考場仿真卷03-2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷（江蘇卷）（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷(江蘇專用)

第三模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設(shè)集合A={1,2,5},5={4^-?+〃?=0},若ACIB={1},則8=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{115}

【答案】C

【分析】根據(jù)4n3={1}可得出168,從而可得出1-4+，〃=0,解m=3,然后解方程x?-4x+3=0即可

得出集合8.

【解答】解：

1-4+5=0,解得，w=3,

.?.8={川爐-4》+3=0}={1,3}.

故選：C.

【知識點】交集及其運算

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-/)=l+4i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為()

A.-2+2B.----/C.2+2D.---/

55555555

【答案】B_

【分析】由題意求出復(fù)數(shù)Z,再寫出Z的共軌復(fù)數(shù)

【解答】解:由Z(2-力=1+4/,

得z=1+―=(l+4i)(2+i)=-2+9i=.2+^

'2-i(2-i)(2+i)555,

所以復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為w=-2-

55

故選:B.

【知識點】復(fù)數(shù)的運算

3.平行四邊形ABC。中，點E是。C的中點，點尸是BC的一個三等分點(靠近B),則而=()

A.-yAB^-ADB.--AB-+-yADc---AB-HyADD.-yAB^|-AD

ND+乙O4J

【答案】D

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理進行轉(zhuǎn)化即可.

【解答】解：因為A8CO為平行四邊形，

所以瓶=玩，AD=BC)

故而=EC+CF-yDC4通-yAB-yAD-

故選：D.

【知識點】平面向量的基本定理

4.已知(1-ax2)10(?<0)的展開式中常數(shù)項為45,則展開式中系數(shù)最大的是()

Vx

A.第2項B.第4項C.第5項D.第6項

【答案】D

【分析】由題意利用通項公式求得。的值，可得展開式中第什1項的系數(shù)，從而求出展開式中系數(shù)最大的

項.

510

【解答】解:(-^=--or)1“(。)的展開式的通項公式為小尸%一)'.尸■

Vx

令紅二W=0,求得，=2,可得展開式中常數(shù)項為c2?(-a)2=45,.\a=-1,-a=

2I。

則展開式中第r+1項的系數(shù)為c；j(-a)r=CJQ,

故當(dāng)，=5時，笫r+1項的系數(shù)c；。最大，

即第六項的系數(shù)最大，

故選：D.

【知識點】二項式定理

5.已知數(shù)列｛跖｝的前"項和為S,則''知=2〃+1”是“S“+i=2〃+3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，分別判斷其充分性和必要性即可.

【解答】解：當(dāng)S“=2”+l時,5.=2(n+1)+l=2/i+3,充分性成立；

反之當(dāng)S“+i=2”+3時，S〃=S“T+I=2(n-1)+3=2"+1(”22),

但S不一定滿足上式，故必要性不成立，

所以“*=2〃+1”是“5m=2〃+3”的充分不必要條件.

故選：A.

【知識點】充分條件、必要條件、充要條件

6.如圖，在四面體ABC。中，AB=C￡>=3,AC=BD=V11>AD=BC=2?,ZXABC的重心為O,則QO=()

D

A.2B.AC.芻D.3

33

【答案】C

【分析】畫出圖形，連接EF交BC于M,連接AM,則AM為BC邊的中線，△ABC的重心。為4W靠近

M的三等分點.

把長方體的對角面AEF0單獨畫出，如圖，記P為AM和EQ的交點.通過三角形的相似，轉(zhuǎn)

化求解即可.

【解答】解：如圖，將四面體A8CQ還原到長方體AE8”-GCFO中，

易知四面體ABCD的棱是長方體AEBH-GCFD的面對角線，

則DE而瓦西?產(chǎn)鏟乙用厘五^=4,

連接E尸交BC于M,連接AM,則AM為8c邊的中線，ZVIBC的重心。為4M靠近M的三

等分點.

把長方體的對角面4EFD單獨畫出，如圖，記P為AM和的交點.

因為△AOPSAMEP,且地里M=2，所以P為AM靠近M的三等分點，

PEMPEN

即重心。與p點重合，故OD=PD=ZED/.

