上海培佳雙語學校2023年數(shù)學高一上期末經(jīng)典模擬試題含解析

上海培佳雙語學校2023年數(shù)學高一上期末經(jīng)典模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，且，那么角的終邊落在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．若，則（）A. B.aC.2a D.4a3．等于A. B.C. D.4．已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，05．設，，，則的大小關系為A. B.C. D.6．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，7．已知集合，則（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.9．當時，的最大值為（）A. B.C. D.10．函數(shù)，則A. B.4C. D.8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知長方體的長、寬、高分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是________.12．如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為________13．已知，，且，則的最小值為________.14．已知向量，若，則實數(shù)的值為______15．天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點距離地面的高度為120m，開啟后按逆時針方向勻速轉動，每30轉動一圈．喜歡拍照的南鳶同學想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉動一圈的過程中，南鳶同學可以拍到最美景色的時間是_________分鐘16．已知，若，則的最小值是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)求函數(shù)的最小正周期與對稱中心；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間18．已知點，，.（1）若，求的值；（2）若，其中為坐標原點，求的值.19．已知函數(shù).（1）在給定的坐標系中，作出函數(shù)的圖象；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；（3）若函數(shù)的圖象與直線有4個交點，求實數(shù)的取值范圍.20．在△中，已知，直線經(jīng)過點(Ⅰ)若直線:與線段交于點，且為△外心，求△的外接圓的方程；(Ⅱ)若直線方程為，且△的面積為，求點的坐標21．筒車是我國古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖1是一個半徑為R（單位：米），有24個盛水筒的筒車，按逆時針方向勻速旋轉，轉一周需要120秒，為了研究某個盛水筒P離水面高度h（單位，米）與時間t（單位：秒）的變化關系，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy．已知時P的初始位置為點（此時P裝滿水）.（1）P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時40秒，求此刻P距離水面的高度（結果精確到0.1）；（2）記與P相鄰的下一個盛水筒為Q，在簡車旋轉一周的過程中，求P與Q距離水面高度差的最大值（結果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號判斷可能在的象限，再利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的圖象由求出的范圍，兩范圍取交集即可.【詳解】，在第二或第三象限，，即，或，解得或，又在第二或第三象限，在第三象限.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎題.2、A【解析】利用對數(shù)的運算可求解.【詳解】，故選：A3、A【解析】分析：由條件利用誘導公式、兩角和差的余弦公式化簡所給的式子，可得結果.詳解：.故選：A.點睛：本題主要考查誘導公式、兩角和差的余弦公式的應用，屬于基礎題.4、D【解析】利用向量的坐標運算得到|2用θ的三角函數(shù)表示化簡求最值【詳解】解：向量，向量，則2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分別是：16，0；所以|2的最大值，最小值分別是4，0；故選：D【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及三角函數(shù)解析式的化簡；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性5、B【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出的取值范圍，從而可得結果.【詳解】，，，，故選B.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.6、D【解析】先根據(jù)題意建立不等式組，再求解出，最后給出選項即可.【詳解】解：因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，則故選：D.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，是基礎題7、C【解析】根據(jù)并集的定義計算【詳解】由題意故選：C8、B【解析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)、、在上均為減函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù).故選：B.9、B【解析】利用基本不等式直接求解.【詳解】，，又，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為故選：B10、D【解析】因為函數(shù)，所以，，故選D.【思路點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、指數(shù)與對數(shù)的運算，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.本題解答分兩個層次：首先求出的值，進而得到的值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積【詳解】長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：，則這個球的表面積是：故答案為：【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體的有關知識，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對角線的轉化是本題的解答的關鍵，考查計算能力，空間想象能力12、2.【解析】分析：要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果詳解：由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝，解得n＝90，所以展開圖中∠PSC＝90°，根據(jù)勾股定理求得PC＝2，所以小蟲爬行的最短距離為2.故答案為2點睛：圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決三、13、12【解析】，展開后利用基本不等式可求【詳解】∵，，且，∴，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為12故答案為：1214、；【解析】由題意得15、10【解析】借助三角函數(shù)模型，設，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系，由題意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.【詳解】解：如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系.設時，南鳶同學位于點，以為終邊的角為，根據(jù)摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意，可得，，令，，可得，所以南鳶同學可以拍到最美景色的時間是分鐘，故答案為：10.16、16【解析】乘1后借助已知展開，然后由基本不等式可得.【詳解】因為，所以當且僅當，，即時，取“=”號，所以的最小值為16.故答案為：16三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期，對稱中心為；（2）【解析】直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期和對稱中心；直接利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】函數(shù)，，，所以函數(shù)的最小正周期為，令：，解得：，所以函數(shù)的對稱中心為由于，令：，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題，強調(diào)基礎的重要性，是高考中的常考知識點；對于三角函數(shù)解答題18、(1)；(2).【解析】（1）因為，，，所以，.因為所以，化簡即可得的值；（2）因為，，所以，因為，所以，平方即可求得的值.試題解析：（1）因為，，，所以，.因為所以.化簡得因為（若，則，上式不成立）.所以.（2）因為，，所以，因，所以，所以，所以，，因為，所以，故.19、（1）圖象見解析；（2）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間是為；（3）.【解析】（1）分段依次作出圖象即可；（2）看圖寫出單調(diào)區(qū)間即可；（3）作出直線圖象，數(shù)形結合得到實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解：（1）作圖如下：（2）看圖可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（3）如圖，若函數(shù)的圖象與直線有4個交點，則需.所以實數(shù)的取值范圍為.20、（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）先求出直線的方程，進而得到D點坐標，為直徑長，從而得到△的外接圓的方程；（Ⅱ）由題意可得，，從而解得點的坐標【詳解】（Ⅰ）解法一：由已知得，直線的方程為，即，聯(lián)立方程組得：，解得，又，△的外接圓的半徑為∴△的外接圓的方程為.解法二：由已知得，,且為△的外心，∴△為直角三角形，為線段的中點，∴圓心，圓的半徑,∴△的外接圓的方程為.或線段即為△的外接圓的直徑，故有△的外接圓的方程為，即（Ⅱ）設點的坐標為，由已知得，,所在直線方程，到直線的距離，①又點的坐標為滿足方程，即②聯(lián)立①②解得：或，∴點的坐標為或【點睛】本題考查了圓的方程，直線的交點，點到直線的距離，考查了邏輯推理能力與計算能力，屬于基礎題.21、（1）m（2）m【解析】（1）根據(jù)題意P從出發(fā)到開始倒水入槽用時40秒，可知線段OA按逆時針方向旋轉了，由，可求圓的半徑，由題意可知以OA為終邊的角為，由此即可求出P距離水面的高度；（2）由題意可知P轉動的角速度為rad/s，易知P開始轉動t秒后距離水面的高度的解析式，設P，Q兩個盛水筒分別用點B，C表示，易知，點C相對于點B始終落后rad，求出Q距離水面的高度，可得則P，Q距離水面的高度差，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結果.【小問1詳解】解：由于筒車轉一周需要120