江蘇省常州市三河口2023年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在區(qū)間［T/上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)Z,使直線＞=%（x+3）與圓f+y2=l相交的概率為（）

2.臺球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫

法）控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如

圖正方形45。，在點(diǎn)E,尸處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E,F

處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE=50cm.EF=4Qcm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,則該正方形的邊長為（）

A.50^/2cmB.405/2cmC.50c2076cm

3.已知a為銳角，且J^sin2a=2sina,則cos2a等于（）

4.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）

5.正項(xiàng)等比數(shù)列也｝中的為、。4039是函數(shù)/（力=；1-4/+6》-3的極值點(diǎn)，貝！Jlog、R%）20=（）

c.V2D.2

3萬57r

6.關(guān)于函數(shù)/(x)=|cosX+cos|21,有下列三個(gè)結(jié)論:①"是八，）的一個(gè)周期；②在彳,彳上單調(diào)遞增;

③f(x)的值域?yàn)閇-2,2].則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

7.若集合A={x|x(x—2)>0},B={x|x-l>0},則4nB=

A.{x|x>lMx<0}B.1x|l<%<21C,{x|x>2}D.{x|x>l}

kInv1

8.已知函數(shù)/'(》)=—(ZeNJ,g(x)=——,若對任意的c>l,存在實(shí)數(shù)。力滿足0<。<匕<c,使得

XX-1

g(a)=/S)=g(c),則攵的最大值是()

A.3B.2C.4D.5

9.設(shè)。={-1,0,1,2},集合A=<1,XGU},則(7儲=()

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1)

10.在AABC中，角A,&C的對邊分別為a,4c,C=y,若加=卜一而4叫，〃=(a-dc+")，且聯(lián)〃：，

則AABC的面積為()

R96「36

A.315.---------L?--------D.3#)

22

11.已知向量"=(一機(jī),4),b-(m,1)（其中加為實(shí)數(shù)），貝！1“加=2”是“小戶的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

⑵已鳴

=5-2i（i為虛數(shù)單位,N為二的共軻復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.點(diǎn)外是曲線y=31n%+x+攵（ZwR）圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)6的切線方程為4x—y—l=0,則實(shí)數(shù)4的值

為.

x〉0

y>0

14.設(shè)x，y滿足約束條件，x-y+l〉o,則Z=2x—y的取值范圍為.

x+y-3<0

15.在AABC中，AB=2亞,AC=5ZBAC=90°,則AABC繞8c所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表

面積為.

16.現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有一種.（用數(shù)字作答）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花

卉.方案是：先建造一條直道將AABC分成面積之比為2:1的兩部分（點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上）；再取OE

的中點(diǎn)M,建造直道AM（如圖）.設(shè)AD=x,DE=弘,AM=y2（單位：百米）.

（D分別求%，%關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）試確定點(diǎn)。的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

fx=3cos（p

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為.’（<p為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正

[y=simp

半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2,37T）,半徑為1的圓.

（1）求曲線Ci的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M為曲線G上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍.

19.（12分）如圖，在四棱錐A3CD中，底面ABC。是直角梯形且AO〃8C,ABLBC,AB=BC=2AD=2,

側(cè)面Q鉆為等邊三角形，且平面Q43,平面ABCD.

0'

（1）求平面RS與平面PQC所成的銳二面角的大小;

(2)若說=義。網(wǎng)嘀此1),且直線8Q與平面POC所成角為求4的值.

「-1「1

10-0

20.(12分)試求曲線7=5配工在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M=N=2

1_。2」0】

21.(12分)如圖，在四棱柱C—ABE/7中，平面平面ABC,△49C是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,

ZABE=90°,BE=EF=1，點(diǎn)M為8C的中點(diǎn).

(I)求證："〃平面Ab；

(H)求二面角￡—3。一廠的余弦值.

(山)在線段EF上是否存在一點(diǎn)N,使直線CN與平面8CE所成的角正弦值為立I,若存在求出EN的長，若不

21

存在說明理由.

1

x=—m

(〃?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸

22.(10分)已知在平面直角坐標(biāo)系x。),中，直線/的參數(shù)方程為〈2X

垂＞

y=——m

2

2V152,

非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2-22cose-2=0,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

3K

/

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與曲線。交于3,C兩點(diǎn)，求AABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用直線y=k(x+3)與圓f+>2=］相交求出實(shí)數(shù)人的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】

由于直線丁=左(％+3)與圓Y+y2=l相交，則普L<1,解得一直<k(也.

“r+144

因此，所求概率為0_2'彳_&.

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

過點(diǎn)E,尸做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將AB,8c用a表示出來，根

據(jù)AB=3C,列方程求出a,進(jìn)而可得正方形的邊長.

