內(nèi)蒙古赤峰市林東第一中學(xué)2023屆高三5月數(shù)學(xué)模擬考試題（含答案與解析）

赤峰市林東第一中學(xué)2023年高考模擬考試卷

高三數(shù)學(xué)（理科）

全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，班級、考場號，座位號，考生號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

什讓人A=[xwN]5+4x—X?>。]B-<3）AO

I若集合II>,1I，，則A

A.（-1,3）B.{0,1,2}C.[0,3）D.{1,2}

2.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2二的虛部為（）

1-i

1

A.——B.—i

22

3.在0+—2]的展開式中，x的系數(shù)為（）

A12B.-12C.6D.Y

4.逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，鍛造出中國路、中國橋等一張張閃亮的

“中國名片如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在三處測得道路一側(cè)山頂尸的仰

角依次為30,45,60,其中A3=〃,5C=伙0VQV3〃），則此山的高度為（)

12ab(a+b)B13ab(a+b)

A.1

J3b-a

21V3b-a

C.15ab(a+b)D

J3b-aJ3b-a

2、21

5.某高校計劃在今年暑假安排編號為A,B,C,D,E,F的6名教師，到4個不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每

個學(xué)校至少安排1人，其中8,。必須安排在同一個學(xué)校.則不同的安排方法共有（）

A.96種B.144種C.240種D.384種

cl117

6.若數(shù)列｛a,J滿足％=則a2023=()

-4all+ianan+i

11

A.2B.---C.-3D.-

23

一.(兀)3,則sin|2a+y\=(

7.已知sin|a+-=-

I3j5I6j)

2424c.L7

A.——B.——D.——

25252525

8.已知拋物線V=8x的焦點為F,點M在拋物線上（異于頂點），0M=2ON（點。為坐標(biāo)原點），

過點N作直線的垂線與x軸交于點P,則2|。尸|一|3|=（）

A.6B.275C.4D.273

9.兩個邊長為4的正三角形一ABC與△A3。，沿公共邊AB折疊成60。的二面角，若點A,B,C,。在

同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

80兀208兀64K112兀

A.----B.-----C.---D.-----

9933

10.已知“X）為定義在（―8,O）U（O,4W）上的偶函數(shù)，已知/⑴=0,當(dāng)x＞o時，有2/（x）-才（x）＞0,

則使/（x）＞0成立的x的取值范圍為（）

A.（-oo,-l）u（0,l）B.（-l,0）U（l,-K?）

C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-l,0)U(0,l)

11.已知函數(shù)/(x)=cos<yx-V3sinCDX{G)>0),若在區(qū)間［0,2句上有且僅有3個零點和2條對稱

軸，則。的取值范圍是（）

-1319、'13

A—，—c.D.

163)B.L1212J_3,12j

12.已知a=e("—1,Z?=sinO.l,c=lnl.l,則。，b。的大小關(guān)系是（)

A.a<h<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<ci

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

y?3

13.設(shè)X,y滿足約束條件,X-y-1V0,則Z=）的最小值為.

x+y-3>0A

-12

14.已知向量。=,b=（y,2）,其中x>0,y>0,若4_[_b，則嚏+了最小值為.

15.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若型4=也，則該三角形周

ab2

長的最大值為__________?

16.如圖，已知正方體ABC。-的棱長為2,P為底面正方形A8CD內(nèi)（含邊界）的一動點，則

下列結(jié)論正確的序號有.

①存在點p,使得AP〃平面BC。；

②三棱錐與-4Ap的體積為定值；

③當(dāng)點尸在棱C。上時，|「A|+|尸四|的最小值為2血+2；

④若點尸到直線與到直線4。的距離相等，C。的中點為E,則點P到直線AE的最短距離是短.

10

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.如圖，在圓錐尸。中，AB是底面的直徑，C是底面圓周上的一點，且PO=3,A3=4,N3AC=30°,

M是3C的中點.

