華師一附中2024屆高三《限時(shí)練（圓錐曲線）》試題含答案

2024華師一高三數(shù)學(xué)限時(shí)練一、單選題1．已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．22．已知?jiǎng)訄AC與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線一支3．如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（

）

（A． B． C． D．4．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與交于兩點(diǎn)．若，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題5．過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（）A．存在四條直線，使B．存在直線，使弦的中點(diǎn)為C．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為D．若，都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是6．已知曲線：，為上一點(diǎn)，則（

）A．曲線在第一象限的圖象為雙曲線的一部分B．點(diǎn)不可能落在第三象限C．直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)D．若直線：與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則三、填空題7．已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、，焦距為8，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，則.8．已知雙曲線：焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，的面積為，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是四、解答題9．已知雙曲線：，其漸近線方程為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且兩條直線的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點(diǎn).10．雙曲線C經(jīng)過兩點(diǎn).過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于P，Q，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)S且(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求直線的斜率.11．已知雙曲線：，為的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到的一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，是上異于的任意兩點(diǎn)，且的垂心為，試問：點(diǎn)是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．12．已知雙曲線的兩條漸近線分別為.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.華師一高三數(shù)學(xué)限時(shí)練參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意作圖，利用正弦定理以及余弦定理，建立方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及其離心率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意可知，，設(shè)，，在中，根據(jù)正弦定理可得，則，在中，根據(jù)正弦定理可得，則，由，則，由，則，解得，由雙曲線定義可知，解得，，在中，根據(jù)余弦定理可得，在中，根據(jù)余弦定理可得，由，則，可得，整理可得，由雙曲線離心率可知，則可得，由，解得.故選：C.2．D【分析】結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓C的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為2，由題意可得，或，所以或，又因?yàn)椋?，由知不合題意，所以，根據(jù)雙曲線的定義知，可得點(diǎn)C的軌跡為以為焦點(diǎn)的靠近的一支.故選：D.3．B【分析】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，易得，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義得，進(jìn)而在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程，即可得離心率.【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性知，

設(shè)，則，，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，利用雙曲線對(duì)稱性及定義求出，最后在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程為關(guān)鍵.4．C【分析】斜率條件求得的關(guān)系式，結(jié)合得到關(guān)于的關(guān)系式即可.【詳解】由題意，得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，得，則，所以的漸近線方程為，即，故選：C5．ACD【分析】由雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，通徑，實(shí)軸故有四條，對(duì)于B，假設(shè)存在直線l，使弦AB的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：恒成立.所以，，所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，故不存在這樣的直線l，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點(diǎn)可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)直線l方程為：.聯(lián)立得：，恒成立.所以，，則，.若A、B都在該雙曲線的右支上，則，即，所以，解得，故D正確；故選：ACD.6．AC【分析】討論符號(hào)研究不同象限對(duì)應(yīng)曲線，結(jié)合橢圓、雙曲線性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)，則曲線，雙曲線的一部分；當(dāng)，則曲線：；當(dāng)，則曲線不存在；當(dāng)，則曲線：；當(dāng)，則曲線，雙曲線的一部分；當(dāng)，則曲線，橢圓的一部分；又過點(diǎn)，且曲線在第一、三象限對(duì)應(yīng)雙曲線的一條漸近線為，所以，曲線如下圖示：

所以A、C對(duì)，B錯(cuò)；由恒過，結(jié)合C項(xiàng)分析，如下圖示，

顯然時(shí)與曲線也有三個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò).故選：AC7．或【分析】直接利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】由已知得，，解得，當(dāng)點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)時(shí)，，則，或故答案為：或.8．【分析】先計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，代入雙曲線方程有，又的面積為，即，所以雙曲線方程為：，設(shè)，則，同理，因?yàn)?，則，故答案為：.9．(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線與過一點(diǎn)列方程組即可得的值，從而得雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)斜率與坐標(biāo)運(yùn)算從而得的關(guān)系來(lái)確定直線定點(diǎn)即可.【詳解】（1）∵，，依題意，解得：，，所以雙曲線C的方程為（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，則，即①，所以設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為，，由題意知：，故有：，整理得當(dāng)，，過舍去，當(dāng)，，過點(diǎn)，此時(shí)，將代入①得，得，滿足題意.∴直線PQ過定點(diǎn)10．(1)(2)或.【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為，代入運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，代入可得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）若直線的斜率不存在時(shí)，則，，不符合，所以直線的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，消去y得，則且，可得，則，又因?yàn)?，可知，則，由題意可知：，即，整理得，解得或，且或均符合且，所以直線的斜率或.11．(1)(2)垂心在定曲線上【分析】（1）運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式和雙曲線中之間的關(guān)系求解；（2）根據(jù)M，N點(diǎn)是否與重合以及是否與x軸對(duì)稱，分類討論即可.【詳解】（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為，從而解得，即的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）情形一：，中沒有一點(diǎn)為，且直線的斜率存在，

設(shè)直線：，，，則AM和AN的斜率分別為：，易得邊的高線的斜率為，方程為：，即，邊AN的高線的斜率為：，方程為：，聯(lián)立，，消去，可得，聯(lián)立，，，所以，，又，所以，從而，又H點(diǎn)也在MN邊的高線上，MN邊高線的方程為：，消去可得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在定曲線上；若MN斜率不存在，則M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，即，如圖：

設(shè)，則是等腰三角形，所以在x軸上，即，，，聯(lián)立：，解得：，，在定曲線上；情形二：，中有一點(diǎn)即，設(shè)，不妨，設(shè)，過N點(diǎn)作AM的垂線，則H點(diǎn)在該垂線上，如圖：

則，解得，所以點(diǎn)在曲線上；綜上，曲線C的方程為：，H點(diǎn)總在曲線上.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于情形1的計(jì)算量上，計(jì)算量較大，有下標(biāo)的字母計(jì)算時(shí)需要反復(fù)核對(duì)，根據(jù)三角形AMN的圖形設(shè)計(jì)分類討論的方法，因?yàn)橛袀€(gè)斜率不存在的問題.12．(1)(2)存在，【分析】（1）由題意，結(jié)合離心率與雙曲線基本量關(guān)系即可求得結(jié)論.（2）首先分類討論直線的位置.由直線垂直于x軸可得到一個(gè)結(jié)論.再討論直線不垂直于x軸，由的面積恒為8，則轉(zhuǎn)化為.由直線與雙曲線方程聯(lián)立以及韋達(dá)定理，即可得到直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為和，所以，故，解得，從而雙曲線E的離心率.（2）由（1）知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)C，當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以，此時(shí)雙曲線E的方程為.若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為.以下證明:當(dāng)直線不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：也滿足條件.設(shè)直線的方程為，依題意，得或，則，記.由，得，同理得.由得，即.由得，.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即與雙曲線E