湖南省2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編-13 圖形的相似、平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)（含答案解析）

專題13圖形的相似、平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)

一、單選題

1.（2021?湖南永州市?中考真題）如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180。后所得到的圖案是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分三角形的位置即可得答案.

【詳解】

?.?將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)180。，

.?.圖中陰影部分的三角形應(yīng)豎直向下，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，前后兩個(gè)圖形全等；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2021.湖南岳陽(yáng)市.中考真題）下列品牌的標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

c.

【答案】A

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷各項(xiàng)即可.

【詳解】

A.是軸對(duì)稱圖形，符合題意;

B.不是軸對(duì)稱圖形,不符合題意;

不是軸對(duì)稱圖形,不符合題意;

D.不是軸對(duì)稱圖形,不符合題意;

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握軸對(duì)稱圖形.

3.（2021?湖南衡陽(yáng)市?中考真題）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

B.

⑥）。修D(zhuǎn)

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.如果一個(gè)圖形沿著?條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱

圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【詳解】

A、不是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意:

B、不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意;

C、不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意;

D、是軸對(duì)稱圖形，故D符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)點(diǎn).確定軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

4.（2021.湖南中考真題）以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對(duì)稱圖形的是（)

【答案】A

【分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義即可得.

【詳解】

A、不是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)符合題意；

B、是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；

C、是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；

D、是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中心對(duì)稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵.

5.（2021.湖南長(zhǎng)沙市.中考真題）下列幾何圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義即可得.

【詳解】

A、不是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意:

B、不是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意;

c、是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形，此項(xiàng)不符題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中心對(duì)稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵.

6.（2021.湖南邵陽(yáng)市.中考真題）下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義就可以選出答案.

【詳解】

解：A、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合,

那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.

7.（2021?湖南中考真題）下列垃圾分類標(biāo)志分別是廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是

軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A區(qū)"X60△

【答案】B

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【詳解】

解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意：

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

3

8.（2021?湖南邵陽(yáng)市?中考真題）如圖，在AAQB中，AO=\,BO=AB=~.將AAOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針

2

方向旋轉(zhuǎn)90°,得到ZWOB',連接A4'.則線段AA'的長(zhǎng)為（）

、r~八3

A.1B.C.—D.—>/2

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZAOA'=90°,再由勾股定理即可求出線段AA'的長(zhǎng).

【詳解】

解：?.?旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知Q4=04'=l,ZAOA'=90°,

?*-A4,=yJOA2+A'O2=72，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出直角三角形邊長(zhǎng)，解題關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出AaiA'是等腰直

角三角形.

9.(2021?湖南婁底市?中考真題)如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)。A與

直線］:y=二無(wú)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【分析】

當(dāng)。A與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)。A與直線Ly=2?無(wú)相切，(需考慮左右兩側(cè)相切

的情況)；設(shè)切點(diǎn)為B,此時(shí)5點(diǎn)同時(shí)在。A與直線/:y=9x上，故可以表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)8點(diǎn)作

BCHOA,則此時(shí)利用相似三角形的性質(zhì)算出OA長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論.

【詳解】

如下圖所示，連接AB，過(guò)5點(diǎn)作BC7/Q4,

此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)可表示為［

0C=—l.vlBC=W，

1211

在R/AQBC中，0B=dB(j2+0。=

又?；0A半徑為5,

?*.AB=5,

?:BC//OA,

/./\AOBs/\OBC，

,,OAABOB

BOOCBC

OA_5

：.13,

1211總r

OA=13，

?.?左右兩側(cè)都有相切的可能，

??.A點(diǎn)坐標(biāo)為（±13,0）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)犍.

二、填空題

10.（2021?湖南中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中44〃34〃?！辍?。。1,且45=3。=?！?gt;.為

使其更穩(wěn)固，在A,。間加綁一條安全繩（線段AA）,量得A￡=0.4m,則A。=m.

【答案】1.2

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AE=M=F、2,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：?：MHBB\//CCJ/DD\,AB=BC=CD,

AE=EF=FD、,

■:AE=0.4m,

AD]=3AE=L2m,

故答案是：1.2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握“平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例”，是解題的關(guān)鍵.