(1)求證：平面PBC1平面POM；

(2)求二面角O—PB—C的余弦值.

18.已知數(shù)列｛q,｝的前”項和為S“，且S,=/+2〃.

(1)求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)2=-----，求數(shù)列｛〃｝的前〃項和.

anan+\

19.甲、乙兩人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形狀完全相同的3個紅球、2個黃球和1個藍(lán)球.乙的箱

子里放有大小形狀完全相同的X個紅球、y個黃球和Z個藍(lán)球，x+y+z=6(x,y,zeN").現(xiàn)兩人各從自

己的箱子里任取一球，規(guī)定同色時乙勝，異色時甲勝.

(1)當(dāng)x=l,>=2,z=3時，求乙勝的概率；

(2)若規(guī)定：當(dāng)乙取紅球、黃球和藍(lán)球獲勝的得分分別是1分、2分和3分，否則得零分.求乙得分均值的

最大值，并求此時x,y,z的值.

22

20.已知橢圓C：二+《=1(a>6>0)的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,尸(%,九)是橢圓。上異

cTb一

于左、右頂點的動點，△PEE的周長為6,橢圓c的離心率為

(1)求橢圓c標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓E與APK鳥的三邊都相切，判斷是否存在定點M,N,使|EM|+|EN|為定值.若存在，求出

點”,N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)/(%)=±h+依-2,其中〃為實數(shù).

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)在區(qū)間［(),+。)上的最小值；

2

(2)若函數(shù)/(x)在R上存在兩個極值點.，x二且玉?求證：e*2-e*|>——2.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分.

x=-l+2cos^

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為《，..八(6為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x

y=l+2sm。

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線/的極坐標(biāo)方程為：/?=?(?e[0,7t),peR),已知直線/與曲線C

相交于M,N兩點.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程：

(2)記線段的中點為P,若|沖4；1恒成立，求實數(shù)4的取值范圍

23.已知函數(shù)/(力=|乂+上一引一|2%一2|.

(1)求“X)的最小值機(jī)；

2b2

(2)若a]為正實數(shù)，且a+A+2根=0,證明不等式上a一+—N1.

Z?+l。+1

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

廿人人A=(xeN〔5+4x—f>。[5={x|x<3)AD

I,若集合I?<1，，則A”-

A.(-1,3)B.{0,1,2}C.[0,3)D,{1,2}

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：求出A中不等式的解集的自然數(shù)解，確定集合A,找出A與3的交集即可.

詳解：由題意，可得集合4=[€M5+4%-％2>0}={》6兇(》一5)(%+1)<0}={0,1,2,3,4},

因為8={x|x<3},所以Ac5={0,l,2},故選B.

點睛：本題主要考查了集合的交集的運算，其中正確求解集合A和交集的運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與運算能力.

2.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2二的虛部為()

1-i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可得答案.

2-i(2-i)(l+i)3+i31.

【詳解】--------=-----------------------=--------=—I—1其虛部為g.

1-i(l-i)(l+i)222

故選：D.

3.在（l+x）（x—2）的展開式中，X的系數(shù)為（）

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】D

【解析】

2

【分析】根據(jù)題意，由二項式展開式可得只有（1+x）中的1與X相乘才會得到

X,然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為jx—2]=C^x3+C；-x2f--Lc^%

IX)\X)xj

所以只有（1+X）中的1與1一2）中的C；?尤一W相乘才會得到X,

即C＞￡（—：）=一6%，所以X的系數(shù)為-6.

故選:D.

4.逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，鍛造出中國路、中國橋等一張張閃亮的

“中國名片如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在三處測得道路一側(cè)山頂尸的仰

角依次為30,45,60，其中A3=a,3C=仇0＜。＜3加，則此山的高度為（)

15ab(a+匕)16ab(a+b)

2V3b-a2V3b-a

【答案】D

【解析】

【分析】作出直觀圖，山高P0=〃，利用仰角表示出AO,BO,C。，在a40C中,

cos/ABO=-cos/CBO,利用余弦定理建立等式化簡即可.