【詳解】

過點(diǎn)瓦F做正方形邊的垂線，如圖，

設(shè)ZA￡M=a,則NCEQ=a,NMEF=NQFE=60—a,

則AB=AAY+何N+N8=AEsina+EFsin（60—a）+FCsina

J3.g、

50sina+40sin（60"-a）+30sina40—sina+——cosa

22

\7

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60

3V3.、

50cosa+30cosa-40cos（60,-a）=40—cosa------sina

227

f3.3

因?yàn)锳8=C3,則40一smad-----cos。40—cosa------sina

227（227

整理化簡得絲巴=2—6,又sin2a+cos22=l，

cosa

V3-173+1

得sina—，cosa=—

2V22V2

AB=4of-sina+—cosaV40x3f-x6^-y1-+—73x

=20尻

227122行2

即該正方形的邊長為20娓cm.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.

3.C

【解析】

由J5sin2a=2sina可得cosa=，再利用cos2a-2cos?a-1計(jì)算即可.

3

【詳解】

因?yàn)?6sinacosa=2sina,sinawO,所以cosa=^^.

所以cos2a=2cos-<z-l=——1=——.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計(jì)算體積.

【詳解】

由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2,

1Q

直觀圖如圖所示，V=-x2x2x2=-.

33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

5.B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4%039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意4、%039是函數(shù)/(力=93-4/+6*-3的極值點(diǎn)，也就是/'(x)=d-8x+6=0的兩個(gè)根

444039=6

又｛q｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以劭)20=府以==赤

???喻。2020=1咻#=1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

6.B

【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出.

【詳解】

①因?yàn)?(X)=/(X+〃)，所以)是f0)的一個(gè)周期，①正確；

②因?yàn)?(%)=2,/［與)=曰＜2,所以“X)在y，Y上不單調(diào)遞增，②錯誤；

71

③因?yàn)?(—x)=/(x),所以/(X)是偶函數(shù)，又萬是〃X)的一個(gè)周期，所以可以只考慮xe0,-時(shí)，/(X)的值域.當(dāng)

_71,

xe0,—時(shí),r=cosxe[0,l],

/(x)=|cos+cos12x|=cosx+coslx-2cos2x+cosx-l-2r+t-l

y=2/+--1在［0,1］上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋?1,2］,③錯誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.

7.C

【解析】

解一元次二次不等式得4={》|%>2或彳<0},利用集合的交集運(yùn)算求得AD3={xIx>2}.

【詳解】

因?yàn)锳={x|x>2或x<0},8={小>1},所以408={x|x>2},故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.

8.A

【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為電山>K,對于x>l恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)久幻=長生上1,然后求出近幻的范圍，進(jìn)

x-1xx-\

一步得到攵的最大值.

【詳解】

kIn1*4-1

v/(x)=-(fceN),g(x)=-對任意的c>L存在實(shí)數(shù)見，滿足Ovav匕vc,使得g(G=/S)=g(c),

X+x-1

]nra[k

二易得a(c)=/S)>/(c),即上審>二恒成立，

c-\c

lnx+1k_-.一

?,.------>-,對于x>l恒成立，

x-1x

lnx+1、x-2-\nx

設(shè)心)-E'則〃(X)=BT

令式%)=1_2_111工，二/(幻=1-，>0在1>］恒成立,

x

式3)=3-2-ln3<0,q(4)=4-2-ln4>0,

故存在與￡(3,4),使得4(鵬)=0,即/-2=In/,

當(dāng)X€（l,x（））時(shí),q（x）<0,當(dāng)x）單調(diào)遞減

當(dāng)xe（Xo，+8）時(shí)，q（x）>0,〃（x）單調(diào)遞增.

???〃(x)min=〃(/)=，將/_2=InX。代入得:

??=力(％)==X。,

1

???左GN+,且左<A(x)min=X。

:.k<3

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

9.B

【解析】

先化簡集合A,再求C%.

【詳解】

由d<i得：一1<%<1,所以A={0},因此dA={-1,1,2},故答案為B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.

10.C

【解析】

U1I—TT//I—2I

由血/〃，可得（a-力2=（c-后）（c+后），化簡利用余弦定理可得cosg=y=：，解得話?即可得出三角形

32ab2

面積.

【詳解】

解：?:m=(c-瓜a-b),"=(a―8,c+,旦miln，

(a-/>)2=(c-V6)(c+V6),化為：a2+b2-c2=2ab-6.

71cr+lr-c^2ab-6i_解得帥=6.

cos—===f

32ab2lab2

2222

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.A

【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.

【詳解】

由，九=2,則。?石=(-2,4>(2,1)=-4+4=0,所以而

當(dāng)則a_LB=(-機(jī),4)?(m,1)=-根2+4=0,解得/w=2或/"=一2.所以

“加=2”是“￡_L方”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.

