2。P187.8Z212.2；②某用戶從該企業(yè)購買了100X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間2X。附： 。若Z N，2，則PZ0.6826，分布直方圖如圖所示X中μ近似為樣本平均數(shù)X，σs2，利用該正態(tài)分布，求P（79.5＜X＜104.5）；20棵這種櫻桃樹苗，記ξ20棵樹苗株高位于區(qū)間（79.5，的棵數(shù)，利用（1）Eξ（結(jié)果保留整數(shù)）若株高位于區(qū)間（79.5，104.5）的樹苗視為“優(yōu)良”，并以（2）Eξ為“優(yōu)良”棵數(shù)．從這20棵樹苗中任取3棵，記η為“優(yōu)良”的棵數(shù)，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望．-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：（分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010求的分布列與數(shù)學(xué)期望；劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．??四節(jié)向量一、知識要點（一）平面向量基本概念數(shù)量：只有大小，沒有方向的量。0的向量。1個單位的向量。（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量與任一向量平行。相等向量：長度相等且方向相同的向量。不共線的向量，除此之外，向量的加法還可利用“三角形法則”。三角形法則的特點：首尾相連。平行四邊形法則的特點：共起點。（2）向量的減法：利用“三角形法則”，設(shè)ABa，ACb，那么ab

AC ，向量減法的方向是由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：減向量與被減向量的起點必須相同，當(dāng)起點不相同時，可以將向量平移使它們共起點。數(shù)量積對于兩個向量a和b，它們的模a，b與它們的夾角的余弦的乘積稱為a和b的數(shù)abababcosabx1x2y1y2。x2y2ax，yx2y2設(shè)ax1，y1bx2，y2則

aaaax2y2。ax1，y1=x1，y1A1B2

x

即一個向量的坐標(biāo)等于表示ABAB x2 1x y222 1yabbaaaabba；abcabcababab；aaaabababcacbc。兩邊平方，兩邊同乘一個實數(shù)，兩邊同時取對數(shù)，兩邊同乘一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去同一個向量，切記兩向量不能相除（或相約）。向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使ab。一對實數(shù)對12ae1e2。注意：①我們把不共線向量e1e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底；②基底是不唯一的，關(guān)鍵是不共線；a在給出基底e1e2的條件下進行分解；ababRx1y2x2y10。abb0ab0x1x2y1y20。直線l1：

（二）空間向量OijkO為xyz軸，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。它們構(gòu)成了一個空間直角坐標(biāo)系，稱為Oxyz坐標(biāo)系。注意：①通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位；xyz軸放置在鉛垂線上；③數(shù)軸的正向通常符合右手定則。x2y2z2設(shè)向量rx，x2y2z2Ax1，y1，z1Bx2，y2，z2ABx

；

z；數(shù)量積①數(shù)量積的定義

2 1 2 1 2 1對于兩個向量a和b，它們的模a，b與它們的夾角的余弦的乘積稱為a和b的數(shù)abababcos。②數(shù)量積的運算律abba；abcabcababab；aaaabababcacbc。③數(shù)量積的坐標(biāo)表示z1z2x2y2z2x2y2z21 1 1 2 2 2設(shè)a，b，則當(dāng)a0，b0時，有cos 。向量積①向量積的定義與點積不同，它的運算結(jié)果是一個向量而不是一個標(biāo)量。方向：a與b的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。ababsin，表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）。②向量積的性質(zhì)aa0；對于兩個非零向量ab，如果ab0，則ab；反之也成立。③向量積的運算律abba；abcacbc；c.ababab為常數(shù)。③向量積的坐標(biāo)表示i j kab=x1x2

y1 y2

1z2y2i211zj1y22kbb

，bx2，y2，z2

，則a

，即axyzxyz111。1 1 1 2 2 混合積

x2 y2 z2已知三個向量a，b，c，先作兩向量a和b的向量積ab把所得到的向量與第三個向量c再作數(shù)量積，即abcabc的混合積，記作aabbcc。則a，b，cabcxc

ya zay

xa

xa

xa ya zaxb yb zb。cyb zbc

xb

xb

xc yc zcz【例1】點O在ABC內(nèi)部，滿足OA2OB3OC0，則AOC的面積與BOC面積之比為（ ）。zA.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3【例2】在ABC中，若BP2PC，APxAByAC，則xy=（ ）【例3】在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB=（ ）AB1AB1AC4 4AB1AB1AC4 4