11.(2021?湖南懷化市?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-2,l),B(-l,4),。(一1/)，將448。

先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到“區(qū)G，再繞a順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，則4的坐標(biāo)是

【分析】

直接利用平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，然后作圖，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：如圖示：△A4G，△A芻G為所求，

y

根據(jù)圖像可知，&的坐標(biāo)是（2,2）,

故答案是：（2,2）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3

12.（2021.湖南中考真題）如圖，R/AABC中，ZR4C=90°,tanNABC=—,將AABC繞A點(diǎn)順時(shí)針

2

方向旋轉(zhuǎn)角?（0°<?<90°）得到△AB'C',連接BB'，CC,則△C4C與△84〃的面積之比等于.

【答案】9:4

【分析】

AC3

先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得一=一，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

AB2

ACAn

AB=AB',AC=AC,ZBAB'=ZCAC'=a,從而可得絲7=￡^=1,然后根據(jù)相似三角形的判定可得

AC'AB'

△C4c'?048',最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】

3

解：???在中，ZBAC=90°,tanNA5C=2，

2

AC3

/.——=-,

AB2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AB',AC=AC,NBAB'=ZCAC=a,

ACAB,

/.-----=------=1,

ACAB'

ACAB

在4C4c'和△B/E中，〈正一而，

ZCAC=NBAB'

：.tCAC'?曲AB',

...Sqc./ACJ9,

SABAB,IABJ4

即△C4C與ABAB'的面積之比等于9:4,

故答案為：9:4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

三、解答題

13.(2021?湖南衡陽(yáng)市?中考真題)如圖，點(diǎn)E為正方形A8CO外一點(diǎn)，ZAEB=90°,將RfAABE繞A

點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到DF的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn).

(1)試判定四邊形AEHE的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)己知BH=7,BC=13,求OH的長(zhǎng).

【答案】(1)正方形，理由見(jiàn)解析；(2)17

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/AEB=NA￡D=90。，AE=AF,NDAF=NEAB,由正方形的判定可證四邊形BEFE

是正方形;

（2）連接8力，利用勾股定理可求BD=《CD，+CB。=13母，再利用勾股定理可求?！钡拈L(zhǎng).

【詳解】

解：（1）四邊形AEHE是正方形，理由如下：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)；ZAEB=ZAFD=90°,AE=AF,ZDAF=ZEAB,

?.?四邊形ABC。是正方形

二ZDAB=90°

：.ZFAE=ZDAB=90°

：.ZAEB=ZAFH=ZFAE=90°

...四邊形AFHE是矩形，

XVAE=AF

.??矩形AFHE是正方形.

（2）連接BO

,t?BC=CD=13,

在MABCD中,BD=\ICD2+CB2=13^

?.?四邊形A/77E是正方形

/.N￡HD=90°

在Rt/\DHB中，DH=^BD--BH2，又BH=1,

，DH=T7.

故答案是17.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

2

14.（2021.湖南株洲市.中考真題）將一物體（視為邊長(zhǎng)為一米的正方形ABC。）從地面PQ上挪到貨車車

7t

廂內(nèi).如圖所示，剛開(kāi)始點(diǎn)3與斜面石尸上的點(diǎn)E重合，先將該物體繞點(diǎn)B（E）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至正方

形A/GA的位置，再將其沿EE方向平移至正方形482c2乃的位置（此時(shí)點(diǎn)鳥(niǎo)與點(diǎn)G重合），最后將物

體移到車廂平臺(tái)面“G上.已知MG//PQ,NFBP=30°,過(guò)點(diǎn)F作FHLMG于點(diǎn)“，米,

3

所=4米.

（1）求線段尸G的長(zhǎng)度；

（2）求在此過(guò)程中點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)4所經(jīng)過(guò)的路程.

【答案】（D1■米；（2）4米.

3

【分析】

（1）利用直角三角形尸G”即可求解；

（2）連接4A2,則必過(guò)點(diǎn)A,分別求出4A2和A.A的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程.

【詳解】

解：（1）-：MG//PQ,

：.NFGM=/FBP=30°.

，在RfAFGH中,

FG=2FH=2x-=-（米）.

33

（2）連接4A2,則必過(guò)點(diǎn)。，且四邊形45G42是矩形.

210

（米）.

???A\A2=BG=BF-GF=4--=—

33

???四邊形A8CD和四邊形A8GD都是正方形，

???AB=A[8,ZA]BC}=ZABC=90°.

oo

：.ZABA[=180°-ZAiBCrZFBP=180-90°-30=60°.

2

.?./_60x4.2（米）.