【詳解】如圖，設(shè)點P在地面上的正投影為點。，則

ZPAO=3(),NPBO=45,NPCO=60,

設(shè)山高PO=/z,則AO=BO=h,CO=叵,

3

在^AOC中，cos/ABO——cos/CBO,

,,,]/+h2_lj_3ab（a+b）

由余弦定理即有：a2+lr-3lr"十〃3,整理得加=馬一A

2ah=^r-2（3口）

所以人」回叵

2\3b—a

故選：D.

5.某高校計劃在今年暑假安排編號為A,B,C,D,E,尸的6名教師，到4個不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每

個學(xué)校至少安排1人，其中B,。必須安排在同一個學(xué)校.則不同的安排方法共有（）

A.96種B.144種C.240種D.384種

【答案】C

【解析】

【分析】先將6名教師分成4組，然后再分配到學(xué)校即可.

【詳解】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學(xué)校.若教師人數(shù)依次為3,1,1,1,則不同的安排方法種數(shù)

為：C；xA：=96種;

若教師人數(shù)依次為2,2,1,1,則不同的安排方法種數(shù)為：C；xA：=144種,

故不同的安排方法共有96+144=240種.

故選：C.

，、c111

6.若數(shù)列｛%｝滿足q=2,----------------------=1，則。2023=（）

anan+\anan+\

]_

A.2B.C.-3D.

23

【答案】B

【解析】

【分析】利用數(shù)列的周期性即可求得々023的值?

111+d

【詳解】因為--------所以an+\-----.又因為q=2,

aaa

n%+1nn+l1一%

1--114

1+21-3121」二2

所以生二4=—t="5

1-21+321

1+-J1——

23

1

所以｛為｝是周期為4的數(shù)列，故%023

故選：B

兀

71|,則sin2a+"=(

7.已知sina+一)

36

242477

A.—B.-----D.

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.

【詳解】sinl2a+^=sin2a+女」…2a+生

I32I3

=2sin2（a+0-1=---.

I3j25

故選：D

8.已知拋物線V=8x的焦點為產(chǎn)，點”在拋物線上（異于頂點），OM=2ON（點。為坐標(biāo)原點）,

過點N作直線的垂線與x軸交于點尸，則2|。尸|一|“司=（）

A.6B.25/5C.4D.2百

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)M,由0M=20N，得N為。M的中點，表示NP的方程，求出點P的坐標(biāo)，結(jié)合

拋物線的定義求得結(jié)果.

【詳解】法一：依題意，設(shè)M聾,%,由0M=20N，得N為。M的中點且N普,空，

8\162

則人加=Z，易得直線OM垂線NP的方程為丁一普=一普fx—普

為28116

2(,2、A2

令y=0,得x=^+4,故P親+4,0,由拋物線的定義易知阿目迎+2,

8

故2|OP|—可=2匹+4&+2=6,

(16

故選:A.

法二：特殊值法.不妨設(shè)M(&8),則N(4,4),則后加=1,易得直線OM的垂線NP的方程為

),一4=一(％-4).令丫=0,得％=8,故P(8,0),又|MF|=10,故2|0“一|心|=16-10=6.

故選:A.

9.兩個邊長為4的正三角形與△A6。，沿公共邊AB折疊成60。的二面角，若點A,B,C,D在

同一球O的球面上，則球O的表面積為()

80兀208兀647r112兀

A.-----B.--------C.------D.-------

9933

【答案】B

【解析】

【分析】作出輔助線，找到球心的位置及。點在平面A8C上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球

的半徑，進(jìn)而得到球的表面積.