12.D

【解析】

設(shè)2=。+例,(凡》6/?),由殍=彳一2"得」—2i=a—S+2)i=，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.

33

【詳解】

2

/22[_4a-+b

設(shè)z=。+bi,(a,Z?eR),貝！Iz—2i=a—(Z?+2)i=—,所以，“3?

3["2=0

=理廠r

解得《“一彳，故z=3-2i，復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(衛(wèi)2),在第四象限.

,C22

b--2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共匏復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)凡橫坐標(biāo)，再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得Z.

【詳解】

設(shè)《（工,〉），

33

由題意y'=?+l,+1=4,x=l,y=4xl—l=3,即《（1,3）,

xx

???3=31nl+l+Z,k=2.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.

14.（-1,6）

【解析】

由題意畫出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,數(shù)形結(jié)合即可得到z的最值，即可得解.

【詳解】

由題意畫出可行域，如圖：

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

通過平移直線y=2x-z,數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)直線y=2x—z過點(diǎn)4時(shí)，直線截距最大，z最?。划?dāng)直線y=2x-z過

點(diǎn)C時(shí)，直線截距最小，z最大.

x=0y=0

由.，c可得A（O,1），由?.八可得C（3,o）,

x-_y+l=O[x+y_3=0

當(dāng)直線過點(diǎn)4（0,1）時(shí)，z=—l；當(dāng)直線過點(diǎn)C（3,0）時(shí)，z=6,

所以一l<z<6.

故答案為：（—1,6）.

y

本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.6加7T

【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積S=萬〃計(jì)算公式可得.

【詳解】

解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對底組合在一起，

在AABC中，AB=26AC=5ABAC=90°,如下圖所示，

2V5-V5

底面圓的半徑為的,+同'

則所形成的幾何體的表面積為S=4(/1+&)=?x2x(2石+6)=6也兀.

故答案為：6舊兀.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.36

【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計(jì)算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排,

甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有用-2^4=36（種）排法.

所以本題答案為36.

【點(diǎn)睛】

排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問題時(shí)就要遵循一定的解題

原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確

的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須心思細(xì)膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y"十e-6,xe[2,3]f=行+》|XG[2,3].

（2）當(dāng)AO=&百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值|灰+丁］百米.

【解析】

2

（1）由50.=§5根"，可解得AE.方法一：再在AADE中，利用余弦定理，可得"關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在A4T坦

和AAEM中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?方法二：在AAZ）七中，可得詼=屈-礪，則有

DE2=AE-2AEAD+AD2＞化簡整理即得；同理府=（（印方+通），化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，計(jì)算即得.

【詳解】

2

解：（1）AABC是邊長為3的等邊三角形，又A0=x，

—AD-AE-sin—=—f—x32xsin—AE=—.

233（23jx

0<AD=x<3

由＜，#2<x<3.

0<AE^-<3

x

法1：在AM應(yīng)中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAE-COS-^X2+^--6.

3x2

故直道DE長度y＜關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y.-6,XG[2,3].

在A4D石和AAEM中，由余弦定理，得

AD?=DM?+AM?-2￡)M?XM.cos…①

松=f32_2￡)w.AM.cos(4-ZAM0…②

因?yàn)镸為DE的中點(diǎn)，所以。M=

2

由①+②，AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=-DE2+2AM2,

2

12

所以V+jg]=-[x+^$-6>1+2AM,所以4例2=±+>+』.

2^%2)4x22

所以，直道A"長度為關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式為

法2：因?yàn)樵凇鰽D石中，DE=AE-AD>

山[、1--*2----.2---------.----?2^6V-6TC22367

所以DE=AE-2AEAD+AO=一-2--xcos--+x=x~+—-6.

)x3x

所以，直道DE長度乃關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,=//+*—6,xe[2,3].

在A4DE中，因?yàn)镸為。石的中點(diǎn)，所以而Z=方+通）.

所以戒2=5（赤？+近?+2詬.通）=；（/+*+6）.

所以，直道AM長度為關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式為），2=/二+當(dāng)+。，XW[2,3].

（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為

/93

DE+AM=y+y

x2T+j?+2

236

廠x=~

=木+32■(當(dāng)且僅當(dāng)｛2X即X=C時(shí)取“=

2x_9

.4%2

故當(dāng)AL>=幾百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值&+乎]百米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中檔題.

222

18.(1)Ci：—+y=LC2：x+(y-2)=1；(2)[0,^-+1]

92

【解析】

(I)消去參數(shù)(p可得G的直角坐標(biāo)方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),可得Ci的直角坐標(biāo)方程；(II)

設(shè)M(3cos<p,sing,由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得IMC2I的取值范圍，結(jié)合圓的知識可得答案.

