屆高考數(shù)學理二輪黃金考點匯編考點導數(shù)的應用單調(diào)性、最值、極值解析版

考點10導數(shù)的應用(單調(diào)性、最值、極值)

【考點分類】

熱點1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.12014全國1高考理第11題】已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+\,若/(x)存在唯一的零點七,

且%>0,則a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(l,+oo)C.(-8,—2)D.(-co,-1)

【答案】C

t解析】

試題分析：當a=0時，/(x)=-3x:+1,函數(shù)/'(x)有兩個零點f和?不滿足題意，舍去；當a>0

33

時，/(x)=3ax:-6x,令f(/=0,得x=0或m=工三(-x：0)時，/(x)>0；xw(0上)時，

aa

/(x)<0;xw(±+x)時，/(x)>0,且"?"3此時在丫三(一元0)必有零點，故不滿足題意，舍

a

去；當a<0時，xe(一七三)時，/(x)<0,xw(三。對，f(好>0；xe?+x)時，/(x)<0,

aa

且/(0)>0,要使得/(X)存在唯一的零點工，且乓、0,只需汽3>0,即a：>4,則a<-2,選C.

a

考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2.【2014高考安徽卷第18題】設函數(shù)/(無)=1+(1+。)%-/一次3,其中。>0.

(1)討論/(X)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)當xe[O,l]時，求/(x)取得最大值和最小值時的x的值.

【答案】⑴f(x)在(一二不)和(x〉+8、「'j單調(diào)道漏在用小)內(nèi)單調(diào)遞噌；(2)所以當0<。<1時,

/(x)在x=l處取得最小值；當。=1時?/(x)在X=0/K=1處同時取得最小只；當1<。<4時，

/(X)在x=0處取得最小值.

【解析】

試題分析：(1)對原函數(shù)進行求導，/'(x)=l+a-2x-3x:,令/'(x)=0,解得

1ryja+1+4

Xl=----;———.X=-----;——-X1<x.當x<七或x>x：時/'(x)<0；從而得出，當

3;'j:2-一

±<x<三時，/'(x)>O.故/(x)在(一GX1)和(.0.+x)內(nèi)單調(diào)遞遍，在(打工2)內(nèi)單調(diào)遞噌.(2)依

據(jù)第(1)題，對a進行討論，①當a24時，三21,由。、知，/(x)在［0』上單調(diào)述噌，所以/(x)

在x=0和x=l處分別取得最小值和最大值.②更C-a<4時，三<1.由(1)知，f(x)在［0：xJ上單

調(diào)遞增，在［X、1］上單調(diào)遞減，因此FG:在?.=七=——0------處取得最大值.又

*3

/(0)=L/(l)=fl,所以當0<avlG,/(幻：工丫=1處取得最小值，當a=l時，/(x)在x=0和

x=l處同時取得最小只；當l<a<4時，/(x)在x=0處取得最小值.

試題解析：⑴/(x)的定義域為R,/'(x)=l+a-2x-3x：令/'(x)=0,得

—1—4+3々-1+4+3a

X［=----;———.X,=-----;———X1<x，所以/'(x)=-3(x一±)(x_x、).當x<演或x>X,

3,3:z

時/'(X)<O；當XiVXVX?時，/'(X)>0.故/(X)在(一8：三)和(三：+8)內(nèi)單調(diào)圜勛在(X［：X：)內(nèi)

單調(diào)遞增.

(2)因為a>0,所以網(wǎng)<0；0>0.

①當。24時，x;>l,由(1)知，/(x)在［0］：單調(diào)遞噌，所以/(x)在x=0和x=l處分別取得最

小值和最大值.②當0<。<4時，三<1.由、D知，/(x)在［O：xJ上單調(diào)遞噌，在［工：1］上單調(diào)

遞減，因此/(X)在x=匕=-1+中+3"處取得黑大值,又氣。)=L/(l)=a,所以當0<a<1時，

/(X)在x=l處取得最小值；當a=l時，/(x)在x=0和x=l處同時取得最小只；當l<a<4時，

/(x)在x=0處取得最小值

考點：1.含參函數(shù)的單調(diào)性；2.含參函數(shù)的最值求解.

7T

3.【2014高考北京理第18題】已知函數(shù)/(x)=xcos%-sinx,x￡［0,］］.