B.1ABAB3ACAB3AB3AC4 4【例4】已向量am，b2，且abb，則m（ ）86

6 D.85ABCx2y21ABBCP的坐標(biāo)PAPBPCPAPBPC

的最大值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【例6已向量ab滿足a1b且ab（R則（ ）7】abABCAC所在直線與abABAC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：AB與a60AB與b成30角；AB與a60AB與b60角；AB與a45；④直線AB與a所成角的最小值為60。其中正確的是（ ）題海1xyR，向量abyc4acbcab（ ）5510A. B.10 C.2 D.5510【例2】已知ee2ae2e

bkee，若1 2

1 2 1 2ab0，則k（ ）32，圓心角為90的直角扇形OABQAB上任意一點，P在扇形內(nèi)（含邊界），且OPtOA1tOB（0t1），則OPOQ的最大值為（ ）4ABCO上的三點，若

AC，ABAC25ab2ab8（mnRmn的值為（ ）【例6】已知向量a，b滿足a1，ab1，則a2ab（ ）A.4 B.3 C.2 D.0【例7ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PAPB

P的最小值為（ ）32

43

1【例8】設(shè)a，b是向量，則“ab”是“abab”的（ ）充分而不必要條件 必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【例9】已知非零向量m，n滿足4m3n，cos數(shù)t的值為（ ）

m，n1ntmn，則實3A.4 C.94

D.94【例10】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．A1B1C1；ABB1所成的角的正弦值?！纠?知向量ab滿足a1b且ab（R則（ ）12】a，bABCAC所在直線與abABAC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：AB與a60AB與b成30角；AB與a60AB與b60角；AB與a45；④直線AB與a所成角的最小值為60。其中正確的是（ ）??五節(jié)立體幾何一、空間幾何體的三視圖、表面積與體積（一）空間幾何體的三視圖多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面平行，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點的連線球半圓或圓直徑所在的直線幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。①在畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，重疊的線只畫一條，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示。②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體的正投影圖。（二）空間幾何體的表面積與體積圓柱圓錐圓臺圖式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r)l圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積間的關(guān)系：