33

【知識點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征、點、線、面間的距離計算

7.過拋物線C：y1=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A(xi，yi),B(玄，”)兩點,若yiy2=-16,則

_J_+^_=()

lAFl|BF|

A.AB.1C.2D.4

2

【答案】A

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡通過韋達定理，結(jié)合拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解所求的表達式的值即可.

【解答】解：設(shè)直線48：x=mv+R,代入拋物線方程，消去x可得：/-2pmy-p2=0,

-2

+y2=2pm

則：.2，解得p=4,p=-4(舍去),

=

Yjy2~P=-16

1]

所以

lAFliBFlX產(chǎn)

X2+7

m(y1+y2)+2p

6產(chǎn)2產(chǎn)

號私卬產(chǎn)2)弓-

4P2

__2pm^+2p__2=1

22.29

pm+pD0乙

故選：A.

【知識點】直線與拋物線的綜合、拋物線的性質(zhì)

8.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R匕的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，不等式f(x)+x*f(x)V0成立，若a=3°2?f

則間的大小關(guān)系()

(3°-2),b=(log,t2)?f(logx2),c=(log2-^-)>a，b,c

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),由于當(dāng)x>0時，不等式f(x)+x-f(x)<0成立，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)x

>0時，函數(shù)

g(x)單調(diào)遞減.函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)g(x)在R上是奇函數(shù).進而

得到g(x)在R上是減函數(shù).

【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),則g，(x)=f(x)+xf(x).

當(dāng)x>0時，不等式f(x)+x*f(x)VO成立，

???當(dāng)x>0時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

?..函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

，g(-X)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),

???g(x)在R上是奇函數(shù).

???g(x)在R上是減函數(shù).

202

Va=3°-*f(3-),b=(logn2)?f(log1t2),c=(igg2-Lyf(lOg2y)，

11=_2

log?不

02

-2<logjT2<3-'

Ac>b>a.

故選：A.

【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)值大小的比較

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求

的，選對得分，錯選或漏選不得分。

9.據(jù)了解，到本世紀(jì)中葉中國人口老齡化問題將日趨嚴(yán)重，如圖是專家預(yù)測中國2050年人口比例圖，若從

2050年開始退休年齡將延遲到65歲，則下列敘述正確的是（）

人口比例圖

*5歲以上0-15力

A.到2050已經(jīng)退休的人數(shù)將超過30%

B.2050年中國46-55歲的人數(shù)比16-25歲的人數(shù)多30%

C.2050年中國25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍

D.若從中抽取10人，則抽到5人的年齡在36-45歲之間的概率為（工）5X（2）5

1010

【答案】AC

【分析】觀察餅狀圖中的數(shù)據(jù)、利用隨機事件的概率對每一選項進行分析即可得答案，

【解答】解：由餅狀圖知2050年中國將有約32%的人已經(jīng)退休，所以選項A正確；

設(shè)46-55歲的人數(shù)為16x人，16-25歲的人數(shù)為13x人，

則46-55歲的人數(shù)比16-25歲的人數(shù)多地皂絲=且-23%,所以選項8錯誤；

13x13

25歲以上未退休的人口數(shù)占48%,已退休人口數(shù)占32%,

所以25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍，所以選項C正確；

年齡在36-45歲之間的概率為1?從所有人中抽取10人，

則抽到5人的年齡在36—45歲之間的概率為Cu）5（A）5X（A）5,所以選項。錯誤，

1010

故選：AC.

【知識點】頻率分布直方圖

22

10.已知尸I，B分別為雙曲線豈/-2-=1（。>°，b>0）的左、右焦點，過Q,B作一條漸近線的垂線,

2,2

ab

垂足分別為A,B,若四邊形AF由B的面積為8,則以下選項正確的有（）

A.ab=4

B.雙曲線的離心率為e=2

2

C.若雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,則雙曲線方程為號-需=1

D.若雙曲線的離心率尤(3,733),則a的取值范圍為除W版

【答案】ACD

【分析】由題意寫出BF?的方程，求得B的坐標(biāo)，由四邊形ARBF?的面積為8求得ah的值判斷A；再由

雙曲線的離心率的范圍判斷8;由雙曲線的漸近線方程結(jié)合如=4求解a與〃的值，可得雙曲線方

程判斷C；由離心率的范圍、帥=4及隱含條件求解a的范圍判斷ZX

【解答】解：依題意，取雙曲線的漸近線方程為y2x，即A8的方程為yA

aa

2,

VF2(C,0),???822的方程為尸二々-。)，則8(二,也)，

bcc

四邊形AF\BFz的面積為2X1~X2cX且a=2ab，

2c

又四邊形A尸山&的面積為8,???2岫=8,即而=4,故A正確；

雙曲線的離心率e=C=』iE不確定，且e>l,故8錯誤；

aVa2

若雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,則且=2,可得。=2&,

a

雙曲線的方程為上_d=1，故c正確;

