第36課銳角三角函數(shù)和解直角三角形

第36課銳角三角函數(shù)和解直角三角形基礎(chǔ)知識(shí)題型分類(lèi)要點(diǎn)梳理題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算助學(xué)微博基礎(chǔ)自測(cè)題型二仰角、俯角和方向角的有關(guān)問(wèn)題題型三解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型四解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用答題模板14.運(yùn)用三角函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題易錯(cuò)警示24.添加輔助線，把分散條件集中起來(lái)要點(diǎn)梳理1．銳角三角函數(shù)的意義，Rt△ABC

中，設(shè)∠C＝90°，∠α為Rt△ABC

的一個(gè)銳角，則：∠α的正弦sinα＝_________________；∠α的余弦cosα＝_________________；∠α的正切tanα＝_________________．首頁(yè)要點(diǎn)梳理正弦余弦正切30°________________________45°________________________60°________________________12．30°、45°、60°的三角函數(shù)值，如下表：首頁(yè)要點(diǎn)梳理可用以下口訣記憶：三十四五六十度，三角函數(shù)記心間；分母弦二切是三，分子要把根號(hào)添；一二三來(lái)三二一，切值三九二十七；正弦正切遞增值，余弦遞減恰相逆．首頁(yè)要點(diǎn)梳理3．同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

sin2α＋cos2α＝________；

tanα＝________．互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：(α為銳角)sin(90°－α)＝________；

cos(90°－α)＝________．1cosαsinα函數(shù)的增減性：(0°<α<90°)(1)sinα，tanα的值都隨α________________；(2)cosα都隨α________________．增大而增大增大而減小首頁(yè)要點(diǎn)梳理4．解直角三角形的概念及邊角之間的關(guān)系：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．直角三角形中的邊角關(guān)系：在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則：

(1)邊與邊的關(guān)系：___________________；

(2)角與角的關(guān)系：___________________；

(3)邊與角的關(guān)系：_________________________________________________．∠A＋∠B＝90°a2＋b2＝c2首頁(yè)要點(diǎn)梳理6．直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，它經(jīng)常涉及測(cè)量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據(jù)題意明白其中的含義才能正確解題．首頁(yè)要點(diǎn)梳理(1)鉛垂線：重力線方向的直線；(2)水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點(diǎn)確定的直線我們認(rèn)為是水平線；(3)仰角：向上看時(shí)，視線與水平線的夾角；(4)俯角：向下看時(shí)，視線與水平線的夾角；首頁(yè)要點(diǎn)梳理(5)坡角：坡面與水平面的夾角；(6)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；顯然，首頁(yè)要點(diǎn)梳理(7)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角．首頁(yè)助學(xué)微博轉(zhuǎn)化思想

(1)在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問(wèn)題，這樣就把新知識(shí)(求銳角三角函數(shù)值)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)(求直角三角形的邊長(zhǎng))，因此不可避免地用到勾股定理．若原題沒(méi)有圖形，可以畫(huà)出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類(lèi)型(直角邊還是斜邊)，再運(yùn)用定義求解；也可以直接通過(guò)字母來(lái)判斷邊的位置和類(lèi)型，即∠A的對(duì)邊為BC，∠B的對(duì)邊為AC，∠C的對(duì)邊為AB.首頁(yè)助學(xué)微博

(2)在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見(jiàn)的方法是作高，通過(guò)作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．注意在畫(huà)圖過(guò)程中考慮一定要周到，不可遺漏某一種情況．首頁(yè)助學(xué)微博方法技巧將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形．尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解．從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回．首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)1．(2013·天津)tan60°的值等于(

)解析根據(jù)記憶的特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)2．(2013·溫州)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，

BC＝3，則sinA

的值是(

)解析利用正弦函數(shù)的定義即可直接求解．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)3．(2013·貴陽(yáng))如圖，P是∠α的邊OA上一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，5)，則tanα等于(

)解析過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E.∵P(12，5)，∴PE＝5，OE＝12，C首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)4．(2012·貴港)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2，1)

和點(diǎn)B(3，0)，則sin∠AOB

的值等于(

)解析如圖，過(guò)A作AC⊥x

軸于C，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，∴OC＝2，AC＝1，A首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)5．(2013·天水)如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD

的值等于(

)A．OM的長(zhǎng)B．2OM的長(zhǎng)

C．CD的長(zhǎng)D．2CD的長(zhǎng)解析作直徑AE，連接BE，Rt△ABE.

根據(jù)圓周角定理可證∠CBD＝∠MAO，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接BE，則∠C＝∠E，首頁(yè)基礎(chǔ)自測(cè)5．(2013·天水)如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD

的值等于(

)A．OM的長(zhǎng)B．2OM的長(zhǎng)

C．CD的長(zhǎng)D．2CD的長(zhǎng)∵AE為直徑，且BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ABE＝90°，∴△ABE和△BCD都是直角三角形，∴∠CBD＝∠EAB.在Rt△OAM

中，∵AO＝1，即sin∠CBD的值等于OM的長(zhǎng)．故選A.A首頁(yè)題型分類(lèi)題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算【例1】

(1)(2012·無(wú)錫)sin45°的值等于(

)解析根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可．B首頁(yè)題型分類(lèi)題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算首頁(yè)探究提高再根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．要求熟練掌握銳角三角函數(shù)的意義及特殊角三角函數(shù)值．首頁(yè)知能遷移1

(1)(2013·菏澤)計(jì)算：(2)(2013·黔西南)計(jì)算：首頁(yè)題型分類(lèi)題型二仰角、俯角和方向角的有關(guān)問(wèn)題【例2】

(2013·郴州)我國(guó)為了維護(hù)釣魚(yú)島P的主權(quán)，決定對(duì)釣魚(yú)島進(jìn)行常態(tài)化的立體巡航．在一次巡航中，輪船和飛機(jī)的航向相同(AP∥BD)，當(dāng)輪船航行到距釣魚(yú)島

20km的A處時(shí)，飛機(jī)在B處測(cè)得輪船的俯角是45°；當(dāng)輪船航行到C處時(shí)，飛機(jī)在輪船正上方的E處，此時(shí)EC＝5km.