【詳解】取AB的中點E，連接CE,OE,

因為正三角形心ABC與△A3。的邊長為4,所以O(shè)ELA3，CE±AB，

且。E=CE=2V5，

故NCED為二面角。一AB—C的平面角，ZCED=60°,

所以_CD￡是等邊三角形，

取CE的中點尸，連接。E,則。尸_LCE,CF=6，DF=y[iCF=3,

因為OE_LAB，CELAB,DEcCE=E,OE,C￡u平面COE,

所以AB，平面CQE，

因為￡>Eu平面COE，所以。尸，AB，

因為ABcC￡=E,AB,C￡u平面ABC,

所以平面ABC,

取的中心G,則點G在CE上，且CG=2EG,故CG=2cE=2?，

33

則球心。在G點正上方，連接。QOG,OC,過點。作OKJ_Z)產(chǎn)于點K，

則OK=GF'小與

設(shè)GO=h,DO=CO=R,則GO=FK=h,

2222

由勾股定理得DO2=OK2+DK2g+(3-〃)2,0C=GO+CG=h

192

故：+(3_〃)=/?2，解得力

52

故外接球半徑/?2

~9

故球0的表面積為4兀配=2也

9

故選：B

【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注意球

心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解

題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的

半徑

10.已知己⑺為定義在(p,0)U(0,y)上的偶函數(shù)，已知己(1)=0,當(dāng)x>0時，有21(%)-0'(％)>0,

則使/(x)>。成立的x的取值范圍為()

A.(F,-1)D(O,1)B.(-l,0)U(l,4w)

C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-l,O)U(O,l)

【答案】D

【解析】

【分析】令g(x)=g?，其中戶0,分析函數(shù)g(x)的奇偶性及其在(0,+。)上的單調(diào)性，由〃x)>0

可得出g(x)>(),可得出g(|x|)>g⑴，可得出關(guān)于x的不等式，解之即可.

【詳解】令g(x)=/單，其中xwO,因為函數(shù)〃x)為定義在(―8,0)U(0,+x5)上的偶函數(shù)，

X

貝I」/(-x)=/(x),所以，g(/-x)\=^/~(-X-2)~=—/(XJ)=g(/x)、,

(r)》

所以，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

<f(x)-2V(x)=/(x)-2/(x)<0,

當(dāng)x>0時,g'x)

所以，函數(shù)g(無)在(0,+8)上為減函數(shù)，且g(l)=*=o,

由/(x)>0可得g(x)=^i^l〉0,則g(x)=g(|x|)>O=g(l),

k|<1

所以,八，解得一l<x<0或Ovxvl,

因此，使〃x)>0成立的工的取值范圍為(-1,O)U((),1).

故選：D.

11.已知函數(shù)/(x)=cosCDX-43sincox(a)>0),若/(x)在區(qū)間［0,2句上有且僅有3個零點和2條對稱

軸，則0的取值范圍是()

5夕1319419134

,3，-12

63>1253

【答案】D

【解析】

【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用即可求出①的取值

范圍.

【詳解】函數(shù)/(X)=COSG尤一6sinGx=2—coscox----sincox=2coscox-\-—,

7

.71兀7T

令，=S+一,由xe[(),27i],貝打e—,2TI(O+—

又函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2K］上有且僅有3個零點和2條對稱軸,

兀71

即y=2cosf在區(qū)間-,2na)+-上有且僅有3個零點和2條對稱軸,

故選：D.

12.已知h=sin().l,c=lnl.l,則4，b，。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<hC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)得到a=e°」-l>0.1，Z?=sin0.1<0.1,c=lnl.l<0.1,再構(gòu)造函數(shù)比較出

0I30I20I3

/?=sin0.1>0.1--,0.1--+—>lnl.l=c,從而比較出大小.