(1)求證：/(%)<0；

(2)若。(qin把Y對xe(O,T土T)恒成立，求。的最大值與b的最小值.

x2

【答案】(1)詳見解析；(2)a的最大值為6的用小值為1

【解析】

試題分析：(1)求1r(K),由xc(O,1),判斷出尸(0<o,得出函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，從而

f(x)</(0)=0;(2)由于xw。至)，“竺三>a”等價于“sinx-G>0",“空三<6”等

2xx

1

價于"sinx-6xv0",令g(x)=sinx—ex,T1^**y=cosx-r對c分cWO；c>1；Ovcvl進行討

論，

用導數(shù)法判斷函數(shù)g(x)=sinx-ex的單調(diào)性，從而確定當a<吧工<6時xwQ馬恒成立時a的最大值

x2

與6的最小值.

試題解析：(1)由f(x)=xcosx-sinx得f\x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

r

因為在區(qū)間(0,彳)上f\x)=-rsinx<0■所以，(x)在區(qū)何［0:彳］上單調(diào)遞減，

從而/(x)</(0)=0.

(2)當x>0時，“吧〉a"等價于"sinx-a、，>0",“吧<方”等價于“sinx-6x<0'',

XX

令g(苗=sinx-cx,則g'(A)=cosx-e

當c40時，8在)>0對任意丫￡(05)恒：之，

當c21時，因為對任意xw=cos〔-cv0,巴以g(x)在區(qū)間［0：=1上單調(diào)遞減，從而

g(x)<g(0)=0對任意xw(0,g)恒成:

當0<c<1時，存在唯一的x:€(0,，)使得g'(x：)=cosXj-c=0,

TT

g(x)、g'(x)在區(qū)間(0,y)上的情況如卜表：

/x兀、

X(O,xo)Xo(o，萬)

g'(x)+0—

g(x)TJ

因為g(x)在區(qū)間[Q毛]上是增函數(shù)，所以g(x；)>g(0)=0,進一步“g(x)>0對任意xc恒成立“

，當且僅當g(])=l-?c20,即0<cW2.

綜上所述，當且僅當c?二時，g(x)>0對任意xe(0=)'尸二立.當且僅當c21時，g(x)〈0對任意

xe(61)恒成立.

所以，若。<色竺對x?(o一馬恒成立如■的最大值％工與方的最小值1.

x2冗

考點：導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，恒成立、分羋討論.

Q

4.【2014高考遼寧理第21題】己知函數(shù)/(x)=(cosx—x)5+2x)-§(sinx+l),

.2x

g(x)=3(x-x)cosx-4(1+sinx)ln(3---).

71

jr

證明：(I)存在唯一與€((),'),使/(%)=0；

(H)存在唯一X]e乃)，使g(X1)=0,且對⑴中的Xo+X]<7T.

【答案】(I)詳見解析；(0)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)當16。：)時，/'(x)=-(l+sinX)(,T+2X)-2X--^COSX<0,函數(shù)/'(x)在(0：/上

為減函數(shù)，又/(0)=,T-^>0:/(^)=一三-2<0,所以存在唯一X；e(0:§,使/(x0)=0.(II)考

慮函數(shù)；?(x)="；一空吧-41n(3一2力.xe[1司，令r=0-x,!I!iJxe[-.^]W，re[0.-],

1+sinx7T222

cost，3(t)

記〃-41n(l+上r),則/(r)=——-q----，有3)得，當rw(0,x：)時，

1+sinr7l(rr-J*\l+sinr)

當時，〃'(r)<0.在(0：J上認。是噌I虱k，又認0)=0,從而當rwQx。]時，

u(r)>0?所以認。在(0⑼上無零點花(天一)上是減班.亞，又。(xJ>02(令=-41n2<0,存在

唯一的&e,使此)=0.所以苗工唯一的[三(X：A)/必)=0.因此存在唯一的

再=笈-4w(f一磅，使7?(演)=，?(丁一。1)=〃(4)=0.因為當xw時，l+sinx>0,故

g(x)=(1+sinx)7z(x)與方(x)有相同的零點，所以存在唯一的國€(^-S,T),使名(項)=0.因

X,=7T-tx>tx>xo,所以玉)+王<萬，即命題得證.

試題解析：(I)當xe(O，)時，/'(x)=-(1+sinX)(,T+2X)-2x-^cosr<0,函數(shù)f(x)在(04)上

232

為夠函數(shù)，又/(0)="一?>0,/(1)=—,三一學<0,所以存在唯一吃￡(0,1),使7?(x°)=0.

