平面向量考點(diǎn)梳理講解總結(jié),高中數(shù)學(xué)平面向量題及答案解析

考點(diǎn)20平面向量的概念與

【命題解讀】

平面向量的概念與運(yùn)算這一部分，高考的考察比較少，主要集中在向量的運(yùn)算以及它

的幾何性質(zhì)部分，對(duì)于平面向量的運(yùn)算，要注意運(yùn)算的法則，注意向量是矢量這一知識(shí)點(diǎn)。

【命題預(yù)測(cè)】

預(yù)計(jì)2021年的高考對(duì)于平面向量的概念及運(yùn)算部分考察還是以小題為主，如果出題可

能以選擇題的形式出現(xiàn)。

【復(fù)習(xí)建議】

集合復(fù)習(xí)策略：

1.理解平面向量的概念，幾何表示；

2.掌握平面向量的運(yùn)算及幾何意義。

考向一平面向量的概念

1.平面向量的有關(guān)概念

名稱定義表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量

示

向量4的大小，也就是表示向量。的有向線段荏的長

向量的模⑷或1屈1

度（或稱模）

零向量長度為0的向量用0表示

單位向量長度等于1個(gè)單位的向量用e表示,|e|二l

平行向量方向相同或相反的非零向量（或稱共線向量）a//b

相等向量長度相等且方向相同的向量a=b

相反向量長度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是-a

2.說明:零向量的方向是不確定的、任意的.

規(guī)定:零向量與任一向量平行.

典例制折

1.12020安徽高二學(xué)業(yè)考試】如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)。，則下列

結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

UUIUUUUI

A.AC1BDB.畫=網(wǎng)

C.叫=|西D.AB//CD

【答案】C

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛3C。為菱形，對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)。,

UUUUUUII---II—_d_

所以AC_LAD，|AD|=|A4,AB//CD.故A,B,D正確.

而口耳，|比|不一定相等，故C錯(cuò)誤.

故選：C

2.12020全國高二課時(shí)練習(xí)】給出下列四個(gè)命題：

①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

②若5滿足且￡,B同向，則￡>6；

③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；

④對(duì)于任意向量Z，h>必有于+B|V|a|+|5|.

其中正確命題的序號(hào)為.

【答案】④

【解析】對(duì)于①，長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，向量是不能比較大小的，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，故③錯(cuò)誤；

只有④正確.

故答案為：④

考向二平面向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

運(yùn)算

⑴加法交換律:a+b=b+a;

求兩個(gè)向量和的運(yùn)

加法⑵加法結(jié)合律:（a+b）+c-

算

a+（b+c）

平行四邊形法則

減去一個(gè)向量相當(dāng)

減法于加上這個(gè)向量的a-b=a+(-b)

相反向量

三角形法則

實(shí)數(shù)2與向量a的積(l)|za|=|2||a|.⑴對(duì)向量加法的分配

是一個(gè)向量,這種運(yùn)⑵當(dāng)2>0時(shí),觴與a的方向相律:4(a+b)=Xa+Xb;

數(shù)乘

算叫作向量的數(shù)同;當(dāng)2<0時(shí)/。與a的方向相⑵對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配

乘,記作Xa反;當(dāng)2=0時(shí)，a=0律:(3+%2)a=2ia+癡

2.常用三角公式

向量的共線定理

向量。（存0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的實(shí)數(shù)2,使b=Xa.

典例劇折

1.12020山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)高三期中】若M為AABC的邊AB上一點(diǎn)，且麗=3而萬，則

CB=（）

UUUUU1__________UUUuuuuuuct

A.3CM-2G4B.3CA-2CMC.3CM+2CAD.3CA+2CM

【答案】A

【解析】根據(jù)題意做出圖形，如圖,

A

->->f-2ff9（ff、1->2

所以==CB+—8A=CB+—CA-CB\=-CB+-CA>

331J33

所以&=3CM-2CA-

故選：A.