623

【詳解】令/(xhe'—l—x,x>0,則/'(x)=e'-l,當(dāng)x>0時，用x)>0,

所以/(x)=e'-l—x在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,

故。=6°」一1>0.1，

令g(x)=sinx-x,x>0,則8'(力=以％_￥-140在(0,+8)上恒成立，

故g(x)=sinx-x在(0,+8)單調(diào)遞減，故g(x)<g(O)=O,

所以人=sin0.1<0.1,

1

令/z(x)=ln(l+x)—x,x>0,則〃'(x)=-------1=——<0,

1+x1+x

故〃(力=山(1+力-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故力(x)<M0)=0,即c=lnl.l<0.1,

32

構(gòu)造j(x)=sinx-x+—,XG(0,1),pjijjf(x)=cosx-l+—,

62

令％(x)=/'(x),則〃(x)=-sinx+x,

令/(x)=r(x),則/'(x)=1—cosx>0在無e(0,1)上恒成立，

故/(x)=Z'(x)在xe(0,l)上單調(diào)遞增，又左'(0)=0,故％'(x)>0在xe(0,l)恒成立，

故我(%)="力在x?0,l)上單調(diào)遞增,又/⑼=0,故j'(x)>0在x仕(0,1)恒成立,

Al3AP

故)(O.l)>j(o),即sinO.l-0.1+——>0,sin0.1>0.1--—,

66

r23

構(gòu)造卬(x)=ln(l+x)-x+^--—,XG(0,1),

1-1+x-x2,令e(x)=W(x),則d(x)=_(]J)2+l-2x,

則vv'(x)=

1+x

2

令r(x)=e'(x)，則/(x)=°+x)3-2<0在尤G(0,1)上恒成立,

故r(x)=e'(x)在XG(O,1)上單調(diào)遞減,又e'(0)=-1+1=0,

故r(x)=e'(x)<0在xe(0,1)上恒成立，故e(x)=W(x)在xe(0,1)上單調(diào)遞減,

又以(0)=(),故e(x)=w'(x)<0在xe(O,l)上恒成立，故w(x)在xe(0,l)上單調(diào)遞減,

0I20I30I20I3

故vv(O.l)<卬(0),即InLl—0.1+^!-——<0,即—旦+與，

2323

0I3()I2oI3

因為sin0.1>0.1——:—>0.1——:—十——>Inl.L故C<0VQ.

623

故選：C

【點睛】方法點睛：麥克勞林展開式常常用于放縮法進(jìn)行比較大小，常用的麥克勞林展開式如下:

r352〃+l

e*=l+x+工++—+0(^：M+1),sinx=x---+----+(-1)7-------r+

2!nl'f3!5!v7(2/t+l)!'

丫2丫462〃

COSX=1--------+--------------++(-1),，-—,

2!4!6!v7(2n)!、7

丫23n+\

ln(l+x)=x---+--―———+o(￡：n+,),

v723'>〃+II

鹿(〃一1)2(

----=1+X+X2++x"+O(x"),(1+X)〃=1+71￥+------Lx+o\x'2

2!、

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

y?3

13.設(shè)滿足約束條件,x-y—140,則z=2的最小值為

x+y-3>0A

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】作出線性區(qū)域，由圖分析求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.

【詳解】作出線性區(qū)域如圖所示：

Z=2=上二9，所以z表示可行域中的點(x,y)到原點連線的斜率，

xx-0

由圖可知，點42,1)與原點連線斜率最小，

所以Z=2的最小值為：y

X乙

故答案為：y.

.八12

14.已知向量a=(1,工一1),Z?=(y,2),其中x>0,y>0,若aJL。，則一+一的最小值為

xy

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)向量運算可得2x+y=2,再由均值不等式求解即可.

【詳解】a_Lb，a-(l,x-l),b=(y,2),

/.2x-2+y=0,即2x+y=2,

.,121...f12、if,y1(..ly.

由x>0,y>0則一+-=—(2x+y)—+—=-4+—+—>-4+2-?—=4,

txy2{xy)xy)2^y)

y4x八.

當(dāng)且僅當(dāng)土=——，即y=2x=l時等號成立,

xy

12

故一+一的最小值為4.

xy

故答案為：4

15.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若空4=120=亞，則該三角形周

ab2

長的最大值為.