伍—―180—-3

二在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至4的路程為：

+AA2=|+y=4（米）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知旋轉(zhuǎn)和平移的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2021.湖南衡陽(yáng)市.中考真題）如圖，鉆的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0（0,0）,A（3,4）,3（6,0）,動(dòng)點(diǎn)P、Q

同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，分別沿X軸正方向和），軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P

到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)。作MN〃OB分別交A。、AB于點(diǎn)M、N,連接尸M、PN.設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r（秒）.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含/的式子表示）;

（2）求四邊形面積的最大值或最小值；

（3）是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形肱謝的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線/的解析式；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）連接AP,當(dāng)NQ4P=N8PN時(shí)，求點(diǎn)N到OA的距離.

【答案】（1）（2）四邊形腦VB尸面積不存在最小值，存在最大值，最大值為6.（3）存在，

4,10「24

y--x-4；（4）~■或——.

335

【分析】

（1）做適當(dāng)?shù)妮o助線，過(guò)M點(diǎn)作MGLx軸于G點(diǎn).過(guò)A點(diǎn)作A￡＞_Lx軸丁。點(diǎn)，利用三角形相似的判

定定理證明兩個(gè)三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，從而可得答案；

（2）根據(jù)坐標(biāo)先求解。長(zhǎng)度，再證明AMOPSAAQB,再利用相似三角形的性質(zhì)證明

用?！ˋB,證明四邊形MNBP為平行四邊形，再列面積函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可；

（3）先判斷存在，通過(guò)觀察圖形知，當(dāng)直線/過(guò)口MV6P的對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，總能平分其面積；再利用平行

四邊形的性質(zhì)求解對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得答案；

（4）當(dāng)0＜，＜2時(shí)，證明AAOPSAPBN,利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，求解時(shí)間f,再利用等面積

法求解點(diǎn)N到直線OA的距離即可.當(dāng)t=O時(shí)，利用等面積法直接求解即可，當(dāng)，=2不合題意，舍去.

【詳解】

解：（1）過(guò)M點(diǎn)作MG_Lx軸于G點(diǎn).過(guò)A點(diǎn)作AD_Lx軸于。點(diǎn).

則ZMGO=90°,MG//AD,

?;NQOB=90°,MNHOB,

：.ZOQM=180。-NQOB=90°,四邊形QOGM為矩形，

則MG=OQ=It,

0（0,0）,A（3,4）,B（6,0）,AD1OB,

.?.0（3,0）,OD=3,AD=4,

MQ//AD,

...△MOGs4AoD，

OGMGOG2t

：.——=——.即Hn——=—

ODAD34

???陪間

OG,A(3,4),

OM=y]OQ2+QM2=|，，=432+42=5,

OP=3t,B(6,0),

.?.08=6,

5

Z

,-O-M=—2—=—1f-3t=OP

0A526OB'

ZMOP=ZAOB,

..^MOP^^AOB,

ZMPO=ZABO,

MPHAB,

MN//OB,

二四邊形MNBP為平行四邊形

2

SaMNBP-BP-0Q=(6-3t)x2t--6(f-I)+6,

-.-0</<2,(當(dāng)r=0或t=2時(shí)，四邊形不存在)

而a=—6,

.?.當(dāng)『=1時(shí)，S取最大值6

二四邊形M7VB尸面積不存在最小值，存在最大值，最大值為6.

(3)存在.理由如下：

連接交PN于H,

由(2)得：四邊形為平行四邊形，

???過(guò)H的任意直線都平分o肱VBP的面積，=

8(6,0),

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：+即/過(guò)點(diǎn)4,

(3

x=-t+3

，《4,

二x=*y+3,

Iy=—x—4

3

（4）如圖，當(dāng)0<f<2時(shí)，

?.?A（3,4）,B（6,0）,AO=5,

AB=J（3_6）?+（4-Op=5,

AB=AO=5,

/.ZAOB=ZABO,

'：ZOAP=ZBPN,

：?AAOPS^PBN

，如即工」

PBBN6-3rBI\I

MN//OB,

ZAMN=ZAOB,ZANM=ZABO,

ZAMN=ZANM,

：.AM=AN,

.-.OM=BN=~t,

2

,5_3r

"6-3t~5；

—1

2

11八

t,=——,L=0,

'182

經(jīng)檢驗(yàn)；f1=U是原方程的根

，4=0是增根，舍去，

118

2511

此時(shí)：MN=PB=6-3t=—,OQ=2t=-,

69

如圖，過(guò)N作NK1.A0于K,

,/S=—xOBxAD=12=5+S,

A/AIHDC2AlOzBo/NVAMACOZ/VN7

—x6x—+—x5x=12,

292

:.NK=—.