(II)考慮函數(shù)A(x)="一二八*-4ln(3一￡x\xc[三，用，

1+sinx7t2

令t-貝幻時，re[05-],

記〃S=W；r-r)=^^-41n(l+：。，則"'?)=---------------,

1+sinr7t(^,+2/^(1+sinr)

有(I)得，當ree均)時，"")>0,I當fu(孫當?shù)模?/p>

在(0,七)上〃缶是噌函數(shù)，又“(0)=0,從而當re。1時，所以"(。在(0,七]上無零點.

在(x>g)上〃(。是減函數(shù)，又〃(x：)>(X〃d=-41n2v0,?子在唯一的&W,使〃Gi)=0.

所以存在唯一的txe(x0,^)使岫)=0

因此存在唯一的內(nèi)=乃一4W(三,工)，盧:“內(nèi))=?<!-?!)=￡.^)=0.

因為當工€(三1)時，l+sinr>0>故以工)=(1+5出工)砥丫)與砥丫)有相同的零點，所以存在唯一的

項嗚㈤'使g(』)=o

因$=1一4聲>七，所以毛+X1<；T

考點：1.零點唯一性的判斷；二.函數(shù)的單調(diào)性的應用.

bex~'

5.12014高考全國1第21題】設函數(shù)/(x)=ae'lnx+、?，曲線y=/(x)在點(1J⑴)

x

處的切線方程為y=e(x—1)+2.

(I)求a,b;

(II)證明：/(x)>l.

【答案】(I)4=11=2；(H)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)由切點(l,/(l))在切線y=e(x-l)+2.上，代入得/(l)=2①.由導數(shù)的幾何

意義得f(l)=e②，聯(lián)立①②求a,。：(H)證明/*)>1成立，可轉化為求函數(shù)/(x)的最小

值，只要最小值大于1即可.該題不易求函數(shù)/(X)的最小值，故可考慮將不等式結構變形為

22

x\nx>xe~x——，分別求函數(shù)g(x)=xlnx和力(九)=旄一"——的最值，發(fā)現(xiàn)g(x)在(0,+8)

ee

的最小值為gd)=-L,/i(x)在(0,+8)的最大值為〃(1)=-』.且不同時取最值，故

eee

2

xlnx>xe-x-一成立，即/(x)>1,注意該種方法有局限性/(x)>g(x)只是不等式

eminmin

/(x)>g(x)的充分不必要條件，意即當/(x)>g(x)成立，最值之間不一定有上述關系.

xx1

試題解析：(D函數(shù)的定義域為(0,+工).f(x)=aelnx+-e-^e^+-.

Xx"X

由題意可得，f(1)=25/(1)=e.故a=l：6=2.

(II)由⑴知，f(x)=orInx+—,從而f(x)>1等價于Ynx>X，'一二，設函數(shù)g(x)=xlnx,

xe

則g(x)=l+lnx.所以當xw(O」)時，g(x)<0；當+x)時，8(冷>0.故80)在(0上)遞減，

ece

11

在(-8+oc)遞噌,從而g(x)在(0：+x)的最小值生￡(-)=一一,設r(x)=-一，則，2(x)=量(1-x).所

eeee

以當xw((M)時，U(力>0；當xwQm)陸h\x)<Q,故乂。在(01)遞增，在(L+x)遞減，從而〃(X)

在(0,+H)的最大值為4=綜上，當，>0時，g(x)>2八即f(x)>L.

e

【考點定位】1、導數(shù)的幾何意義，2、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，3、利用導數(shù)求函數(shù)的最值.

6.【2014高考全國2第21題】已知函數(shù)〃x)=e，—e-，—2x.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(H)設g(x)=〃2x)—4/(x),當x>0時,g(x)>0,求〃的最大值；

(III)已知1.4142<8<1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)

【答案】(I)函數(shù)/(x)在R匕是增函數(shù);(II)2；(III)0.693

【解析】試題分析：本題第(I)問，判斷函數(shù)的單調(diào)，關鍵是判斷導數(shù)的正數(shù)；對第(II)

問，可構造函數(shù)g(x)=/(2x)—4V(x),對(III)問，可根據(jù)b的取值討論.

試題解析：(I)因為f'(x)=ex+-\-2>0,當且僅當x=0時等號成立，所以函數(shù)/(x)在

R上是增函數(shù);

(II)因為g(x)=/Qx)-4"(x)=e*-￡±-421-「一?M-4)》，

所以g(力=2[戶+產(chǎn)-2H以+尸)+(-rf>-2)]=二⑷+1-2)(/+e-z-2b+2).

(1)當642時，g(x)N0：等號僅當x=OP;成立，M以g(x)江飛上單調(diào)遞噌，而g(0)=0,所以對任意

x>0>g(x)>0?