2.【2020忻州市第二中學(xué)校高三月考】如圖，在平行四邊形A3CO中，下列結(jié)論中正確的

是（）

A.AB=a）B.AB-AD=BD

C.AD+AB=ACD.AD+BC=0

【答案】C

【解析】在平行四邊形A8C。中，AB=-CD，故A錯(cuò)誤；

由向量減法法則得—=分，故B錯(cuò)誤；

由向量加法的平行四邊形法則知通+通=沅，即c正確；

由于通+配=2而，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

3.12020沙坪壩.重慶南開中學(xué)高三月考】在平行四邊形ABCO中，|福卜2,|而卜1,

DE=2EC，AE交8。于尸且醺.麗=—2，則下列說法正確的有（）

__19___2.

A.AE=-AC+-ADB.DF=-DB

335

C.（AB,AD）=^D.FBFC=—

25

【答案】BCD

對(duì)于選項(xiàng)A：AE=AD+DE=AD+-DC=AD+-(AC-AD^=-AD+-AC,故選

33

項(xiàng)A不正確;

DFDE2___2—2—.

對(duì)于選項(xiàng)B：易證△￡＞石廠?ABEA，所以▼=F=W，所以==-DB,故

BFAB33

選項(xiàng)B」E確:

對(duì)于選項(xiàng)C：■BD--2>即+§A8)(A￡)-A3)

=一2,所以

—21—,2,21----------2uuaiuuui

AD——ABAD一一AB=-2,所以1——ABAD一一x4=-2,解得:ABAD^\'

3333

AB-AD11

cos(AB,AD)因?yàn)椋ǘ?，而）e[0,柯，所以71

|A8|X|AD|-2X1-2,7

故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：~FBFC=-DB-

5

9--2—.—-6—-293627

=—xAB-3ABAD-—XAD=—x4---------—,故選項(xiàng)D正確.

252525252525

故選：BCD

檢測(cè)訓(xùn)練

題組一

1.12019江西八校聯(lián)考】在△48C中，P,。分別是邊AB,3C上的點(diǎn)，且4尸=觸，BQ

若霜=mAt=b,則成=（）

A.%+§bB.-乎+§〃

C.\a-\bD.—\a—^b

2.12020珠海市第二中學(xué)高二月考】已知￡,B為單位向量，則歸+耳+忖―］的最大值為

（）

A.273B.V3+1C.3D.272

3.12020黑龍江哈爾濱三中高三期中（理）】在△A8C中，BD=2DC，則而=（）

1―-2--2―?1―?1—.3—?3—?1—?

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33334444

,1—-—?

4.12020北京順義高一期末】如圖，在矩形ABC。中，E為BC中點(diǎn)，那么向量一AO+AE

2

等于（）

A.ABB.ACC.BCD.礪

5.下面的命題正確的有（）.

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B.單位向量都相等

C.若晨5滿足間>忖且1與5同向，則〃>5

D.“若A、B、C、。是不共線的四點(diǎn)，且麗=反"0"四邊形438是平行四邊形”

6.在平行四邊形48CO中，。是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（）

A

D

A.AB^CD,BC=ADB.AD+OD^AO

c.AO+OD^AC+CDD.AB+BC+CD^DA

7.[2019遼寧大連雙基測(cè)試】在銳角AABC中，同f=3砒，筋/=xA^+y祀,貝片.

8.【2019山東菊澤模擬】如圖，有5個(gè)全等的小正方形，Bb=xAk+yAp,則x+y的值是

始答案解析,

題組一

212I1211

1.A【解析】而=或+毆=§屈+?虎=§或+§（祀一曲）=5^+3祀=]〃+功.

故選A

2.D【解析】設(shè)2,5的夾角為氏而由已知條件知

口一彳二|If_21同出|cos6+出『=2(1—cos6),同理有,+彳=2(1+cos6),

.,?卜+q+卜一0=拒(Jl-cose+J1+cos，)=2(sing+cosg)=2拒sing+?)'而

0717t3兀、

-+—e[r—,——],

2444

二,+⑷+卜-q的最大值為20.

故選：D

3.A【解析】AD=AS+fiZ5=Afi+-eC=AS+-(AC-Afi)=-Ae+-AC.

故選：A

4.B【解析】因?yàn)樵诰匦蜛5C。中，石為3c中點(diǎn)，

所以工期+通=,方+公=前+疑=/.

22

故選：B.

5.AD

【解析】方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A

正確；

單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故8錯(cuò)誤；

向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

A、B、C、。是不共線的點(diǎn)，AB=DC，即模相等且方向相同，即平行四邊形ABCQ

對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故。正確.

