高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

第8節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題；3.了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進行簡單應(yīng)用.1.離散型隨機變量的均值與方差知

識

梳

理若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度標準差2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝___________.(2)D(aX＋b)＝__________

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)3.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)＝___，D(X)＝_________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝_________.pp(1－p)npnp(1－p)4.正態(tài)分布X～N(μ，σ2)上方x＝μx＝μ越小越大0.68270.95450.9973診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).(

)(2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量.(

)(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小.(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事.(

)(5)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差.(

)(6)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.(

)解析均值即期望值刻畫了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√2.(老教材選修2－3P68練習(xí)2改編)若隨機變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為________.

解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c， ∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.

答案03.(老教材選修2－3P75B2改編)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________.

解析∵X～N(3，1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱，

且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，4.(2018·全國Ⅲ卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(

) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3答案B5.(2020·合肥檢測)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________.解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技術(shù)好.答案乙X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.26.(多填題)(2020·煙臺調(diào)研)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100，17.52).已知成績在117.5分以上(含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績不超過82.5分的概率為________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績特別優(yōu)秀的大約有________人.(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96)答案0.16

10考點一離散型隨機變量的均值與方差【例1】

(2020·廣州質(zhì)檢)2020年元旦班級聯(lián)歡晚會上，某班設(shè)計了一個摸球表演節(jié)目的游戲：在一個紙盒中裝有1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同，同學(xué)不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目. (1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率； (2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.解(1)設(shè)“a同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E，所以隨機變量X的分布列為規(guī)律方法(1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】

(2020·泰安模擬)某大城市一家餐飲企業(yè)為了了解外賣情況，統(tǒng)計了某個送外賣小哥某天從9：00到21：00這個時間段送的50單外賣，以2小時為一時間段將時間分成六段，各時間段內(nèi)外賣小哥平均每單的收入情況如表，各時間段內(nèi)送外賣的單數(shù)的頻率分布直方圖如圖.時間區(qū)間[9，11)[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21]每單收入(元)65.566.45.56.5(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求這個外賣小哥送這50單獲得的收入；(2)這個外賣小哥記得在[13，15)這個時間段只有4單外賣帶有飲品，現(xiàn)在從[13，15)這個時間段送出的外賣中隨機抽取3單外賣，求這3單外賣中帶有飲品的單數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1.又樣本容量n＝50，∴在[9，11)這個時間段送外賣的頻數(shù)為0.08×2×50＝8，同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]這5個時間段送外賣的頻數(shù)分別為14，10，5，8，5.∴外賣小哥送50單的收入為8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元).(2)由(1)知，在[13，15)這個時間段共送10單外賣，10單外賣中有4單帶飲品，6單不帶飲品，X的可能取值為0，1，2，3.∴X的分布列為考點二二項分布的均值與方差【例2】

(2020·昆明診斷)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為p(0.7≤p≤0.9). (1)任取樹苗A，B，C各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). (2)將(1)中的E(X)取得最大值時p的值作為B種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，①求一棵B種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？解

(1)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3.則P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，P(X＝3)＝0.8p2.X的分布列為E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.(2)當p＝0.9時，E(X)取得最大值.①一棵B種樹苗最終成活的概率為0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②記Y為n棵樹苗的成活棵數(shù)，M(n)為n棵樹苗的利潤，則Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，X0123P0.2p2－0.4p＋0.20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200000，則有n＞699.所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹苗，就可獲利不低于20萬元.規(guī)律方法二項分布的均值與方差(1)如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同樣還可求出D(aX＋b).【訓(xùn)練2】

(2020·東營質(zhì)檢)互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.M市某調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣A、外賣B)的服務(wù)質(zhì)量進行了調(diào)查，從使用過這兩種外賣服務(wù)的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數(shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分數(shù)種類[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]外賣A(人數(shù))50150100400300外賣B(人數(shù))100100300200300表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意.若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價較高，現(xiàn)將分數(shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標”劃分成以下四個檔次：分數(shù)[0，40)[40，60)[60，80)[80，100]服務(wù)質(zhì)量指標0123用頻率表示概率，解決下列問題：(1)從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)從參與調(diào)查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”的差的絕對值等于2的概率.(2)記外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”為事件Ai，外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”為事件Bi，i∈{0，1，2，3}，則其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標”的差的絕對值等于2的概率為P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.考點三均值與方差在決策問題中的應(yīng)用若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300，0.則X2的分布列為：解若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150.則X1的分布列為所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.規(guī)律方法隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【訓(xùn)練3】

東方商店欲購進某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進該食品一次(購進時，該食品為剛生產(chǎn)的).根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價8元，售價12元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表：銷售量/份15161718天數(shù)20304010(視樣本頻率為概率)(1)根據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進32或33份，哪一種得到的利潤更大？解

(1)根據(jù)題意可得，X的所有可能取值為30，31，32，33，34，35，36.X的分布列如下：(2)當購進32份時，利潤為可見，當購進32份時，利潤更大.＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元).當購進33份時，利潤為125.6＞124.68，考點四正態(tài)分布A.甲類水果的平均質(zhì)量為0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99(2)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4，62)，P(X≤5)＝0.89，則P(X≤3)