S圓臺側(cè)＝(r

S圓錐側(cè)＝rl求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積。求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系。的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基表積。規(guī)則幾何體若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法。不規(guī)則幾何體若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解。三視圖形式若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解。圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，圖是有一直角邊長為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（ ）?！纠病恳阎粋€三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為（ ）。B.2C.3 D.4某幾何體的三視圖如圖所示其中俯視圖為一個直角角形，一個銳角為30°，則該幾何體的表面積為（ ）。33A.24＋12 B.24＋53333C.12＋15 D.12＋12332的半圓，俯視圖是直徑為2的圓，則該幾何體的表面積為（ ）。A.3π B.4πC.5π D.12π【例５某幾何體的三視圖如圖所（單位則該幾何體的體（單位是（ ）。 A. ＋1 B. ＋32 23 3C. ＋1 D. ＋32 2二、直線與平面（一）直線與直線的位置關(guān)系異面直線（1）判定定理過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）0， 2平移法：在異面直線中的一條直線上選擇一個特殊點，做另一條直線的平行線。（二）直線與平面之間的位置關(guān)系如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（“線線平行，線面平行”）。如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行（“線面平行，線線平行”）。如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面（“線線垂直，線面垂直”）。垂直于同一平面的兩條直線平行。線面角斜線與平面所成的一個直角三角形的銳角，它的三邊分別為平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通過斜線上某個特殊點做出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（證明及三余弦定理）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線和斜線的射影也垂直。是兩個平面，m，nm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.m⊥n.α∥β，m?αm∥β.的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有（ ）A.②③④ B.①③⑤C.①②③ D.②④⑤（ ）α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，nmnα，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D.若m，nmn是（ ）。A.若m∥α，n∥α，則m∥n α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC.若m∥α，m∥β，則α∥βD.若m⊥α，n⊥α，則m∥n【例４】若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）。A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【例５】設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)兩條相交直線，則α⊥β的一個充分不必要條件是（ ）。B.m⊥l1，m⊥l2C.m⊥l1，n⊥l2 同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的中一定能推出m⊥β的是（ ）。A.α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥α且n⊥β 且n∥β（三）平面與平面之間的位置關(guān)系空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（“線面平行，面面平行”）。平行于同一平面的兩個平面平行。如果兩個平面平行，同時和第三個平面相交，那么它們交線平行（“線面平行，面面平行”）。二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面（“面面垂直，線面垂直”）。叫作這兩個平面的公垂線段，兩個平行平面公垂線段的長度叫作兩個平行平面的距離。：（1）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化（2）在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵．（4）異面直線的距離和兩條異面直線都垂直相交的直線叫作兩條異面直線的公垂線，兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分叫作這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線公垂線段的長度叫作這兩條異面直線的距離。任意兩條異面直線有且只有一條公垂線，兩條異面直線公垂線段的長是分別連接兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。（四）空間距離一點到它在平面內(nèi)的正射影的距離，叫作這個點到這個平面的距離。一條直線上任一點到與它平行平面的距離，叫作這條直線到這個平面的距離。（公垂線）和兩個平行平面同時垂直的直線叫作兩個平面的公垂線，公垂線夾在兩個平面間的部分DABC中，已知△BCD是正三角形，ABBCD，ABBCaEBCFACAF3FC．DDABC的體積；DEF；3 M（３）MDBNAC上，且CN8CA，求證：MN//平面DEF． B AE2P-ABCD中，PCABCDAB∥DCDCNAC（１）求證：DC平面PAC； C F（３）EABPBFPA平面CEF?說明理由.三、利用空間向量求空間角（一）利用空間向量求空間角ababababφa，b所成的角）。nene圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有s１nnenel垂直的直線，則二面角的大θ＝D〉。22角的大小22思路點播：計算二面角大小的常用方法法向量法夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小方向向量法個向量的夾角的大小就是二面角的大小與空間角有關(guān)的綜合問題與空間角有關(guān)的綜合問題主要包括兩類：探究是否存在某點，滿足線面角或二面角成某一角度（如直二面角、所成二60°等結(jié)論作為一個新的條件，結(jié)合題目已知的條件，一步一步逆推，并充分利用角度或空間距離的求解方法，列等式（通常含有一個未知數(shù)），求解未知數(shù)：若有解，即可得到定．方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，ECC1的中則異面直線BC1與AE所成的角的余弦值為 ．n＝（4，1，1）la＝則l與α所成角的正弦值為 。3ABCD中，OBD的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2。BCD；ABCD所成角的余弦值。PD的中點。PAB；PBC所成角的正弦值。其內(nèi)部）在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是 的中點．設(shè)P是，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。籈AGC的大小。＝CD＝22，BC＝42，PA＝2.AB⊥PC；MMACD45°，如果存BMMAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由。四、空間向量及其運算和空間位置關(guān)系（一）空間向量及其運算（1）空間向量的有關(guān)概念空間向量在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量相等向量方向相同且模相同的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一平面的向量（2）空間向量中的有關(guān)定理量定理對空間任意兩個向量a，b（b≠0），a∥b?存在唯一一個λ∈R，使a＝b量定理若兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p＝xayb量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xaybzc向量表示坐標(biāo)表示積a·b共線a＝λb（b≠0）a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直模|a|a2a2a21 2 3夾角〈a，b〉（a≠0，b≠0）cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a2＋a2＋a2·b2＋b2＋b21 2 3 1 2 3求夾角a·b設(shè)向量a，bθ，則cosθ＝|a||b|，進而可求兩異面直線所成的角距離）算問題題aba·b＝0(a0，b0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題（二）利用空間向量證明平行與垂直問題直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行（或重合）的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個平面的法向量lα的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎具\用向量知識判定空間位置關(guān)系時，仍然離不開幾何定理，如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時，仍需強調(diào)直線在平面外。2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2l的方向向量為nα的法向量為ml∥αl⊥αn∥m?n＝λmα，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥β題海某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）。A.60 B.30C.20 D.10某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）。15πA.2 B.8π17πC.2 D.9πH，CH（）。2A. B.2223C.2 D.2232如圖是一張矩形白紙ABCD，AB=10，AD=102