故選：AD

6.ABD

【解析】對(duì)于A：在四邊形A8CO中，AB^DC，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：Ad+OD-AD'故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C：AO+OD^AD，AC+CD^AD>故C正確;

對(duì)于D：AB+BC+CD^AD>故D錯(cuò)誤.

故選：ABD.

7.3

【解析】由題設(shè)可得CA+而=3（初一砌，即4面=3屈+祀,亦即秸+了正,則

31

---X

=4=故=3

4,y

8.1

【解析】因?yàn)閙=微>_油,而初=海，屈=皿+筋=2A齊一成，

所以^>=在一輻=2曲一（2#—硝=3勘一2#.

又屈，#不共線，且尻）=xH&+）#,所以梃+y#=3屐-2#,

所以x=3,y=—2,故x+y=l.

考式21年面向量及埃定理

與坐標(biāo)表示及運(yùn)算

簽，考占1車虜

【命題解讀】

平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算是高考的一個(gè)熱門考點(diǎn)，對(duì)于平面向量的考察主

要從這方面出題，尤其是數(shù)量積的運(yùn)算是考察的重中之重，題目的難易度適中，以選擇或者

填空為主，出多項(xiàng)選擇題的機(jī)率也是比較大的，總體來說還是學(xué)生比較好得分的。

【命題預(yù)測(cè)】

預(yù)計(jì)2021年的高考平面向量基本定理與坐標(biāo)表示及運(yùn)算還是以選擇題或者填空題為主,

難易度以中等難度為主，數(shù)量積的運(yùn)算考察機(jī)率大。

【復(fù)習(xí)建議】

集合復(fù)習(xí)策略：

1.理解平面向量基本定理及其意義；

2.掌握平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示；

3.理解平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；

4.掌握運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行平面向量的加法、減法、數(shù)乘與數(shù)量積的運(yùn)算。

考向一平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1.平面向量的基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量”，有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)加，％2，使a=4iei+22e2.其中，不共線的向量ei，e2叫作表示這一平面內(nèi)所

有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

a=(xi，yi)b-(X2，>2)

a+b-{x\+x2,yi+yi)a-b-(x\-X2,y\-yi)2a=(Axi，zyi)

(2)向量的坐標(biāo)求法

已知4(X[,>'i)>8(X2，yi)>則荏=(X2-X1，

2

I荏I=J(X2-XI)2+(y2-yi)-

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi，yD，b=(x2?m)，其中后0,則。〃bo。二勸(2eR)=不出-乃丁產(chǎn)。.

經(jīng)典例劇折

1.12020湖南省高三月考】如圖所示，在AABC中,點(diǎn)。在線段BC上，且5D=3DC,

______A.

若=+則[二

A

Zb

\

BDc

112

A.—B.—C.2D.-

233

【答案】B

___________3______Q______1___a____

【解析】AD-AB+BD^AB+-BC=AB+-（AC-AB）^-AB+-AC,

4444

13Z1

所以;l=—,從而求得一

44〃3

故選B.

一1一4一

2.12020安徽省高三月考一】設(shè)。為A48c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，40=-—A3+—AC,若

33

BC=ADC（A&R）,則；1=.

【答案】-3

一］一4一

【解析】???。為AA8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=—AB+-AC,

33

.?.B,C,。三點(diǎn)共線.若月e=/1丈（4eR）,...而一A月=/1/一/1耳萬，

化為：髭=!麗+?而，與粕=一，而+，祝，比較可得：!=—』，解得力=一3.

AA3323

即答案為-3.

考向二平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量的數(shù)量積

⑴概念

已知兩個(gè)非零向量a和6,它們的夾角為。，我們把數(shù)量MIIMcos。叫作a與6的數(shù)量積（或內(nèi)積）,

記作。"即a-Z>=|a||6|cos。，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0.

（2）幾何意義

①向量的投影:a|cos6（步|cos。）叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.

②向量的數(shù)量積:數(shù)量積ab等于a的長度⑷與》在a方向上的投影|"cos6的乘積.

（3）向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a和。，作而=。.而=。,則/4。8=彌。$先180。）叫作向量。與6的夾角.如果

向量a與b的夾角是90。,我們說a與b垂直，記作alb.

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a/,c和實(shí)數(shù)力

①交換律:a-b-b-a;

②數(shù)乘結(jié)合律:（2a）仍=，a?=a,（助）（4GR）；

③分配律:（a+b>c=a-c+b-c.