(2)當6>2時，若x滿足2<e'+e~~<2Z>-1>CP0<x<ln(u-1+/)：-2b)時,g(x)v0,而g(0)=0(

因此當0<ln(b-1+Jb：-26)時,g(x)<0,

綜上，6的最大值為2.

(III)由(II)知，g(ln^2)=1-2>/26+2(2d-l)ln2,

當6=2時，g(ln>/2)=1-4V2+61n2>0,In20.6928s

當6=羋+1時，、3-1+6-券)=山0,g(ln0)=--：-2/+(30+2)ln2<O,

In2<I*?<0,6934，所以In2的近似值為0.693

28

【易錯點】對第3)間，函數(shù)單調(diào)性的判斷，七易;對第(H)間,考慮不到針對6去討論；對第(III)|n],

找不到思路.

【考點定位】本小題主要考查利用導數(shù)研空為數(shù)的學丐在、極值.最值等知識，綜合性較強，考查函數(shù)與

方程、分類討論等數(shù)學思想方法，考查同學們分析問題、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導致的基礎知識以

及基本題型是解答好本類題目的關鍵.

【方法規(guī)律】

求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

(1)確定函數(shù)的定義域.

(2)求4M，令4M=0,求出它們在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根.

(3)把函數(shù)AM的間斷點(即AM的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大

的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)AM的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間.

(4)確定4M在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)4M的符號判定函數(shù)AM在每個相應小開

區(qū)間內(nèi)的增減性.

【解題技巧】

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關鍵是討論導數(shù)大于o或小于o的不等式的解集，一

般就是歸結為一個一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解得到導數(shù)

等于o的根的情況下，根的大小是分類的標準

【易錯點睛】

(1)注意函數(shù)定義域的確定.

(2)解題時要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好ra)=o時的情況；區(qū)分極值

點和導數(shù)為0的點.

例1：已知aCR,函數(shù)/5)=(-f+iujelveR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當。=2時，求函數(shù)/㈤的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)火外在(一1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(3)函數(shù)/")能否為R上的單調(diào)函數(shù)，若能，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由.

i解析i(1)一般地，涉及到函數(shù)1兒其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題，往往可以借助導數(shù)這一重要

工具蛀行求解.函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式f或^在定義域內(nèi)有解.這樣就可

以把問題轉化為解不等式問題.

心)已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)問題，通常是解決一個后成立問題，方法有①分離參數(shù)法，②利

用二次函數(shù)中恒成立問題解決.

(3)一般地，可導函數(shù)既在Q坊上是胤或減)函數(shù)的充更冬件是：對任意b),都有「(工20(或

f(x)WQ),且F(工在a,蟲的任何子區(qū)間六都不慎等千)廿別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參裁的取值范圍

時，要注意“等號”是否可以取到.

解⑴當a=2時，，[x)=(—r+2x)1；

：?f(x)=(—2v+2)r+(—x:+2x)r—(—+2)r.

&f(x)>0,gp(-x:+2)r>0,

Vr>0,/.-x-+2>0,解得一S<xvS.

二函數(shù),Rx)的單調(diào)遞螃區(qū)間是(一亞，0

(2);?函數(shù)/U)在(-1,1)上單調(diào)遞增，

二「(x)》O對都成立.

".'f(x)=[-x2+(a-2)x+a]ev

[-x2+(a-2)x+a]e*》O對xG(-1,1)都成立.

VeA>0,

-x2+(a-2)x+a/O對x￡(-1,1)都成立，

即x2-(a-2)x-a〈O對x€(-1,1)恒成立.

設h(x)=x2~(a-2)x~a

只須滿足t%l()-lW)。WO’解得一3

(3)若函數(shù)7(x)在R上單調(diào)遞減，

則/'(x)WO對x6R都成立，即[-『+(a-2)x+a]e、WO對x€R都成立.

,"'e'>0.-2)x-對xWR都成立.

??.A=(a-2)2+4a^0,即J+4W0,這是不可能的.

故函數(shù)人r)不可能在R上單調(diào)遞減.

若函數(shù)以上單調(diào)遞增，則/⑶20對x€R都成立，即［-f+(a-2)x+fl|eX20對

x€R都成立.

'''e'>0>.1x?-(a-2)x-aWO對x￡R都成立.

而x2-(a-2)x-aWO不可能恒成立，

故函數(shù)J(x)不可能在R上單調(diào)遞增.

綜上可知函數(shù)八x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù).