3

當(dāng)t=0時(shí)，NOAP=NBPN=U0,此時(shí)N到OA的距離是B到OA的距離,

設(shè)這個(gè)距離為九由等面積法可得：

-OA^h=-OB-AD,

22

.,.50=6x4,

,24

〃=--.

5

當(dāng)f=2時(shí)，不合題意，舍去.

1024

綜上：N到OA的距離為：、或

35

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面圖形中動(dòng)點(diǎn)的綜合性問(wèn)題，涉及動(dòng)點(diǎn)的軌跡，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定

義與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，列二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：靈

活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)；注意知識(shí)的系統(tǒng)化.

16.(2021?湖南岳陽(yáng)市?中考真題)如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,NA=60°,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段ED，且即交線段8c于點(diǎn)G,

NCDE的平分線DM交BC于點(diǎn)、H.

圖1圖2圖3

GD

（1）如圖1,若2=90。，則線段瓦）與3。的數(shù)量關(guān)系是

~CD

（2）如圖2,在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作CV//DE交DM于點(diǎn)F，連接EF，BE.

①試判斷四邊形COEF的形狀，并說(shuō)明理由;

BE6

②求證:t

FH~3

（3）如圖3,若AC=2,tan（a-60°）=m,過(guò)點(diǎn)。作C///OE交?！庇邳c(diǎn)尸，連接EF,BE,請(qǐng)

BE

直接寫(xiě)出k的值（用含加的式子表示）?

FH

【答案】（1）ED=BD-―；（2）①正方形，理由見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）W二二

32

【分析】

（1）根據(jù)“斜中半”定理可得CD=AD=3￡）,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=￡D,從而得出田=5D,

再結(jié)合題意推出ZB=NDCG=30。,從而根據(jù)正切函數(shù)的定義求出—即可；

CD

（2）①通過(guò)證明△COE也并綜合條件C///OE,推出四邊形CDE尸是正方形；②首先根據(jù)

△CFHs^DGH推出也=四=叵,然后證明△GBE也△GO”得到3E=E>〃，即可得出結(jié)論;

FHCD3

（3）根據(jù)題意可首先證明四邊形C￡>E尸是菱形，然后證明出aEBG即可推出結(jié)論強(qiáng)=也.

FHFC

再作DKJ_CG,通過(guò)解直角三角形，求出8G的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)論.

【詳解】

（1）???點(diǎn)。為Rr“l(fā)BC中斜邊AB的中點(diǎn)，

/.CD=AD=BD'

?.?線段C￡>繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段ED，

CD=ED,

：.ED=BD，

中，ZACB=90°，NA=6()。,

??.ZB=30。，

CD=BD，

：.NB=NOCG=30°,

.?.在R/AOCG中，—=tanZDCG=tan30°=—，

CD3

故答案為：ED=BD.—；

3

(2)①正方形，理由如下：

???a=90。，DM平分NCDE,

/.Z.CDE=90°,NCDF=NEDF,

VCD=ED,DF=DF,

^CDF^AEDF(SAS),

ZDCF=/DEF,

?：CF//DE,

二NFCD+NCDE=180。，

：.48=90。，

ZDCF=ZDEF=/CDE=笫。,

.?.四邊形COE尸為矩形，

又,:CD=ED，

四邊形COER為正方形；

②顯然，在正方形CDEE中，MFHS^GDH，

.DHDG

??一，

FHCF

又,：CD=CF,

.DHDG_y[j

'FH~CD~3

由(1)得：NA=60。,CO=A。,則為等邊三角形,

二ZADC=60。，

NCDE=90。,

二ZGDB=30°,

/.ZGDB=ZGBD.GD=GB,

又?:DE=DB，

ZDBE=ZDEB=-(180°-ZGDB)=75°,

/.NG3E=75?！?0。=45。,

ZGDH=45°,

/.ZGBE=ZGDH

在AGBE與AGOH中，

NGDH=NGBE

,GD=GB

NDGH=NBGE

：.^GBE^GDH(ASA),

/.BE=DH，

.BEDHDG拒

(3)同(2)中①理，MDF名AEDF,

:.Z.CDF=NEDF,ZCFD=NEFD,

,/CFIIDE,

：./CFD=/EDF,

：.ZCFD=/CDF,Z.EDF=Z.EFD，

：.CF=CD,ED=EF，

四邊形CDEF為菱形，

,/AACD為等邊三角形，

二AC=CD=AD=B￡>=2,菱形的邊長(zhǎng)也為2,

由題意，ZHDG=-,NDEB=NDBE=LNADE=30°+3,

222

■：NDBG=30。,

a

：.ZEBG=-,

2

即：/HDG=/EBG,

：.AEBG4HDG，

???在菱形CDEF中，4HFC4HDG，

二LEBGMHFC，

.BEBG

"~FH~~FC'