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量,。是。與e的夾角.

②e?〃=o?e=|a|cos。

③a9b=O.

④當(dāng)a與b同向時(shí)?斤⑷網(wǎng);當(dāng)。與b反向時(shí)，。山=-|。|網(wǎng).

特別地=|。產(chǎn)或I。I=^^石

⑤cos9=黑.

\a\\b\

?\a-b\<\a\\b\.

4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知兩個(gè)非零向量。=(即ji)m=(X2j2),。為a與b的夾角.

I?I=VX1+71

a*b-x\X2+y\yi

a_Lb=x\X2^-yiy2=0

必工2+%，2

cos9=

J蜉+y《以+禿

典例制折

1.12020四川省閩中中學(xué)高三二?！恳阎蛄俊?(1,機(jī))，5=(3,—2),且。+5),5,

則m=

A.-8B.-6

C.6D.8

【答案】D

［解析］'：a=(1,m),h=(3,-2),:.a+b=(4,m-2),

又(1+B)_L5,A3X4+(-2)x(m-2)=0,解得，w=8.

故選D.

2.12020河北省高三月考】已知向量萬滿足同=后，出|=1,且W+W=2,則向

量￡與五的夾角的余弦值為

A近3丘C及D近

2384

【答案】D

21

【解析】由題意可知：忖+1「二7+2萬萬+萬2=3+2￡/=4,解得：展5=].

_丁a-b1A/2

COS<Cl、b〉=--r^r-..-=---

同W2724?

故選：D.

3.【2020湖北省高三零?！恳阎蛄咳f，5滿足回=4,日在M上投影為-2,則卜-3同的

最小值為

A.12B.10C.V10D.2

【答案】B

【解析】5在]上投影為一2,即F|COS<G,5>=-2.

?.?|/?|>(),:.cos<a,bxQ>

Xcos<>€[-1,0),|^|mjn=2,

|a-3^|=a2-6ab+9b2=|a|"-6|a||z?|cos<a,b>+9|/?|=9同+64,

/.=—9x4+64=10.

IImin

本題選B.

空檢測(cè)訓(xùn)練

qJ4J

題組一（真題在線）

1.【2020年高考全國II卷文數(shù)】已知單位向量”，加勺夾角為60。，則在下列向量中，與b垂

直的是

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-h

2.【2020年新高考全國I卷】已知尸是邊長為2的正六邊形ABCQEF內(nèi)的一點(diǎn)，則A6A豆

的取值范圍是

A.(—2,6)B.(-6,2)

c.(-2,4)D.(-4,6)

3.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知非零向量a,6滿足|a|=2|"，且(。一萬)_L6,則a

與6的夾角為

兀兀

A.—B.—

63

-2兀-5兀

C.—D.—

36

4.【2019年高考全國H卷理數(shù)】已知而=(2,3),恁=(3,。，阮=1,則福.覺=

A.-3B.-2

C.2D.3

5.【2020年高考全國I卷文數(shù)】設(shè)向量a=(1,—1),力=(相+1,2〃2-4),若。_16,則

m=.

6.【2020年高考天津】如圖，在四邊形ABC。中，ZB=6O°,AB=3,BC=6,且

AD=ABC,A力送方=——,則實(shí)數(shù)4的值為，若M,N是線段8C上的動(dòng)點(diǎn)，

2

且|麗|=1,則方必?麗的最小值為.

—1——

7.【2020年高考北京】已知正方形A8CD的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=—(AB+AC),則

2

\PD\=；PBPD=----------

8.【2020年高考浙江】已知平面單位向量4,02滿足|25々2區(qū)也.設(shè)4=4+02,6=3竹+?2,

向量。，方的夾角為。，則cos?8的最小值是.

9.【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知小匕為單位向量，且“。=0,若c=2a-也b,則

cos(a,c)=.

10.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形ABC。中,

AD//BC,AB=2瓜AD=5,NA=3()°,點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且

AE=BE,則8/57斤=.