輪船到達(dá)釣魚(yú)島P時(shí)，測(cè)得D處的飛機(jī)的仰角為30°.試求飛機(jī)的飛行距離BD.(結(jié)果保留根號(hào))首頁(yè)解作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，由題意得：AF＝PG＝CE＝5，F(xiàn)G＝AP＝20，在Rt△AFB

中，∠B＝45°，則∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝5，∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，首頁(yè)探究提高此類(lèi)問(wèn)題常與仰角、俯角等知識(shí)相關(guān)，通常由視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，變形求得物體高度．首頁(yè)

知能遷移2

(2013·遂寧)釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門(mén)對(duì)釣魚(yú)島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一艘我國(guó)漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少．

(結(jié)果保留根號(hào))首頁(yè)解過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D.

由題意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°，首頁(yè)題型分類(lèi)

題型三解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】

(2013·六盤(pán)水)閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值．首頁(yè)首頁(yè)根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲?wèn)題．(1)計(jì)算：sin15°；(2)烏蒙鐵塔是六盤(pán)水市標(biāo)志性建筑物之一(圖1)，小華想用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底

A距離7米的C處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請(qǐng)幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度．(精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：首頁(yè)解

(1)sin15°＝sin(45°－30°)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(2)在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7，∴BE＝DE·tan∠BDE＝DE·tan75°.首頁(yè)答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米．首頁(yè)探究提高

(1)特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．

(2)在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見(jiàn)的方法是作高，作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．首頁(yè)知能遷移3

(2012·麗水)學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡AB，經(jīng)測(cè)量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB長(zhǎng)為12米．為方便學(xué)生行走，決定開(kāi)挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即為CD與BC的長(zhǎng)度之比)．A、D兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開(kāi)挖后小山坡下降的高度AD.

解在Rt△ABC

中，∠ABC＝30°，首頁(yè)知能遷移3

(2012·麗水)學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡AB，經(jīng)測(cè)量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB長(zhǎng)為12米．為方便學(xué)生行走，決定開(kāi)挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即為CD與BC的長(zhǎng)度之比)．A、D兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開(kāi)挖后小山坡下降的高度AD.首頁(yè)題型分類(lèi)

題型四解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例4】

(2010·杭州)如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上，距離P點(diǎn)320千米處．

(1)說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市；

(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間．首頁(yè)解

(1)作BH⊥PQ于點(diǎn)H，在Rt△BHP中，PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，則BH＝320×sin30°＝160<200，故本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市．

(2)如圖，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P1時(shí)，臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響B(tài)市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P2時(shí)，臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束．由(1)得，BH＝160，由條件得BP1＝BP2＝200，首頁(yè)探究提高此類(lèi)問(wèn)題一般求出危險(xiǎn)區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形危險(xiǎn)區(qū)域的半徑，其實(shí)質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系．求影響情況，通常以此為圓心，以臺(tái)風(fēng)影響半徑為半徑畫(huà)圓，交臺(tái)風(fēng)行進(jìn)路線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是受影響期間臺(tái)風(fēng)所經(jīng)過(guò)的路程，其中最靠近臺(tái)風(fēng)方向的一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響，另一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響．首頁(yè)知能遷移4

(2013·黃石)高考英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試期間，需要杜絕考點(diǎn)周?chē)脑胍簦鐖D，點(diǎn)A是某市一高考考點(diǎn)，在位于A考點(diǎn)南偏西15°方向距離125米的點(diǎn)C處有一消防隊(duì)．在聽(tīng)力考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，告知在位于點(diǎn)C北偏東75°方向的點(diǎn)F處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須立即趕往救火．已知消防車(chē)的警報(bào)聲傳播半徑為100米，若消防車(chē)的警報(bào)聲對(duì)聽(tīng)力測(cè)試造成影響，則消防車(chē)必須改道行駛．試問(wèn)：消防車(chē)是否需要改道行駛？說(shuō)明理由．首頁(yè)

解過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CF交CF于H點(diǎn)，∵∠ACH＝75°－15°＝60°，∵AH>100米，∴消防車(chē)不需要改道行駛．首頁(yè)答題模板14.運(yùn)用三角函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題試題

(2012·青島)如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°

時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離

(B、F、C在一條直線上)．

(1)求教學(xué)樓AB的高度；

(2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A、E之間的距離．

(結(jié)果保留整數(shù))首頁(yè)審題視角

(1)分清已知條件和未知條件(待求)；

(2)將問(wèn)題集中到一個(gè)直角三角形中；

(3)利用直角三角形的邊角之間關(guān)系(三角函數(shù))求解．首頁(yè)規(guī)范解答解：(1)過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M.設(shè)AB為x米．在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF＋FC＝x＋13.

在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，

AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2，∴x＝12(米)．即教學(xué)樓的高度為12米．首頁(yè)(2)由(1)可得，ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.即A、E之間的距離約為27米．首頁(yè)答題模板解直角三角形應(yīng)用題的一般步驟為：第一步：分析——理解題意，分清已知與