，E，F(xiàn)AD，BC的中點，現(xiàn)分別將△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同側(cè)，下列命題正確的是（ ）。ABECDF時，ACBFDE；ABECDF時，AE∥CD；A、CP時，PG⊥PD；④當(dāng)A、C重合于點P時，三棱錐P-DEF的外接球的表面積為150π.A.③④ B.①④C.①③ D.②③CD四棱錐PABCD中， CDAB//CD,AB2CD2BC2AD4,DAB600,AEBEPAD為正三角形，且平面PAD平面ABCD。求證：EC//平面PAD； A E BPABCD的體積；PC（端點PC除外）上一點MDEAM，若存在，指出點M的位置，若不存在，請明理由。如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將△PAD，△PBC沿PA，PBC與點DO2P-OAB中，E為PB中點．（1）求證：PO⊥AB；BPPOA所成角的正弦值；的大?。?已知三棱錐P-ABC（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形ABCD為邊長為 正方形，△ABE和△BCF均為正三角形．在三棱錐P-ABC中：2證明：平面PAC⊥平面ABC；的余弦值；（３MCCP

1,2 33

NBPBMAN，BN的取值范圍.BPB(圖2)B(圖2)EAC B C(圖1)F??六節(jié)不等式和復(fù)數(shù)一、知識要點）不等式（1）不等式用不等號“<、>、≠、、”連接兩個代數(shù)式表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。（2）不等式的解集對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。abba；ab，bcac；abacbc；ab，c0acbc。ab，cdacbd；ab0anbn(nN，n1)；naab0 nb(nN，n1naa，bR，則a2b22aba=b時，等號成立。aba>0，b>0abab2

a=b時，等號成立。aba，b的算術(shù)平均數(shù)，稱2x，y都為正數(shù)，則有：

aba，b的幾x+y=s（即和為定值），x=yxys2；4p若xy=p（即積為定值），當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，和x+y取得最小值2 ；p3abca，b，cRabc3abc3

a=b=c時，等號成立。abcdR，則a2b2c2d2acbd2acdab0ab①做差法ab0aba，bR；ab0aba1a②作商法 abaR，bRa1abb①fxgxfx2gx2；②fxgxfxgx或fxgx；③fxgxgxfxgx。①fx0fxgx0；gx gx0②fx0fxgx0gx2的不等式叫做一元二次不等式。一元二次不等式的解法（x1，x2x1x2）判別式b24ac000二次函數(shù)yx2xca）的圖象O一元二次方程ax2bxc0的根bb24acx1,2 2axb2a無實根x2xc0a）的解集{x|xb}2aRax2bxc0(a0的解集) {x|xxx}1 2（線性規(guī)劃）（組）的概念在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式

AxByC0（0）表示直線AxByC0AxByC0（0）表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線。AxByC0同一側(cè)的所有點，把它們的坐標(biāo)（x，y）Ax＋By＋C所得符號都相同。Ax＋By＋C＝0的一側(cè)取某個特殊點(x0，y0)作為測試點，將點(x0，y0)代入Ax0By0C中，判斷Ax0By0CAx0By0C>0則可行域在包含點(x0，y0)的一側(cè)，若Ax0By0C>0，則可行域在不包含點(x0，y0的一側(cè)。最值解求最優(yōu)解：觀察圖形，找出直線在可行域上的最值位置，給出答案。均值定理ab內(nèi)容abab

ab2ab若a0，b0，則ab2 ab

，ab2a0,b0；2 2ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2xy都為正數(shù)，則有xys

則當(dāng)

s2取得最大值 ．4p⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2 ．p【例1】設(shè)alog0.20.3，blog20.3則（ ）A.abab0C.ab0ab

B.abab0D.ab0ab【例2】若ab0，且ab1，則下列不等式成立的是（ ）a1bb 2a

log2

ab

b2a

log2

aba1bb 2

abb2a

aba1bb 2a4，xay2，則（ ）對任意實數(shù)aA對任意實數(shù)aA當(dāng)且僅當(dāng)a0Aa3A22x3y30【例4】設(shè)x，y滿足約束條件2x3y30，則z2xy的最小值是（ ）A.15

B.9

0

C.1

9x2y50【例5】若x，y滿足約束條件x2y30，則zxy的最大值為（ ） x506a，bR，且a3b602a（二）復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)概念定義

18b的最小值為（ ）a+b１（a，bR）a為實部，b為虛部，１為虛數(shù)單位，且規(guī)定i21。 有理數(shù)bbi 無理數(shù)虛數(shù)（b0

非純虛數(shù)（a0）z1a1b1iz2a2b2iz1z2a1a2且b1b2。若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即z=a+babizabi。zz對應(yīng)復(fù)平面上的點關(guān)于實軸對稱。a2b2設(shè)z=a+b１（其中a，bR），則復(fù)數(shù)z的模za2b2復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y實軸上的點都表示實數(shù)；除