高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

第8節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單實(shí)際問題；3.了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差知

識

梳

理若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝___________.(2)D(aX＋b)＝__________

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝___，D(X)＝_________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝_________.pp(1－p)npnp(1－p)4.正態(tài)分布X～N(μ，σ2)上方x＝μx＝μ越小越大0.68270.95450.9973診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).(

)(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.(

)(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(

)(5)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(

)(6)一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.(

)解析均值即期望值刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√2.(老教材選修2－3P68練習(xí)2改編)若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為________.

解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c， ∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.

答案03.(老教材選修2－3P75B2改編)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________.

解析∵X～N(3，1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱，

且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，4.(2018·全國Ⅲ卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(

) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3答案B5.(2020·合肥檢測)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________.解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技術(shù)好.答案乙X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.26.(多填題)(2020·煙臺調(diào)研)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100，17.52).已知成績在117.5分以上(含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績不超過82.5分的概率為________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績特別優(yōu)秀的大約有________人.(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96)答案0.16

10考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1】

(2020·廣州質(zhì)檢)2020年元旦班級聯(lián)歡晚會上，某班設(shè)計了一個摸球表演節(jié)目的游戲：在一個紙盒中裝有1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同，同學(xué)不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目. (1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率； (2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4.解(1)設(shè)“a同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E，所以隨機(jī)變量X的分布列為規(guī)律方法(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】

(2020·泰安模擬)某大城市一家餐飲企業(yè)為了了解外賣情況，統(tǒng)計了某個送外賣小哥某天從9：00到21：00這個時間段送的50單外賣，以2小時為一時間段將時間分成六段，各時間段內(nèi)外賣小哥平均每單的收入情況如表，各時間段內(nèi)送外賣的單數(shù)的頻率分布直方圖如圖.時間區(qū)間[9，11)[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21]每單收入(元)65.566.45.56.5(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求這個外賣小哥送這50單獲得的收入；(2)這個外賣小哥記得在[13，15)這個時間段只有4單外賣帶有飲品，現(xiàn)在從[13，15)這個時間段送出的外賣中隨機(jī)抽取3單外賣，求這3單外賣中帶有飲品的單數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1.又樣本容量n＝50，∴在[9，11)這個時間段送外賣的頻數(shù)為0.08×2×50＝8，同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]這5個時間段送外賣的頻數(shù)分別為14，10，5，8，5.∴外賣小哥送50單的收入為8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元).(2)由(1)知，在[13，15)這個時間段共送10單外賣，10單外賣中有4單帶飲品，6單不帶飲品，X的可能取值為0，1，2，3.∴X的分布列為考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】

(2020·昆明診斷)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為p(0.7≤p≤0.9). (1)任取樹苗A，B，C各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). (2)將(1)中的E(X)取得最大值時p的值作為B種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，①求一棵B種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？解

(1)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3.則P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，P(X＝3)＝0.8p2.X的分布列為E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.(2)當(dāng)p＝0.9時，E(X)取得最大值.①一棵B種樹苗最終成活的概率為0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②記Y為n棵樹苗的成活棵數(shù)，M(n)為n棵樹苗的利潤，則Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，X0123P0.2p2－0.4p＋0.20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200000，則有n＞699.所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹苗，就可獲利不低于20萬元.規(guī)律方法二項(xiàng)分布的均值與方差(1)如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同樣還可求出D(aX＋b).【訓(xùn)練2】

(2020·東營質(zhì)檢)互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.M市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣A、外賣B)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查，從使用過這兩種外賣服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分?jǐn)?shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)種類[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]外賣A(人數(shù))50150100400300外賣B(人數(shù))100100300200300表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意.若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價較高，現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個檔次：分?jǐn)?shù)[0，40)[40，60)[60，80)[80，100]服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)0123用頻率表示概率，解決下列問題：(1)從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率.(2)記外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Ai，外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Bi，i∈{0，1，2，3}，則其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率為P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.考點(diǎn)三均值與方差在決策問題中的應(yīng)用若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300，0.則X2的分布列為：解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150.則X1的分布列為所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.規(guī)律方法隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【訓(xùn)練3】

東方商店欲購進(jìn)某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進(jìn)該食品一次(購進(jìn)時，該食品為剛生產(chǎn)的).根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進(jìn)價8元，售價12元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表：銷售量/份15161718天數(shù)20304010(視樣本頻率為概率)(1)根據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進(jìn)32或33份，哪一種得到的利潤更大？解

(1)根據(jù)題意可得，X的所有可能取值為30，31，32，33，34，35，36.X的分布列如下：(2)當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤為可見，當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤更大.＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元).當(dāng)購進(jìn)33份時，利潤為125.6＞124.68，考點(diǎn)四正態(tài)分布A.甲類水果的平均質(zhì)量為0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99(2)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，62)，P(X≤5)＝0.89，則P(X≤3)