【易錯點】導數(shù)與。的等號是否能選取選取

例2:(2009,遼寧)已知函ax+(a—l)lnx,a>\.

(1)討論函麴(x)的單調(diào)性；

(2)證明：若a<5,則對任意不，*2?(0,+8),X1^x2,有人汨)二八"2)>一［.

兩%2

【里析】⑴先求導，根據(jù)參數(shù)a的值進行分類討論；⑵若>>七，結論等價干心i)+x：之長)+.當若

x：〈t，問題等價干.心；)+工工*注)+4，故問題等價千了=,心)+工是單加增函數(shù).

⑴解.心］的定義域為(0,+<?).

~.a-1x：-av+a-1fx-lifx+1-a),,,

f(x)=x-a+-=-------------------------.［2分］

_iY*?-1

①若a—1=1,即。=2時，/(x)=——.

故然濃［0,+叼上單調(diào)遞增.

②若a—1<1,而故1Q<2時，藥當工■-1：1)時，.(x)<0；當xE(0,q—1汲工日1,+8)時，

/(.x)>0,故爾：在4-1：1)上單調(diào)遞減，在(0.a—1),(b+8讓單調(diào)遞增.

③若a—1n1,即心二時，同理可得個，,在［1,u-i)上單一耳述減，

在01),(々-1,+8)上單調(diào)遞增.［6分］

(2)記萌考慮函數(shù)%?)=?+工

=5%;一av+(a—l)lnx+x.

q-［/］

則g'(x)=x-1)H■——---

=1—?a—1—1)-.

由于故gf(x)>0,

即在［0,+8)上單調(diào)遞增，

從而當X］>X2>0時，有g(Xi)—g(x：)>￡b

即叉后)一兀3+不一比lQ，

金三如>T.［1Q分］

工】X：

當gg-時，有蟲匕務—蹩I.

'X1-4X：-X1

綜上，若a<5,對任意x：G(0,+°°),x：Wa有'"""」>一1.［12分］

X;-X2

【易錯點】對變量a分類不當

熱點2利用導數(shù)研究函數(shù)的最值極值

1.12014遼寧高考理第11題】當xe［—2,1］時，不等式4*3一了2+4*+320恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍是()

/9.

A.[-5,-3]氏[r-6,--]C-[-6,-2]D.[-4,-3]

【答案】C

【解析】

試題分析：當X。時，原式恒成立；

4，;3

當xw（0J時，原式等價于a＞（―-'-）max恒成立；

X

當xw[-2,0）時，原式等價于。4（二=三）向11恒成立；

.一

X*—4x—3/一4x—31431

令〃x）=：__^;X6[-2:0）U（0:11.v/（x）=--j-=——T--＞令『=一，即

XXXx.XX

322—1-1

j*=—3r~4r-r19y'=—9t—8r+l,可知（—L§）為j的噌區(qū)間，（―8：—1）：（§：+K）為7的城區(qū)

間，所以當xw（0J時，即fE[L+%）時，r=l時丁的=一6,即f（x）1Mx=一6,々2-6；當XE[-2.0）

時，即空（一6一￡）時，）在（一吟一1）上遞減，在（T-〈]上述噌，所以L1時].n=-2,即

/（x）min=-2:.a＜-2；綜上，可知，的取值范圍是[一6「2],故選C

著點：不等式恒成立問題.

2.[2014高考江西理第18題】已知函數(shù)儂=（xs+bx+bN'IF（beR）.

（1）當b=4時，求fCxi的極值；

（2）若f區(qū)》在區(qū)間（0,；）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.

【答案】（1）/（X）在x=-2取極小值Q,在x=CL取極大值4.C）（-x,l].

【解析】

試題分析：（D求函數(shù)極值，首先明確其定、,、域：，=「X』），然后求導數(shù)：當b=4W，=

再在定義域下求導函數(shù)的零點：1=-2或工=：；.根中.央苻號變化規(guī)律，確定極值：當工w（-x「2）時，

r（x）＜0J（x）單調(diào)述減，當xw（-2⑼時，/"z："（x）單調(diào)遞.，，當心（0二）時，r（x）＜QJ（x）單調(diào)遞

濫，故/（x）在x=-2取極小值Q,在x=n取極大值」＜2）已知叱數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍，一般轉化

為對應導致恒非負，再利用變量分離求最值由題意得''5）=曰?泮220對工￡（0,3恒成立，即

Vl-2x3

5x+3b-240對xe(O,g)恒成立,即匕4(與把)而，xe(O,g),即

試題解析：(1)當b=4W，/'(x)=二］。，由/(x)=0胃K=-2或x=0.