題組二

1.【2020全國高三月考（理）】如圖，在AABC中，AB=4,AC=2五,NB4c=135。,

。為邊BC的中點(diǎn)，且㈤豆=后方，則向量的的模為（）

A.叵B.述C.叵或。D,叵或述

222222

2.【2020山東濟(jì)寧?高三其他模擬】已知點(diǎn)M是邊長為2的正方形ABC。的內(nèi)切圓上一動(dòng)

點(diǎn)，則加.標(biāo)的取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[-1,3]C.[0,3]D.[-1,4]

3.【2020湖南長郡中學(xué)高三月考】若平面向量?滿足同=忖=萬石=2,則對(duì)于任意

實(shí)數(shù)；I,|然+。一/網(wǎng)的最小值是（）

A.百B.也

2

C.2D.1

4.【2020河南省高考模擬】已知平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量），礪，它們的夾角是60。，OC

與礪、礪向量的夾角都為30。，且|雙|=26,若反=彳函+〃而，則4+〃值為

A.2GB.473C.2D.4

5.12020沙坪壩重慶八中高三月考】已知向量2=（應(yīng),1）,B=（cos，,sin6）（0骸/），則下

列命題正確的是（）

A.若。J_。，則tan0-V2

B.若B在Z上的投影為-]I，則向量￡與B的夾角為2千7r

c.存在e,使得i￡+川=|￡|+|加

D.￡石的最大值為百

TT

6.12020重慶西南大學(xué)附中高三月考】如圖，oABCD中，AB=1,AD^2,ZBAD^-,E

為CO的中點(diǎn)，AE與。B交于F,則下列敘述中，一定正確的是（）

A.喬在府方向上的投影為0

mm1uun7

B.AF=-AB+-AD

33

L1UULILIU

C.AFAB=1

D.若。=:/用5,則tana=^

23

UUIUULU---------------------

7.【2020全國高三月考（理）】已知AABC的重心為G,A￡>=XAB，AE=〃AC,其

11

中0<2,//<1,且。，G,E共線，則彳+―=_____.

X"

8.12020湖北省鄂州高中高三月考】在AABC中，通=（0,2）,CB=（V3,1）,則ZR4c

的大小為.

9.12020甘肅省武威十八中高三期末】已知向量）=（1,2）,萬=（2,1）,c=（\,n）,若

（2a-3萬）±c,則〃=.

10.12020江西省寧都中學(xué)高三月考】如圖所示,已知點(diǎn)G是AA5c的重心，過點(diǎn)G作直線

UUUUUUULMLILIU1

分別交AB，AC兩邊于M,N兩點(diǎn)，且AM=xAB，AN=yAC，則3x+y的最

小值為.

G

BV

翁答案解析

題組一

1.D

【解析】由已知可得：￡%=同網(wǎng)cos60-xlxg=g.

A：因?yàn)?+4)4=￡彳+2后2=_1+2*1=3/0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

22

2j

B：因?yàn)?2￡+楊彳=2￡彳+市=2x—+l=2w0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

2

C：因?yàn)?￡一2楊％=￡%—2片=‘-2X1=-3WO,所以本選項(xiàng)不符合題意;

22

一一一---21

D：因?yàn)?2a—力?各=2“小—Z?=2x----1=0,所以本選項(xiàng)符合題意.

2

故選：D.

2.A

【解析】如圖，

4后的模為2,根據(jù)正六邊形的特征，

可以得到正在A月方向上的投影的取值范圍是(-L3),

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式,

可知而?麗等于A分模與而在A2方向上的投影的乘積，

所以麗?通的取值范圍是(-2,6)，

故選：A.

3.B

【解析】因?yàn)?。一力)_1_8，所以(G-〃)小一〃2=0,所以所以cos6=

2

ab|ft|1八兀

E^=—=5,所以。與b的夾角為二，故選B.

\a\'\b\2\b\23

4.C

【解析】由宓=不亍一而=(1/一3)，|碇|=J/+?_3)2=1,得,=3,則就=(1,0),

AB.BC=(2,3).(l,0)=2x14-3x0=2.故選C.

5.5

【解析】由a_L〃可得Q?B=0，

又因?yàn)镼=(1,-1),坂=(m+1,2m-4),

所以a4=1++(-l)-(2m-4)=0,

即，”=5,

故答案：5.