如圖，作DK_LCG,

ZDCK=30。，

:./CDK=60。,ZKDG=a-60°,

CD=2,

：.DK=\,CK=6，

GK

在RtAKDGZ，3元=tanNKDG=tan(a—60°)=m,

GK—m,

?*-CG=+m，

在RhABC中，BC=6AC=2百，

二BG=BC-CG=20-6-in=^-m，

'：CF=CD=2,

.BEBG6-m

"~FH~~FC~-2-

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)等，綜合性較強(qiáng)，

掌握基本圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形以及銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

17.（2021?湖南中考真題）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC^9Q°.點(diǎn)E,尸分別為A8,AC

的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，尸重合），將線段A/繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到AG，

連接GC,HB.

（1）證明：^AHB^AGC；

（2）如圖2,連接GF,HC,AE交A尸于點(diǎn)Q.

①證明：在點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有N”F、G=90°；

②若A3=AC=4,當(dāng)E”的長(zhǎng)度為多少時(shí)，AAQG為等腰三角形？

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②當(dāng)團(tuán)的長(zhǎng)度為2或a時(shí)，AAQG為等腰三角形

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG,ZHAG=90°,從而得NBAH=NCAG,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）①由△AHBGAAGC,得AH=AG,再證明絲AA尸G,進(jìn)而即可得到結(jié)論；②AAQG為等腰

三角形，分3種情況：（。）當(dāng)NQAG=NQGA=45。時(shí)，⑺）當(dāng)/G4Q=/GQA=67.5。時(shí)，（c）當(dāng)NAQG=NAGQ=45。

時(shí)，分別畫(huà)出圖形求解，即可.

【詳解】

解：（1）?.?線段A”繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到AG,

：.AH=AG,ZHAG=90°,

?.?在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZBAH=90°-ZCAH^ZCAG,

:.AAHB^AGC；

（2）①?.?在等腰直角三角形43c中，AB=AC,點(diǎn)E，/分別為AB，AC的中點(diǎn)，

：.AE=AF,是等腰直角三角形，

：AH=AG,NBAH=NCAG,

^AEH包AFG,

：.ZAEH=ZAFG=45°,

：.ZHFG=ZAFG+ZAFE=450+45°=90°,即：ZHFG=900■.

②丫4臺(tái)二人^二贈(zèng)點(diǎn)后，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn),

：.AE=AF=2,

■：ZAG//=45°,AAQG為等腰.三角形，分3種情況：

(。)當(dāng)NQAG=/QGA=45。時(shí)，如圖，貝」1/“42=90。45。=45。,

1.A”平分/"尸，

:.點(diǎn)，是EF的中點(diǎn)，

(6)當(dāng)NGA0=NGQA=(180°-45°)+2=67.5。時(shí)，如圖，則NEA”=/GAQ=67.5。,

二ZE//A=180°-45o-67.5°=67.5o,

NEHA=NEAH,

：.EH=EA=2t

(c)當(dāng)NAQG=/AGQ=45。時(shí)，點(diǎn)〃與點(diǎn)尸重合，不符合題意，舍去,

綜上所述：當(dāng)由的長(zhǎng)度為2或后時(shí)，AAQG為等腰三角形.

G

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等

三角形的判定定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?湖南婁底市?中考真題）如圖①，E、/是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，

ZEAF=45°,CD±BC且CD=BE.

A

BEF

圖①

（2）求證：EF2=BE2+CF2;

（3）如圖②，作垂足為H,設(shè)NE4H=a,AFAH=（3,不妨設(shè)AB=無(wú)，請(qǐng)利用（2）

c,c/c、tana+tan

的結(jié)論證明：當(dāng)a+/7=45°時(shí)，tan(a+/7)=----------4B成立.

1-tana-tanp

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)證明見(jiàn)詳解.