-s/l-2x

當xw(F-2)時，r(x)<0J⑶單調(diào)兩斯當心、一2。時，r(x)>0J⑶單調(diào)遞增，當xw(04)時,

r(x)<0J(x〕單調(diào)遞減，故/(X)在x=-二取極小％0,在x=。.取極大值4.

(2)r(x)=7丁乎一口因為當X€嗎時齊

Vl-2x3V!-->

依題意當xe(0$時，有5x-3匕-240,忒；-^-2<0

所以b的取值范圍為(-工］1

考點：利用導數(shù)求極值，利用導致求參號取值范圍

x2

3.12014高考山東卷第20題】設函數(shù)f(x)=，e一?*+lnx)(&為常數(shù),e=2.71828…

xx

是自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)當女<0時，求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍.

【答案】(Df(x)的單調(diào)遞修區(qū)間為(0.2),單,品增區(qū)間為(2,+x).

(II)函數(shù)在(0二)內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為(41).

【解析】

試題分析：(I)函數(shù)j=f1x)的定義域斗q+力，

/(力==(*一2)(夕一”)由K勺0可得產(chǎn)一H>0,

X，

得到_/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間方22)，￥扃遞噌區(qū)籃內(nèi)(2,+X).

(II)分上40,k>0,0<A;<1,女>1時，

討論導函數(shù)值的正負，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點的有無、多少.

試題解析：(I)函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),

XX

f'(x)=2/—2/一左(一-^-+-)

4

XXX

xex-2e'_k(x-2)

x3x2

(x2)(/丘)

由k?0可得《一氣〉0,

所以當xe(0,2)時，/1(x)<0,函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減，

當xe(2,+oo)時，f(x)〉0,函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+oo).

(I：)由(I)知，kWO時，函數(shù)在(0二)內(nèi)單調(diào)遞減，

故/(.Y)在(0:2)內(nèi)不存在極值點；

當k>0時，設函數(shù)g(?,

因為g(x)=e'-k=/-**,

當OvkMl時，

當xw(0：2)時，g(x)=e~-k>0,j,=g(x、iW調(diào)遞噌,

故/(x)在(0:2)內(nèi)不存在兩個極值占

當k>l時，

得xe(O」nk)時，g(x)<0,函數(shù):j=g(x)單調(diào)遞減，

xe(InA-:+x)B^,g(x)>0,函數(shù)j=g(x)單調(diào)遞噌,

所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln左)=封1-Ink)，

函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點

g(0)>0

g(ln&)<0

當且僅當《

g⑵>0

0<In<2

解得e<k<—，

2

綜上所述，函數(shù)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點時，k的取值范圍為(e,^).

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，分類討論思想，不等式組的解法.

4.12014高考四川第21題】已知函數(shù)/(%)="一々(：2一公一1,其中4/€/?,e=2.71828…

為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)設g(x)是函數(shù)/*)的導函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值:

(H)若/(1)=0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，求。的取值范圍

【答案】(I)當a4±時，g(x)>g(0)=l-i；當gvaS；時，g(it)>2a-2aln(2a)-d；

當4>■!■時，g(x)>e-2a-b.(II)a號范圍為也］).

【解析】

x

試題分析：(I)g(x)=e*-lax-b:g'(x)=e-2a,再對夕a情況確定g(x)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)g(x)

在［0』上的單調(diào)性即可得g(x)在［0」上的最小值.(H)設'為f(x)在區(qū)間(0」)內(nèi)的一個零點，注意到

/(0)=0,/(1)=0.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導函涉.口在區(qū)間(0,電)內(nèi)存在零點七，g(x)在區(qū)間(七」)

1Q

內(nèi)存在零點七，即g(x)在區(qū)間(01)內(nèi)至少有盧個零點.由(I)可知，當aW彳及a2彳時，g(x)在(01)

內(nèi)都不可能有兩個零點.所以gva<：此時?g(x)在「6In?旬J■單調(diào)遞減，在［In2a1］上單調(diào)遞噌，因此

甬c(0.ln(2a)Lx;e(ln(2a),l),且必有g(0)=1-b>0.g(l)=e-2a-b>0.由/(I)=e-a-b-1=0

得：b=e-a-l,代入這兩個不等式即可得a的取值范圍.

x::

試題解答：(I)g(x)=e-2ax-bzg\x)=e-2a

①當a&O時，g'(x)=e'-2R/O,所C、g(x)N；八。)=1-6.

fX

②當a>0時,由g(x)=0-2t戶。得/>2asx^ln(2<?).