，113

6.—；——

62

【解析】vAD=ABC.:.AD//BC,

/BAD=180-NB=12(T，

A6-AD=2BC-AB=A|Z?C|-|AB|COS120

=Xx6x3xf—yj=—9A=-g,

解得4=

6

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為入軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

/k

BM1

■-BC=6,.-.C（6,0）,

?；AB=3,ZABC=60。，A的坐標(biāo)為

?.?又；則。:1上，，設(shè)加（乂0）,則N（x+l,0）（其中0WxV5）,

麗=[_上「理，麗/」「近，

122J122J

加.麗=｝一|卜|）+傍[=/_而+11

=（x-2）2+y,

_________________13

所以，當(dāng)x=2時(shí)，DA/.。燈取得最小值標(biāo).

113

故答案為：—；—.

62

7.V5;-1

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3、A￡＞所在直線分別為工、y軸建立如下圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

/

則點(diǎn)4（0,0）、5（2,0）、C（2,2）、D（0,2）,

IP=l（AB+AC）=1（2,0）+1（2,2）=（2,1）,

則點(diǎn)尸（2,1）,.?.麗=（-2,1）,方=（0,-1）,

因此，|叫=］（一2）2+尸=后,PBPD=0x（-2）+lx（-l）=-1.

故答案為：75;-1.

28

8.

29

【解析】Q2之一，區(qū)起，；.4一4〉之+142,

uir3

,?e\tei—~^y

uuuu

（。力?（4+4e*2）2（.作）

20二----------!---ITIT4l+3

cos1212

a-b（2+2q-^XlO+Ge,-e2）5+3q?e2

4八2、4八2、28

=-0--------N彳（1------------------T）

35+3ei-e23*5+3x-29-

4

上心心心、］28

故答案為：—

29

2

9.-

3

【解析】因?yàn)閏=2a—石），ab-0<

所以a-c=2/-石。?方=2，

\c|2=4|a|2-4y[5a-b+5\b\1=9,所以|c|=3,

ac_2_2

所以cos（a,c）=

|a|-|c|1x331

10.-1

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，ZDAB=30°,AB=2瓜AD=5,則8（2石,0）,

因?yàn)锳O〃BC,ZBAD=30°,所以NABE=30°,

因?yàn)锳E=BE，所以N&4￡=30。,

所以直線BE的斜率為手，其方程為y=與(x-2Ji),

直線AE的斜率為-、—,其方程為丁=一-—%.

y=^-(x-2>j3)

3

由《r-得x=6,y=-l,

73

y=----x

13

所以E(、萬，一1).

所以麗?荏=(點(diǎn)卷

-).(V3,-1)=-1.

fJ

-14、0^45x

-1

E

-2〉

題組二

1.B【解析】因?yàn)锳3=4，AC=20,ZBAC=135°,所以福=-8.

因?yàn)辂?=府_而=；而_幻3=-(AB+AC]-AB=--AB+-AC,

4、>44

所以甌=/.而+；可一幕網(wǎng)翔祁』研名

故選：B

2.B【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)》(cos。,sin。),其中A(-L-1),80,-1),

易知涼(cos^+l,sin^+l)-(cos^-l,sin^+l)

=cos26-1+sin?8+2sin8+l=2sin8+l，

故選：B.

酢。網(wǎng)=爆.，

3.A【解析】由題意得，設(shè)向量夾角為氏

(〃+&(4。+(1-%歷］=4+〃石=6,設(shè)3+萬)與4a+(1—丸歷的夾角為乙

二,+q.卜〃+(i-4)qcos7=6,2+目2=7+片+22石=12,

/.|>la+(1-2)^|cos/=^,/G0微卜卜4+(1_丸)目之6

故選：A

4.D【解析】由題意，可得反在NAQB的角平分線上，所以反=依函+礪),

再由反=2函+〃礪可得九=〃，KPOC=A(OA+dB),

再由|。4=26,

得26="2畫+麗)2=^2^+2OAOB+OB2)=7>l2(l+2xlxicos600+l)，

解得2=2,故〃=2,所以>1+〃=4,

故選D.

5.BCD

【解析】若a_L8，則。?B=&cose+sine=0,則tan6=-J5，故A錯(cuò)誤；

若B在￡上的投影為一:，且|5|=1,則|B|cos&,萬〉=一：，cos〈Z,B〉=V，故5正確；

若(￡+母2=22+片+2￡.B，(|￡|+|/；1)2=|￡「+I〃F+2|￡|出|,若|￡+引=|￡|+|萬|,則

a?b=\a\\b\cos〈a,b)=\a\\b\f即cos〈〃,5〉=1,故<>=0\a+b\=\a\+\b\,故C正

確；

〃?〃二&cos6+sine=6sin(8+9),因?yàn)?<。<兀，。<0<]，則當(dāng)°時(shí)，a*b

的最大值為JJ，故。正確，

故選：BCD.