【答案】巫

2

【解析】

【分析】利用正弦定理化簡式子，求出tan8的值，進(jìn)而求出8的大小，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可

求出a+cvG，即可求出三角形周長的最大值.

【詳解】由正弦定理變形有："1=空夕又因為亞1=丑經(jīng)^=立，所以GcosB=sinB，

abab2

則tan6=G,；.B=工，又因為a210=變，所以卜_2幣cosB_26義&一巫,

又因為〃=〃2+/_2?ccosB-^a+c)2-3ac>(a+c)2(三，)_=；(4+蛾>

所以(a+c)244〃=4x：=6=a+cW布，當(dāng)且僅當(dāng)“。=C”時取等.

則該三角形周長的最大值為a+6+c="+』5=2區(qū).

22

故答案為：巫.

2

16.如圖，已知正方體ABC。-AMGA的棱長為2,P為底面正方形ABCQ內(nèi)(含邊界)的一動點，則

①存在點p,使得A平面用c。；

②三棱錐與-的體積為定值：

③當(dāng)點P在棱CD上時，|PA|+儼41的最小值為2夜+2；

④若點P到直線B片與到直線AO的距離相等，8的中點為E,則點P到直線AE的最短距離是35.

【答案】①②④

【解析】

【分析】對于①，當(dāng)點P為BD與AC交點時，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于②，由尸到上底面

的距離是定值即可判斷；對于③，將平面ABC。沿C。旋轉(zhuǎn)至平面AfC。共面，即可得到|/%|+|04|的

最小值，從而得以判斷；對于④，先得到點尸的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到直線的最小距離，

從而得解.

【詳解】對于①，連接與2,4G，交點為E，連接EC，連接8。，AC交氤為P,連接A|P,如圖，

因為在正方體ABCD-ABIG。中，AA|//CC],A4=CC],

所以四邊形AAGC是平行四邊形，所以AC//4G，AC=4￡,

易知瓦尸是4G，AC的中點，所以PC//AE,PC=AE,

所以四邊形APCE是平行四邊形，則AP//EC，

又A/U平面4cq,EC.平面6c2,所以A。//平面4c4,故①正確；

對于②，三棱錐g-4RP的體積就是三棱錐P-444的體積，而P到上底面的距離是定值，

所以三棱錐禺-4AP的體積是定值，故②正確；

對于③，當(dāng)點P在棱CD上時，把平面A3CD沿8旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)面與平面A4CO共面，連接AB,

此時I24|+歸4]取得最小值|A卻,

在Rt/4A'中，|A4|=2,|AA'|=20+2,則|AB|=聲20+2，故③錯誤；

對于④，由點P到直線與到直線的距離相等，可知。在以A。為準(zhǔn)線，8為焦點的拋物線上，建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則3(1,0),P的軌跡是拋物線，其方程為＞2=4X(OWXW1),

因為CO的中點為E，A(-l,0),E(0,2),

所以AE的方程:y=2x+2,與AE平行的拋物線的切線方程設(shè)為y=2x+b,

y=2x+Z?.、

聯(lián)立《2，可得4/+(4〃-4)x+〃=0,

y=4x

則由△=(46—4)2—16/=0,解得人=；,可得切線方程為y=2無+；,

2--廣

則點P到直線AE的最短距離為_2_=3V5,故④正確；

也一記

故答案為：①②④.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第④結(jié)論的解決關(guān)鍵是利用拋物線的定義，建立平面直角坐標(biāo)系，得到點P的軌

跡方程，從而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到直線AE的距離的最值，從而得解.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.如圖,在圓錐PO中，A3是底面的直徑，C是底面圓周上的一點，且PO=3,AB=4,NB4C=30°,

M是的中點.

p

(1)求證：平面PBC1平面POM；

(2)求二面角0-尸3-。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵B

4

【解析】

【分析】(1)確定BCJ.AC,根據(jù)中點得到5C_LOM,得到BC1平面POM,得到面面

垂直.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，平面CPB的一個法向量為"=1,6,-竽)，00=(2,0,0)

是平面。依的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.