Q

若a>:，則ln(2a)>0；若a、:，則!以「a)>l

所以當Ova“：時，g(x)在上單調(diào)底二所以g(x)2g(0)=1-M

當!時，g(x)在［01n2史上單調(diào)遞激，在［In2aJ上單調(diào)述噌，所以

g(x)>gQn2a)=2a-2aIn2a-b.

當a>：時，g(x)在［0」上單調(diào)遞減，所以g(x)2g(l)=o-2a-b.

(n)設x：為/(x)在區(qū)間(o:i)內(nèi)的一個零點，則由/(0)=/(%.)=o可知，

/(X)在區(qū)間(0:天)上不可能單調(diào)遞窄也不可篤單調(diào)遞禱

則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負

故g(x)在區(qū)間(Osx:)內(nèi)存在零點xP

同理g(x)在區(qū)間(?！?內(nèi)存在零點上.

所以g(x)在區(qū)間(051)內(nèi)至少有兩個雪點.

由(I)知，當aW：時，g(x)在［0J與調(diào)速增，故g(x)在(01)內(nèi)至多有一個零點.

當a2：時，g(x)在［0」上單調(diào)屋瀛，故g(x)在(0」)內(nèi)至多有一個零點.

所以

此時，g(x)在［0Jn2a］上單調(diào)遞減，在［IntaJ上單調(diào)遞噌，

因此再e(0:ln(2a)］,x;e(ln(2a):l),且必有

g(0)=1-d>O.g(l)=e-la-b>0.

由/'(1)=e—a—6—1=0得：5=e--v—1,代、上兩個不方式得：

g(0)-1-b=a-e+2>0=g(l)=e-la-b=l-a>0.

解得e-2<a<1,

當時，g(x)在區(qū)間［0J內(nèi)有最小式g(ln(］切.

若g(ln(2a))>0,則20(xe［0:P),

從而f(x)在區(qū)間［0」］上單調(diào)遞噌，這與〃==八1)=0矛質，所以g(ln(2a))<0.

又g(°)=a-e+l>0.g(l)=1-a>0.

故此時g(x)在(0.ln(2a))和(ln(2a)」)內(nèi)各或日一個零點內(nèi)和七.

由此可知/(x)在［0,再］上單調(diào)遞噌?比(冷xj上單調(diào)課7,在［七」］上單調(diào)遞增.

所以了(再)>/(0)=0,/(x,)</(l)=0,

故/(X)在(項，上)內(nèi)有零點.綜上可知，a的取值范圍是(e-2」).

【考點定位】導數(shù)的應用及函數(shù)的零點.

5.【2014高考重慶理科第20題】已知函數(shù)/(x)=ae2x—匕0-2工-cx(a,b,ceR)的導函數(shù)

f\x)為偶函數(shù)，且曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線的斜率為4-C.

(I)確定見人的值；

(II)若c=3,判斷/(x)的單調(diào)性；

(IH)若/(x)有極值，求c的取值范圍.

【答案】3)a=1力=1；(0)噌甌沌，(III)J+X).

【解析】

試題分析：(I)由/(x)=aez~-be'2x-cx(a.b.ceRj=f(x)=2aez：:+1be~z~-c

因為f'(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f'(x又日線y=1力在點(0J(0))處的切線的斜率為4一c,

所以有F'(0)=4-c,利用以上兩條件和方程組廣口a力的使，

xx

(II)由(I),f(x)=2e+2e--c,當c=3時，利用了'(XI的符號判斷/(x)的單調(diào)性；

(III)要使函數(shù)/(x)有極值，必須廣(X)有零點，由于2/+2夕工24,所以可以對c的取值分類討論,

得到時滿足條件的c的取值范圍.

試題解析：

解F(I)對〃xl求導得r(x)=2a/+2&4-c,由fix)為偶函數(shù)，知/(-x)=/(x),

即2(a-6)(|=0,因=+，?>0,所!1.二5

又f(0I=c，故a=L6=l.

(II)當c=3時，/(X)=?-'-1'一3工，那么

f(X)=2e：x+2產(chǎn)-3>-3=1>0

|故/(x)在K上為噌函數(shù).

（Ill）由（I）知，'仁卜？/、？。-"一,而2廠工21'產(chǎn)產(chǎn)=4,當x=0時等號成立.

下面分三種情況進行討論.

