第四章平面任意力系

第四章平面任意力系

各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面任意力系。平面任意力系實(shí)例：§4-1力線平移定理定理：作用在剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶的力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)之矩。

研究方法：先將平面一般力系轉(zhuǎn)化為平面匯交力系或平面力偶系，然后根據(jù)其合成方法和平衡條件繼續(xù)研究。1、當(dāng)力平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點(diǎn)的位置的不同而不同。2、力的平移的過(guò)程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，總可以歸納為一個(gè)和原力大小相等的平行力。3、力的平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)。力的平移定理的幾個(gè)性質(zhì)：§4-2平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化?主矢與主矩在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心，由力線平移定理，將各力平移至O點(diǎn)。對(duì)于匯交力系，由平面匯交力系的合成理論：對(duì)于平面力偶系，由平面力偶系的合成理論：主矢主矩一、主矢與主矩分析上述的過(guò)程，可以看出主矢和主矩與簡(jiǎn)化中心的關(guān)系：主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)；主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。能不能稱(chēng)為合力和合力矩？結(jié)論：平面力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，該力作用于簡(jiǎn)化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)；該力偶的力偶矩等于力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，主矩的大小和轉(zhuǎn)向與簡(jiǎn)化中心相關(guān)。如何求出主矢、主矩?主矢大小方向作用點(diǎn)作用于簡(jiǎn)化中心上主矩=≠二、平面固定端約束物體的一部分固嵌在另一物體中所構(gòu)成的約束稱(chēng)為平面固定端約束?！?-3簡(jiǎn)化結(jié)果的分析合力矩定理一、簡(jiǎn)化結(jié)果1.主矢和主矩都等于零此時(shí)平面力系平衡。2.主矢等于零，主矩不等于零,平面力系簡(jiǎn)化為一合力偶，力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向由主矩決定，與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。若為O1點(diǎn)，如何?3.主矢不等于零，主矩等于零平面力系簡(jiǎn)化為一合力，此合力過(guò)簡(jiǎn)化中心，大小和方向由主矢確定。

4.主矢和主矩均不等于零此時(shí)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力。主矢主矩最后結(jié)果說(shuō)明合力合力合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心合力作用線距簡(jiǎn)化中心合力偶平衡與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)思考題：某平面力系向A、B兩點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矩皆為零，此力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果可能是一個(gè)力嗎？可能是一個(gè)力偶嗎？可能平衡嗎？

可能是一個(gè)力F，且F通過(guò)A、B兩點(diǎn)；可能平衡，F(xiàn)=0,M=0；不可能是一力偶，力系合成為一力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。

平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即為平面任意力系的合力矩定理。二、合力矩定理例1.簡(jiǎn)支梁受三角形荷載作用，最大荷載集度為（單位：N/m）如圖所示，求其合力的大小和作用線的位置。xABylx解：取坐標(biāo)系如圖所示。在

x

處取一微段，其集度為微段上的荷載為：ABxylxF則簡(jiǎn)支梁所受三角形荷載的合力為：

設(shè)合力作用線距A端為由合力矩定理得：將式(1)代入式(2)得合力作用線距A端的距離為：同理，對(duì)均布荷載，合力大小和作用位置如右圖示。25802083770ABCTQ解：1、取機(jī)翼為研究對(duì)象。2、受力分析如圖.QNAyNAxMABCTA例2某飛機(jī)的單支機(jī)翼重Q=7.8kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時(shí)，作用在機(jī)翼上的升力T=27kN，力的作用線位置如圖示。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。4、聯(lián)立求解：

MA=-38.6kN?m(順時(shí)針）

NAx=0

NAy=-19.2kN（向下）3、列平衡方程：QNAyNAxMABCTAF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例3

在長(zhǎng)方形平板的O、A、B、C點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)點(diǎn)O的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。解：取坐標(biāo)系Oxy。 1、求向O點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果：①求主矢R

：R

OABC

xyF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°②求主矩：（2）、求合成結(jié)果：合成為一個(gè)合力R，R的大小、方向與R’相同。其作用線與O點(diǎn)的垂直距離為：R

/OABC

xyMoRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°作業(yè)：4-24-3（b）、（d）§4-4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即一、平衡條件：二、平衡方程因此平衡條件的解析方程為：

即平面力系平衡的必要與充分的解析條件是：力系中各力在作用面內(nèi)兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，力系中各力對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。（兩平衡一力矩式）其中A、B兩點(diǎn)的連線AB不能垂直于x軸。三、平衡方程的其它形式1.二矩式2.三矩式其中A、B、C三點(diǎn)不能在同一條直線上。例4：如圖所示為一懸臂式起重機(jī)簡(jiǎn)圖，A、B、C處均為光滑鉸鏈。水平梁AB自重P=4kN,荷載F=10kN,有關(guān)尺寸如圖所示，BC桿自重不計(jì)。求BC桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的反力。ABP2m1m1mcF解：（1）取AB梁為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖（a）。ABPF圖（a）（2）由于平衡，可以得（3）解上述方程組得方向如圖示?！?-5平面平行力系的合成與平衡

力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱(chēng)平面平行力系。1、平面平行力系的合成主矩：主矢：平面平行力系是平面任意力系的特殊情況，因此應(yīng)該滿足平面任意力系的平衡方程。且如圖示的平面平行力系自動(dòng)滿足則平面平行力系平衡方程為：平面平行力系平衡方程的基本形式

二矩式為

且A、B兩點(diǎn)的兩線不得與力作用線平行。

2、平面平行力系的平衡PGWQNANBAB3.02.51.82.0解：1、取汽車(chē)及起重機(jī)為研究對(duì)象。2、受力分析如圖。例5一種車(chē)載式起重機(jī)，車(chē)重Q=26kN，起重機(jī)伸臂重G=4.5kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重W=31kN。尺寸如圖所示，單位是m，設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車(chē)子不致翻倒的最大起重量Pmax。4、聯(lián)立求解：3、列平衡方程：5、不翻條件：NA≥0故最大起重重量為Pmax=7.5kNPGWQNANBAB3.02.51.82.0§4-6物體系統(tǒng)的平衡靜定與靜不定問(wèn)題物體系——由若干個(gè)物體通過(guò)約束組成的系統(tǒng)。物體系平衡方程的數(shù)目：平面上由n個(gè)物體組成的物體系，總共有不多于3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。靜定與超靜定概念：2、超靜定問(wèn)題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，不能求出全部未知量的問(wèn)題。1、靜定問(wèn)題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)的問(wèn)題。靜定超靜定超靜定超靜定獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

3未知力數(shù)：3獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

3未知力數(shù)：4未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

6未知力數(shù)：6獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：

6未知力數(shù)：7未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題求解過(guò)程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問(wèn)題

恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對(duì)象

在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對(duì)象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時(shí)應(yīng)立即選取單個(gè)物體或部分物體的組合為研究對(duì)象，一般應(yīng)先選受力簡(jiǎn)單而作用有已知力的物體為研究對(duì)象，求出部分未知量后，再研究其它物體。求解物體系的平衡問(wèn)題例6.求圖所示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計(jì)。

分析：先作各梁受力圖如下。CB20kNA圖(a)10kNCE圖(b)2kN/mEG圖(c)

從各受力圖來(lái)看，未知量共9個(gè)，即5個(gè)支座反力和C、E處鉸鏈反力各2個(gè)。而梁共有三個(gè)，則其獨(dú)立的平衡方程有9個(gè)。也即題