28

【知識點】雙曲線的性質(zhì)

II.如圖，已知ABCD-AiSCQi為正方體，E,F分別是8C,AC的中點，則()

A

A-不)=0

B-(B]A；+率+時)2=6CD2

C.向量用與向量可的夾角是60°

D.異面直線EF與。。所成的角為45°

【答案】ABD

【分析】在正方體A8CZ)-4BiG。中，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2,根據(jù)空間向量

的坐標(biāo)運算，以及異面直線所成角的向量求法，逐項判斷即可.

【解答】解：在正方體中，以點A為坐標(biāo)原點，分別以A8,AD,A4i為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2,則A(0,0,0),A,(0,0,2),B(2,0,0),B\(2,0,2),C(2,

2,0),D(0,2,0),D\(0,2,2),

所以*=(2,2,-2),A遇丁不=函=(2,0,2)，

故不,(！"瓦-不)=T[?畫=4-4=0，故選項A正確；

又B]A；+晤+彳=彳+率=(-2,0,-2)+(0,2,-2)=(-2,2,-4;

又面=(-2,0,0)-

所以(K^+率+峪產(chǎn)=4+4+16=24，6CD2=24)

則(B]A；+率+彳)2=6?？?,故選項8正確；

軍=(2,0,-2),AFJ=(0,2,2)，

.______AiB?ADt-A1

所以cos<CAiB，ADi—,?-----=r---f---=丁，

yx

IAjB||ADt|V4+4V4+42

因此邛與畫的夾角為120°,故選項C錯誤；

因為E,尸分別是BC,4c的中點，

所以E(2,1,0),F(1,1,1),

則而=(T,0,1),DD^=(0,0,2)，

_?,EF?DDioA/O

所以COS<EF,DD7-,3^-=^-'

T1|EF||DDj|Vl+lx22

又異面直線的夾角大于0°小于等于90°,

所以異面直線EF與。。所成的角為45°,故選項。正確;

故選：ABD.

【知識點】異面直線及其所成的角

f(Xi)-f(Xn)

12.若函數(shù)/(x)對Vxi，X2G(1,+8),(X芋X2),不等式——彳——尸<1成立，則稱/(X)在(L+

X1-x2

8)上為“平方差減函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“平方差減函數(shù)”的有()

A.f(x)=-2x+lB.f(x)=JT+2X+1

C.f(x)-logirD.f(x)=x2-x+—

x

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/(x)-X2,分析可得g(X)在［1,+8)為減函數(shù)與/(X)在(1,+°°)

上為“平方差減函數(shù)”等價，據(jù)此分析選項，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=f(x)-X2,

f(Xj)-f(x2)

若在(1,+8)上為“平方差減函數(shù)”,則對Uxi,X2&1，+8),(制WX2)，不等式?

22

X1-x2

<1成立,

22

f(x1)-x1-[f(x2)-x2]

f(x^-f(X2)1g(xi)-g(x9)

則有―i——X---i.---------±_=<

2222x+xx-x

X1-x2X1-x2l2l2

0,

g(x)-g(x)