【小問1詳解】

由AB是底面的直徑，點C是底面圓周上的點，得BC±AC.

又因0，M分別為84，BC中點，所以0M〃4C,故

因P。是圓錐的軸，所以底面ABC,又BCu平面ABC,故POJ.BC.

于是BC與平面PQ0內(nèi)的兩條相交直線P。，OM都垂直，從而平面PQM；

而8Cu平面P6C,故由平面與平面垂直的判定定理，得平面P6C1平面POM.

【小問2詳解】

在圓錐底面，過圓心。作直徑的垂線，交圓周于點。，則直線。。，OB,O尸兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，直線。。，OB,OP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖：

則0(0,0,0),B(0,2,0),C(A1,O),D(2,0,0),P(0,0,3).

設(shè)平面CPB的一個法向量為n=(x,y,z),

n?BC=(x,y,z)?(G,-1,0)=Cx-y=0y=Gx

則《

n-BP=(x,y,z)-(0,-2,3)--2y+3z=02y=3z

取x=l,得〃=

又0。=（2,0,0）是平面OPB的一個法向量,

平面OPB與平面CP3所成的二面角是銳角，故二面角O—的余弦值為旦

4

18.已知數(shù)列｛%｝的前八項和為S“，且S“=1+2〃.

（1）求證：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)勿=」一,求數(shù)列他J的前〃項和.

anan+\

【答案】（1）證明見解析

n

⑵3（2〃+3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)前〃項和與通項公式之間的關(guān)系可得?！?2〃+1,再結(jié)合等差數(shù)列定義證明;

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項相消法求解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時，則q=S[=3；

當(dāng)〃22時，則=S,-S“T=（〃2+2〃）一[（〃-1），2（〃-1）]=2〃+1；

顯然當(dāng)〃=1時，也滿足上式，

所以=2”+1.

當(dāng)后2時，則4=（2〃+1）_[2（〃_1）+1]=2,

所以數(shù)列｛4｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

,1\（11）

由⑴可知，％=2〃+1,則仇=（2"+1）（2〃+3）=5〔亦F五百〉

可得4+Z?2++2

_11_n

-7―4〃+6-3伽+3）

所以數(shù)列也｝前〃項和為3（2〃+3）-

19.甲、乙兩人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形狀完全相同的3個紅球、2個黃球和1個藍(lán)球.乙的箱

子里放有大小形狀完全相同的x個紅球、y個黃球和z個藍(lán)球，x+y+z=6（x,y,zeN*）.現(xiàn)兩人各從自

己的箱子里任取一球，規(guī)定同色時乙勝，異色時甲勝.

（1）當(dāng)x=l,y=2,z=3時，求乙勝的概率；

（2）若規(guī)定：當(dāng)乙取紅球、黃球和藍(lán)球獲勝的得分分別是1分、2分和3分，否則得零分.求乙得分均值的

最大值，并求此時x,y,z的值.

【答案】（1）?

18

（2）乙得分均值的最大值為1,此時x=z=l,y=4

【解析】

【分析】(1)設(shè)出事件，根據(jù)古典概型概率公式求得事件的概率，進(jìn)而表示出事件乙勝，根據(jù)獨立事件以

及互斥事件，即可求出答案；

(2)用隨機(jī)變量X來表示乙得分，則X可取01,2,3.然后分別計算得出X取0,1,2,3時的概率，根據(jù)期

望公式求出即可得出￡(*)=管+茅，根據(jù)已知結(jié)合x,、z的取值范圍，即可得出答案.

【小問1詳解】

記“甲取紅球”為事件4，“甲取黃球”為事件人,“甲取藍(lán)球”為事件人,“乙取紅球”為