【詳解】

X2

(1)消去參數(shù)中可得C1的普通方程為1_+y2=l,

?.?曲線C2是圓心為(2,半徑為1的圓，曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),

2

AC2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=1；

(2)設(shè)M(3cos(p,simp),則IMC2I=J(3cos(p)2+(simp—2了

=^9cos2(p+sin2(p-4sin(p+4=J-8sin2(p-4sin(p+13

rzTJ27

=^-8(sm(p+-)

3%

■:-l<sin(p<l,A1<|MC2|<，

2

由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1-1=0,最大值為亞+1,

2

.,.|MN|的取值范圍為[0,—+1].

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識和極坐標(biāo)方程，屬中檔題.

19.(1)-；(2)土叵.

46

【解析】

(1)分別取AB,CD的中點(diǎn)為O,E,易得OP,OE,。8兩兩垂直，以O(shè)E,OB,OP所在直線為》Vz軸建立空

間直角坐標(biāo)系，易得而=(1,0,0)為平面的法向量，只需求出平面PDC的法向量為再利用

cos夕=|cos<1?AD>|=1'竺?計(jì)算即可；

|?||AD|

(2)求出兩，利用IcoscW,而>|=sin。計(jì)算即可.

【詳解】

(1)分別取ABCD的中點(diǎn)為O,E,連結(jié)PO,EO.

因?yàn)锳O〃BC,所以O(shè)E〃3C.

因?yàn)锳BL3C,所以

因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，

所以4B_LOP

又因?yàn)槠矫鍼AB_L平面ABCD,

平面RSc平面ABCD=AB,OPu平面Q4B,

所以O(shè)P_L平面ABCD,

所以O(shè)P,OE,OB兩兩垂直.

以。為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以O(shè)E,OB,OP所在直線為X，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=BC=24)=2,則0(0,0,0),A(0,-1,0),B(0』,0),C(2,1,0),￡>(1,-1,0),P(0,0,^),

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-V3).

_nDC=0\x+2y=0

設(shè)平面POC的法向量為〃=(x,y,z),貝叫一，即〈廠^

n-PC=0[2x+y-，3z=0

取y=i,則工=一2,2=-石，所以〃=(一2,1,一0).

又而=(1,0,0)為平面Q46的法向量，設(shè)平面加8與平面所成的銳二面角的大小為。，則

.--.\n-AD\2五

cos夕n=|cos<n?AD>|=------=/==——.

卬IAO|^/(-2)2+l2+(-V3)22

兀

所以平面PAB與平面PDC所成的銳二面角的大小為

z

(2)由(1)得,平面由DC的法向量為，=(-2,1,-石)，正=(2,1,->),

所以成苑=配+幾/=(-2/1+2,-；1,6/1)(0羽兒1).

又直線BQ與平面PDC所成角為。,

所以…”，除|=s嗚，即點(diǎn)！考,

14A—4—?1—341

即

J(-2)~+1+(-A/5)2xJ(-2》+2)~+(-㈤2+2

化簡得6萬-6幾+1=0,所以4=三且，符合題意.

6

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的

坐標(biāo)，是一道中檔題.

20.y=2sin2x.

【解析】

1

計(jì)算MN,計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.

0

【詳解】

1o

：.MN=

020

1

xX—X

???在矩陣MN變換下,2

yy

，曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩陣變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

21.(I)證明見解析；(H)巫;(ID)線段EF上是存在一點(diǎn)N,1EN0-也,使直線QV與平面8CT所成

72

的角正弦值為叵.

21

【解析】

(I)取AC中點(diǎn)尸，連結(jié)MP、FP,推導(dǎo)出四邊形EFPM是平行四邊形，從而FP//EM,由此能證明石M//平

面ACF;(II)取A3中點(diǎn)。，連結(jié)CO,F0,推導(dǎo)出R7_L平面ABC,OCVAB,以。為原點(diǎn)，0C為x軸，

OB為y軸，。尸為二軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BC-E的余弦值；(in)假設(shè)在線段所

上是存在一點(diǎn)N,使直線CN與平面8C尸所成的角正弦值為四，設(shè)EN=t.利用向量法能求出結(jié)果.

21

【詳解】

(I)證明：取AC中點(diǎn)P,連結(jié)"P、FP,

?.?AABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=1，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，

?'-E尸//MP,...四邊形"PM是平行四邊形，.\"http://EM,

?.?EM仁平面AC/7,FPu平面ACT7,

；.￡〃//平面ACF.

(II)解：取AB中點(diǎn)。，連結(jié)CO,F0,

.??在四棱柱C-ABE/中，平面/WEF，平面ABC,AA6C是邊長為2的等邊三角形，

AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=3點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

.?.R?_L平面ABC,O