則有——1------L<o,則函數(shù)g(x)=/(x)在[1,+8)為減函數(shù),

xl-x2

fYJ-gfyJ

反之，若函數(shù)g(x)=f(x)-X2在［1,+8)為減函數(shù)，則有----\----------—=(Xj+X2)

xl-x2

f%A工’其？)一'」(。,即/(X)在(I,+8)上為“平方差減函數(shù)”，

22

X1-x2

分析選項：

對于4,/(x)=-2r-1,g(x)=/(x)-x1--x2-2x-1,為開口向下，對稱軸為x=-1

的二次函數(shù)，g(x)在區(qū)間［1,+8)為減函數(shù)，則f(x)在(1,+8)上為“平方差減函數(shù)”；

對于8,f(x)=『+法+1,g(x)=/(x)-X2^2X+］,g(x)在區(qū)間口，+8)為增函數(shù)，則/

(x)在(1,+8)上不是“平方差減函數(shù)”；

對于C,f(x)—x2-1og2X,g(x)—f(x)-x2--10g2X,g(x)在區(qū)間［1,+°°)為減函數(shù)，

則/(X)在(1,+8)上為“平方差減函數(shù)”；

對于O,f(x)—x1-x+—,g(x)—f(x)-x1--x+—,g(x)在區(qū)間［1,+8)為減函數(shù)，

XX

則;'(X)在(1,+8)上為“平方差減函數(shù)”；

故選：ACD.

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.琵琶、二胡、編鐘、簫、笛、瑟、琴、填、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器”，為弘揚

中國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學(xué)生興趣活動中開展了“中國古代樂器”知識講座，

共連續(xù)安排六節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，其中琵琶、二胡一定排課，若琵

琶、二胡講座互不相鄰且均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，則不同的排課種數(shù)為—.(用數(shù)字作答)

【答案】10080

【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①從除琵琶、二胡之外的8種樂器中任選4種全排列，②排好后，

除去兩端，有3個空位可用，在3個空位中，任選2個，安排琵琶、二胡，由分步計數(shù)原理計算

可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①從除琵琶、二胡之外的8種樂器中任選4種全排列，有種排法，

②排好后，除去兩端，有3個空位可用，在3個空位中，任選2個，安排琵琶、二胡，有42

種情況，

則有—=10080種排課種數(shù),

故答案為：10080.

【知識點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

14.如圖，在△ABC中，已知A8=3,BC=V31-cosZABC=-^,。為AC的中點，則AC=__,sinZ

V31

ABD=.

I)

c

【分析】直接利用利用余弦定理的反復(fù)應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：由于A8=3,8c=5/五，cos/梯c=/，

V31

所以：由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosZABC=9+31-2X

3xWix71r=16

V0￡

所以AC=4.

222

在△ABC中，由余弦定理cos/BACAB+AC-BC———1，

2-AB-AC4

在中，由余弦定理BD1=AB-+AD1-2AB-AD-co&ZBAD=\6,

所以HD=4,

2227

故COSZABD=-BA+BD-AD—=--,

2-BA-BD8

V15

所以sinZABD=：

故答案為：4；運

8

【知識點】余弦定理

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x-1)2+(廠3)2=4,P(3,1)是圓C外的一點，。是圓C上任

意一點，M是PQ的中點，直線/：x-y-4=o上存在兩點A,B,使得三，則|A8|的取值范圍

2

為.

【分析】由題意求得M的軌跡為圓，求出圓心加到直線/的距離，再由垂徑定理求得的最小值，則H8|

的取值范圍可求.

【解答】解：設(shè)點何(x,y),則點。(2x-3,2y-1),

即(2x-3-1)2+(2y-1-3)2=4,整理得(x-2)2+(y-2)2-l.

...點M的運動軌跡是以(2,2)為圓心，以1為半徑的圓.

；匹，.?.點M所在的圓在以A8為直徑的圓的內(nèi)部，

2

而AB在直線/：x-y-4=0上，故點M的運動軌跡的圓心到直線x-y-4=0的距離d=

|2-2-4|cr

-75—=2沂,

?**匝島=2(2&+1)=4&+2-

依8|的取值范圍為［442+2.+8).

故答案為：［蚯+2,+8).

【知識點】直線與圓的位置關(guān)系

,

16.已知長方體ABC。-AiBCQi，AB=|.,AD=2,AA1=2A/S已知P是矩形4BCD內(nèi)一動點，網(wǎng)與平

面ABC。所成角為三，設(shè)P點形成的軌跡長度為a,則tana=；當(dāng)CiP的長度最短時，三棱錐5

3

-DPC的外接球的表面積為一.