6.ABC

TT

【解析】因?yàn)樵?ABe。中，A6=1,AO=2,N84O=9，在△A3。中，由余弦定理得

BD1=ABr+ADr-2AB-ADcosABAD=l2+22-2xlx2xcos60=3.所以滿足

TC

AB2+BD2=AD2-所以=

ATDpAB_1

又E為CO的中點(diǎn)，所以——=——

EFDF~DE~2

所以8E=|BO=手，AF=dAB?+DF?=Jr+(等)=孝'

對(duì)于A選項(xiàng)：喬在4與方向上的投影為忸斗以）5乙鉆尸=？一乂0=0，故A正確;

mmtiunmmuun91X111岫2/11r111nl\1111Hl2101

對(duì)于B選項(xiàng)：AF=AB+BF=AB+-BD=AB+-(BA+AD]=-AB+-AD故B正確；

33、/33f

in皿uun^2A1

對(duì)于c選項(xiàng)：A「AB=N-xlx亙=1,故c正確；

丁

對(duì)于D選項(xiàng)：tanNE48=3叵，設(shè)。=」/B48,所以tanNE48=?tan?=空，解得

321-tan2a3

tana=--（負(fù)值舍去），故D不正確,

2

故選：ABC.

7.3

【解析】?「△ABC的重心為G,...AG=；（而+/）,

vD,G,E共線，則存在實(shí)數(shù)加，使得而=加南+（1—加）醺,

二；A5+；AC=mAD+—in)AE-AmAB+/u(\-m)AC,

,1

Am=—

1,1

3解得*豆d豆'

〃(1_〃?)=;

故答案為：3.

c兀

8.一

3

【解析】由題意，得/=麗+元=而_而=(0,2)_(且,1)=卜6,)

因?yàn)楹硬肪W(wǎng)=|網(wǎng)=2,

TT

所以△ABC為正三角形，從而ZBAC=—.

3

9.4

【解析】25-35=(-4,1),

?.,(21-3石)_1_0,；.(21-3孫c=0,/.n=4.

故答案為4.

10.2

3

UULT]UULTUUUI1UL1I1I

【解析】根據(jù)條件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

mi1lun1iuruuuiLIILMIIiux

又AG——ABH—AC,***AG=——AM+--AN.

333x3y

11?

又M,G,N三點(diǎn)共線,?..「+丁=L

???x>0,y>0,

fl

3x+y=（3x+y）一十一

3yJ

，3x+y的最小值為史2叵,

3

xy

當(dāng)且僅當(dāng)丁費(fèi)時(shí)"=”成立.

JJ-AsVcfa4+2\/3

故答案為———.

3

考點(diǎn)22年面向量的應(yīng)用---

正余核定理

63—％-3.巨］；+

4，巧足、「

【命題解讀】

平面向量基的應(yīng)用是考試經(jīng)常出現(xiàn)的，尤其是正余弦定理，是高考必考知識(shí)點(diǎn)之一,

縱觀每年的高考題，都有正余弦定理的題目，對(duì)于這部分的考察主要是以大題為主，偶爾會(huì)

出現(xiàn)填空或者選擇，主要是掌握正余弦定理的應(yīng)用。

【命題預(yù)測(cè)】

預(yù)計(jì)2021年的高考平面向量的應(yīng)用及正余弦定理肯定還是以解答題的形式出現(xiàn)，主要

出現(xiàn)在第17題的位置，需要加強(qiáng)題目練習(xí)，掌握正余弦定理的知識(shí)點(diǎn)。

【復(fù)習(xí)建議】

I.了解平面向量的應(yīng)用；

2.掌握正余弦定理的知識(shí)點(diǎn)；

3.理解正余弦定理在解題中的應(yīng)用。

考向一正弦定理與余弦定理

1.正弦定理

~~r~7==(其中R是△ABC的外接圓的半徑)

sinAs\nBsinC

⑴〃=2RsinA力=2RsinB,c=2RsinC;

(2)a:b:c-sinA:sinB:sinC;

(3)sinA=MsinB=&inC=^~;

ZKZK