【分析】

(I)△A8C是等腰直角三角形，AB=AC,N8AC=90。，由C3L8C,可求NDCA=NA8E即可；

(2)由△ABE絲△AC。，可得/陽(yáng)。=/EAF,可證AAEF也△AOF(SAS),可得EF=QF,在R/AC￡>F中，

根據(jù)勾股定理，DF2=CD2+C產(chǎn)即可；

(3)將ZiABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。到△ACC,由AABC為等腰直角三角形，可求NQCF=90。，由4B=血，

在我3人臺(tái)。中由勾股定理BC=2,由A〃_L3C,可求BH=CH=AH=1，可表示EF=tana+tan/?,BE=1-tana,CF=

l-tan^S,可證△AQNAA。/(SAS),得到￡7E?F,山石尸=36+。/2可得

(tana+tan0》=(1一tana)-+(l-tan/，整理即得結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：???△48C是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,

JZABC=ZACB=45°,

VCD1BC,

JNOC8=90。，

???ZDCA=90°-ZACB=90°-45°=45°=NABE,

在△ABE和△ACO中，

AB=AC

<ZABE=ZACD,

BE=CD

：.LABE^LACD(SAS),

(2)證明,?,△48小△ACT),

：.ZBAE=ZCAD,AE=AD,

,:NEAF=45。,

：.ZME+ZMC=90o-ZEAF=90°-45o=45°,

???ZFAD=ZFAC^ZCAD=ZFAC+ZBAE=450=ZEAFt

在AAE/和△AO尸中，

AE=AD

<NEAF=NDAF,

AF^AF

：.^AEF^^ADF(SAS),

：.EF=DF,

在心△CD尸中，根據(jù)勾股定理,

DF2=CD2+CF2，

即砂2=8^+072；

(3)證明：將AA8E逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。到△ACC,連結(jié)FC,

:.NBAE=NCAD,BE=CD,AE=AD,

???△ABC為等腰直角三角形，

ZACB=NB=NAC￡>=45°,NDCF=NDCA+/ACF=450+45°=90°,

AB=0，

；.4C=AB-A/2>

在RsABC中由勾股定理BC=YIAB2+AC2=+(夜『=2

?：AH1BC,

：.BH=CH=AH=-BC=1,

2

:.EF=EH+FH=AHtana+AHtan/?=tana+tan6，BE=BH-EH=l-tana,CF=CH-HF=Ltan0,

VZ￡AF=45°,

JZBAE+ZCAF=900-ZEAF=45°,

：.ZDAF=ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=45°=ZEAF,

在AAE尸和AAO尸中，

AE=AD

<NEAF=NDAF,

AF^AF

：.^AEF^^ADF(SAS),

：.EF=DF,

在Rt&CDF中，DF2=CD2+CF2即EF2=BE2+CF2，

/.(tana+tan僑=(l-tanof)2+(l-tan0、，

整理得2tana?tan夕=l-2tana+l-2tan.,

即tana?tan/?=1—tano—tan/7,

:.tana+tan夕=1-tana?tan/,

tan"+tan/?=1=tan45o=tan(二+/),

1-tan??tanp

.?.tan(a+0=tana+tan夕

1-tana-tan/3

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及

其公式推導(dǎo)，掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.（2021?湖南邵陽(yáng)市?中考真題）如圖，在RtZ\ABC中，點(diǎn)尸為斜邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，將"BP沿直線AP

折疊，使得點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，連接A5',CB',BB'，PB'.

（1）如圖①，若必'_LAC,證明：PB'=AB'.

（2）如圖②，若AB=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

PC

（3）如圖③，若NACB=30°，是否存在點(diǎn)尸，使得AB=CB'.若存在，求此時(shí)工的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

3PC13

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)-；(3)存在，一三的值為之或三.

5BC24

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得NCPB'=ZABP，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

ZAB'P=ZABP,PB'=PB,從而可得NCPB'=NAB'P,然后根據(jù)平行線的判定可得AB7/BC,最后根

據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證;

(2)設(shè)4C與尸8'的交點(diǎn)為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作OD_LA5'于點(diǎn)D，設(shè)A5=AC=4a(a>0),從而可得

BC=46a，先證出ACOP?㈤OA，從而可得"1="=上=也，設(shè)。。=y/2b,OB'=4bs>0），

OB'OAAB'4

根據(jù)線段的和差可得OP=3五a一4b,=4a—血，代入可求出b=—a，從而可得04=江a,再

77

_IXIQ

在mVB'QD中，解直角三角形可得B'￡)=2"7=一。，由此可得4。=一。，然后在中，根

77

據(jù)余弦三角函數(shù)的定義即可得；

(3)如圖(見(jiàn)解析)，設(shè)A