【分析】因為雨1與平面ABC。所成角。為匹，所以可得AP=2,即P點的軌跡為以A為圓心，以2為半

3

徑的圓與矩形ABCD的交點即征，由矩形的邊長可得血的值，進而求出它的正切值，當(dāng)GP的長

度最短時，而GP=JcC[?+CP2,所以當(dāng)CP最小時，CiP最小，而當(dāng)A,P,G二點共線時，

CP最小，求HICP的值，進而由余弦定理求出OP,求出三角形OCP的外接圓的半徑，由oa_L

面CDP,所以三棱錐。1-DCP的外接球的球心為過底面三角形DCP的外接圓的圓心的垂線與中

截面的交點，由外接球的半徑，和高的一半，由勾股定理可得R的值，進而求出外接球的表面積.

【解答】解：在長方體的底面矩形A8CD內(nèi)一動點P,連接AP,

因為孫與平面A8CO所成角8為2L,4A|=2?,所以tanO=Sl=2ZI=y,所以”

3APAP

=2,

所以P點的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的圓，與底面矩形8c的交點為E,D,

即P的軌跡為圓弧加，連接AE,

3_

在△A8E中，COSNE4B=^=2=S,所以sin/ft4E=cosNEAB=3,所以arcsinN￡)AE=&,

AE2444

所以a=DE=2?/D4E,可得a為鈍角，

所以sina=sin(2arcsinZDAE)=2?2.義2=之&,；.cosa=-上，

_4488

所以tana=-30；

當(dāng)CP的長度最短時，而C/=JcC]2+cp2,所以當(dāng)CP最小時，GP最小，

22

而當(dāng)A,P,G三點共線時，CP=AC-AP=I2+^1)-2=-l^/Js

3_

連接OP,由于cos/OCP=CR=-j--------------'=3,

ACA22+4)25

所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP={CD2yp2-2CD-CP,COS/DCF

VTU__

而sinZDCP=l,設(shè)三角形CDP的外接圓的半徑為r,則2r=一空一=_?_=叵，

5sinZDCPA2

5

所以，=垣，

4

由面CDP,所以三棱錐D\-0cp的外接球的球心為過底面三角形OCP的外接圓的圓心

的垂線與中截面的交點，

設(shè)外接球的半徑為凡則改=於+（￡21）2=旦3=空，

2168

所以外接球的表面積S=4TTR2=291T.

2

故答案為：-30,29n.

2

【知識點】球的體積和表面積

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕?jù)要求作答。

17.設(shè)正項等比數(shù)列｛%｝中，0=1,前"項和為S”，且____.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）若bn=-log1an+T求數(shù)列｛斯瓦｝的前“項和刀”

~3

在①Sn=3n+1；②Sn=S工；@*=13.這三個條件中，請選擇一個滿足題意的正確的條件將上面的

題目補充完整，并解答本題.

【分析】（I）直接利用選項的條件和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；

（II）利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和；

【解答】解：（I）若選①，

.S2=32+1=1+a2'

.,.6/2=9

又；S3=28=1+9+43

**-Cl3=18,

a[,a?，

所以不滿足｛斯｝是等比數(shù)列（或

若選②，

2

-+,

因為S2='^^=la2=4

所以02=3,

若選③，

因為0=1,53=13,

所以S3=l+q+q2=13，/+g-12=(g+4)(q-3)=°

解得4=3或q=-4,因為??>0,

所以q=3,

(nx

11)bn=-logi*=10§3"=1)-

7

令Cn=anbn=n-3kl，前"項和為T/lX3。+2X3。…tnX3”7①，

12n>

3Tn=lX3+2X3+--m+3?

①-②得：-2T=3°+31+?“+3”-1-11*30=與4~-11乂311，

n1-0

(2n-l)-3n1

所以T『

【知識點】數(shù)列的求和

18.在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為小b,c,若2J為，csinC的等比中項為

（1）求B的大小；

（2）若a>b,求的取值范圍.

a+b+c

【分析】（1）由已知結(jié)合等比中項行政可得2加inC=J§c,然后結(jié)合正弦定理可求sin8,進而可求8,

（2）由已知結(jié)合大邊對大角可得A>B,從而可求A的范圍，然后結(jié)合正弦定理及正弦函數(shù)的

性質(zhì)可求.__

【解答】解：（1）由已知得，3c2=2\f2f7XcsinC,即26sinC=J^c,

由正弦定理得2sin8sinC=>/^sinC,

由△A8C為銳角三角形可知sinOO,

所以sinB=Jll,B=2L,

23

（2）由人得A>5,因而AC（2L,2L）,

32

由正弦定理，得二一=------或辿------=-.」.0

a+b+csinA+sinB+sinCsinB+smC

sinA

又會€(中

所以tanAc.1），

2u

所以sinB+sin%（生旦2）1

sinA2'