當c＜4時，對任意xw凡/''（X）=2/：+2/"一-0,此時/（寸無極值；

當c=4時，對任意XHO：f'（x）=+2?-'-4＞0,此時fix）無極值；

當c＞4忖，令*=t,注意到方程2f+Z—c=0有兩根，（c±Jc二-16〉0,

t-4

即/'（x）=°有兩個根玉=；1"或=；1鵬.

當不＜無＜々時、r（x）＜o：又當時:/'（》）＞0從而/"）在了=々處取得極小值.

綜上,若/（x）有極值,則c的取值范圍為（4,+8）.

考點：1、導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用；2、分類討論的思想.

【方法規(guī)律】

1.求函數(shù)極值的步驟

（1）確定函數(shù)的定義域.

（2）求方程4M=0的根.

（3）用方程4A）=0的根和不可導點的X的值順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開

區(qū)間，并形成表格.

（4）由f⑻=0的根左右的符號以及在不可導點左右的符號來判斷在這個根

或不可導點處取極值的情況.

2.函數(shù)的最大（?。┲凳窃诤瘮?shù)極大（小）值基礎上的發(fā)展.從函數(shù)圖象上可以直觀地

看出：如果在閉區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必

有最大值和最小值，只要把函數(shù)y=f（x）的所有極值連同端點處的函數(shù)值進行比較，

就可以求出函數(shù)的最大（?。┲?

【解題技巧】

1.在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判

定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較.

2.對于可導函數(shù)式x),f(刖)=0是函數(shù)Ax)在x=xo處有極值的必要不充分條件.

3.可導函數(shù)極值存在的條件：

(1)可導函數(shù)的極值點xO一定滿足F(xO)=0,但當？(xl)=0時，xl不一定是極

值點.如Rx)=x3,f(0)=0,但x=0不是極值點.

⑵可導函數(shù)y=f(x)在點xO處取得極值的充要條件是P(xO)=0,且在xO左側與

右側？(x)的符號不同.

4.函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值

是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的.函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一

個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有

最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值.

5.求函數(shù)的最值以導數(shù)為工具，先找到極值點，再求極值和區(qū)間端點函數(shù)值，

其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

【易錯點睛】

(1)求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下

結論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念.

(2)f(xo)=0是y=危)在X=XQ取極值的既不充分也不必要條件.

如①y=網(wǎng)在x=0處取得極小值，但在x=0處不可導；

?f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是人%)=%3的極值點.

⑶若y=/)可導，則/(xo)=0是危)在x=xo處取極值的必要條件.

4

例1：若函數(shù)/'(X)=a*3—6x+4,當x=2時，函數(shù)f(x)有極值一可.

(1)求函數(shù)/l(x)的解析式；

(2)若關于加方程f(x)=%有三個零點，求實數(shù)4的取值范圍.

【解析】

本題研究函數(shù)的極值問題.利用待定系數(shù)法，由極值點的導數(shù)值為0,以及極大值、極小值

,建立方程組求解.

解(1)由題意可知-(x)=3af—6.

'f2=12ai=0f_1

于是「c?！?4'解得

f2=8d-2，+4=一3，/

I3[b=4

故所求的函數(shù)解析式為/'(x)=；f—4x+4.

?J

⑵由(1)可知，(王)=/一4=(才-2)(x+2).

令f(x)=0得x=2或x=-2,

當x變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表所示:

X(—8,—2)-2(—2,2)2(2,+8)

f(x)+0—0+m

極大

F(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

值

4

當x=2時，f(x)有極小值一§,

所以函數(shù)的大致圖象如圖，

故實數(shù)比的取值范圍為

【易錯點】判斷函數(shù)極值時要注意導數(shù)為0的點不一定是極值點，所以求極值時一定要

判斷導數(shù)為0的點左側與右側的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值.

例2：(2010?安徽)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=e,-2x+2a,xGR.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當a>ln2—1且x>0時，e'>x'—2ax+1.

【解析】(1)解由f(x)=e'—2x+2a,x6R,

知，(x)=e'-2,xWR.

令F(x)=0,得x=In2.于是當x變化時，

f(才)，f(x)的變化情況如下表：

X(-8,In2)In2(In2,+8)

f(X)—0+

f(.x)極小值

故Hx)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,In2),

單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+8),

f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為

Ain2)=eln2-21n2+2a=2(l—In2+a).

(2)證明設g(x)=e*—V+2ax—l,xGR.

于是g'(x)=e*—2x+2a,xGR.

由(1)知當a>ln2T時,

g'(x)最小值為g