所以一5—e（1,支返），

a+b+c33

即a的范圍（1,支返）.

a+b+c33

【知識點】余弦定理、正弦定理

19.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABCZ)為矩形，△SAD為等腰直角三角形，SA=SD=2a,AB=2,

F是8c的中點，二面角S-40-B的大小等于120°.

(1)在AQ上是否存在點E,使得平面SEP,平面A8CD,若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明

理由;

(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.

【分析】(1)在線段上存在點E滿足題意，且E為40的中點.先證得AOLEF,5E1AD,從而有

_1平面SEF,進而得證；

(2)以E為原點，EA.EP所在的直線分別為x、y軸，作&，平面ABCZ),建立空間直角坐

標(biāo)系，根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面S8C的法向量：，設(shè)直線SA與平面SBC所成角為仇由sin。

=|cos<SA?n>l，即可得解.

【解答】解：(1)在線段AQ上存在點E滿足題意，且E為4。的中點.

如圖，連接EF,SE,SF,

?四邊形ABCO是矩形，...ABL4C,

又E、尸分別是A。、8c的中點，

：.EF//AB,ADLEF,

：△SAD為等腰直角三角形，SA=SD,E為4。的中點，

：.SE±AD,

:SECEF=E,SE、EFu平面SEP,

，A￡)_L平面SEF,

'：A￡>u平面ABCD,平面SEF1.平面ABCD,

故A。上存在中點￡,使得平面SEFL平面A8CD

(2)由(1)知，SE1AD,EF1.AD,

...25￡下為二面角5-4。-8的平面角，即NSEF=120°.

以E為原點，EA、E尸所在的直線分別為x、y軸，作Ez_L平面48C。，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

在等腰RtZ^SA。中，SA=SD=272>，AO=4,SE=2,

:.S(0,-1,夷)，A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

/.SA=(2,1,-?),SB-(2,3,-V3)>SC=(-2,3,一遍)，

設(shè)平面SBC的法向量為三=(x,y,z),則即［2x+3y-Fz=0,

n-SC=0l-2x+3y-V3z=0

令y=l,則x=0,z=>^y^,n=(0,1,5^3),

設(shè)直線SA與平面SBC所成角為e,

則sin0=|cos<SA，登>1=1/人咒，|=|,/1-3----|=返，

ISAl-lnl炳亞義24

故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為返.

4

【知識點】平面與平面垂直、直線與平面所成的角

20.某醫(yī)療專家組為了研究新冠肺炎病毒在特定環(huán)境下一周內(nèi)隨時間變化的繁殖情況，得到如下的實驗數(shù)據(jù):

天數(shù)f(天)1234567

繁殖個數(shù)>?1123446

(千個)

(1)由如表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合j與r的關(guān)系，求),關(guān)于r的線性回歸方程;

（II）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5,則該實驗數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)

從實驗數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n__

▲AAA￡.（tJjL-t）（y工「y）A

參考公式：回歸方程=y+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b='^F------------------，a=G-

￡（『）2

i=l

【分析】（I）由表格中的數(shù)據(jù)及所給公式求得b與a的值，則線性回歸方程可求：

（II）根據(jù)表格將估計個數(shù)列出，求出“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，寫出X的所有可能取值,再求出

相應(yīng)的概率，寫出分布列，求得期望.

【解答】解：（I）由題意,t=4，y=3-

77

"￡匿2=1虱,

￡tiyi=107

i=li=l

7_

-Ztiyi-7ty

?b^izl_________=107-8423

"’2-2140-112=28"

工tj-77t

i=l

——232

a=y-bt=3-^yX^=---

Zo?

.A關(guān)于，的線性回歸方程為y嗤t等

（II）由題意將估計數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)列表:

天數(shù)f1234567

（天）

繁殖個1123446

數(shù)

y（千個）

估計個1519