現(xiàn)代控制理論-3

3線(xiàn)性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性

3.1能控性和能觀測(cè)性的概念3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性3.3連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.5連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.6線(xiàn)性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)性標(biāo)準(zhǔn)形3.8傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性的關(guān)系3.9線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測(cè)性的分解1編輯ppt3.1能控性和能觀測(cè)性的概念能控性系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài)，研究是否存在一個(gè)容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)希望的特定狀態(tài)。能觀測(cè)性系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸出，研究可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)。能控性和能觀測(cè)性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)根底性概念，由卡爾曼〔R.E.Kalman〕于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的變化？

y(t)能否反映x(t)的變化？

2編輯ppt3.1能控性和能觀測(cè)性的概念一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)。圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i，輸出端開(kāi)路。取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量。v1是能控的v2是不能控的V2是能觀測(cè)的v1是不能觀測(cè)的3編輯ppt3.1能控性和能觀測(cè)性的概念在最優(yōu)控制問(wèn)題中，其任務(wù)是尋求輸入u(t)使?fàn)顟B(tài)軌跡達(dá)到最優(yōu)，那么要求狀態(tài)能控。但狀態(tài)x(t)的值通常是難以直接測(cè)量的，往往需要從測(cè)得的輸出y(t)中估計(jì)出來(lái)。4編輯ppt3.1能控性和能觀測(cè)性的概念例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性解將其表示為標(biāo)量方程組的形式說(shuō)明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測(cè)的。輸入u不能控制狀態(tài)變量x1，故x1是不能控的輸出y不能反映狀態(tài)變量x2，故x2是不能觀測(cè)的5編輯ppt3.1能控性和能觀測(cè)性的概念例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性解將其表示為標(biāo)量方程組的形式實(shí)際上，系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的，也不是完全能觀測(cè)的。

所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測(cè)的？6編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，那么稱(chēng)初始狀態(tài)x(t0)是能控的。假設(shè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，那么稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)是能控的。狀態(tài)平面中點(diǎn)P能在u(t)作用下被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài)P1,P2,???,Pn，那么點(diǎn)P是能控的狀態(tài)。假設(shè)“能控狀態(tài)〞充滿(mǎn)整個(gè)狀態(tài)空間,那么該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。由此可看出，系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。3.2.1狀態(tài)能控性定義定義對(duì)于連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)7編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性能控性和能達(dá)性問(wèn)題

(1)能控性定義：對(duì)于給定連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)假設(shè)存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，即x(tf)＝0，那么稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。(2)能達(dá)性定義：對(duì)于給定連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)假設(shè)存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將狀態(tài)x(t)從原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到任一指定的終端〔目標(biāo)〕狀態(tài)x(tf)，那么稱(chēng)系統(tǒng)是能達(dá)的。對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是完全等價(jià)的。

分析狀態(tài)能控性問(wèn)題時(shí)Σ(A,B)

簡(jiǎn)記為8編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性3.2.2狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)那么定理3.1對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,B)，其狀態(tài)完全能控的充分條件時(shí)由A，B陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣

滿(mǎn)秩，即證明(1)能控性判別準(zhǔn)那么一因?yàn)楦鶕?jù)能控性定義，在終態(tài)時(shí)刻t1，有x(t1)=0所以9編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性對(duì)于任意給定的x(0)，能夠唯一解出bi〔或u〕的條件是：滿(mǎn)秩，即10編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性例試判別如下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。解構(gòu)造能控性判別矩陣這是一個(gè)奇異陣，即所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，即系統(tǒng)狀態(tài)不能控。解系統(tǒng)的能控性判別矩陣為所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。例試判別如下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。因?yàn)?，所?1編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性解該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為因?yàn)閞ank[Qc]

=1<n，所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)是由兩個(gè)結(jié)構(gòu)上完全相同，且又不是相互獨(dú)立的一階系統(tǒng)組成的。顯然，只有在其初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)相同的條件下，才存在某一u(t)，將x1(t0)和x2(t0)在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。否那么是不可能的。例試判別連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。12編輯ppt而|Qc|≠0表示矩陣Qc=[b

Ab…An-1b]有且僅有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列，也就是Qc的秩為n，即必須是非奇異矩陣，換句話(huà)說(shuō)，矩陣Qc的逆存在，即3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性推論對(duì)于單輸入情況，假設(shè)可求得到相應(yīng)的控制作用u，使?fàn)顟B(tài)變量從任意x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，那么矩陣因此，可以把|Qc|≠0作為單輸入情況下的能控性判據(jù)。對(duì)于多輸入情況，Qc不是方陣，不能用此結(jié)論。但有因此，可以把|QcQcT|≠0作為多輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)。13編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性例試判別三階雙輸入系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。觀察Qc第一行和第三行完全相同，顯見(jiàn)所以該系統(tǒng)是不能控的。解首先構(gòu)造能控性判別矩陣容易得到14編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性線(xiàn)性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性通過(guò)線(xiàn)性變換把矩陣A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)判別系統(tǒng)的能控性。證明系統(tǒng)Σ(A,B)的能控性判斷陣為系統(tǒng)的能控性判斷陣為因是P-1滿(mǎn)秩的，所以的秩與Qc的秩相同。(2)能控性判別準(zhǔn)那么二15編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性定理3.2假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有互異的特征值，那么其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是經(jīng)線(xiàn)性變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形陣中不包含元素全為零的行。定理3.3假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有互異的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線(xiàn)性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的i的最后一行的元素不全為零。其中16編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性例試判別以下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。解

A陣具有互不相同的特征值。系統(tǒng)(I)和(III)是能控的。

其特征值相同，盡管b陣的元素不為零，但系統(tǒng)狀態(tài)不能控。注意：特征值互不相同條件。某些具有重特征值的矩陣，也能化成對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)形。因?yàn)閞ank[Qc]

=1<n17編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。解系統(tǒng)(I)和(III)是狀態(tài)完全能控的，而系統(tǒng)(II)和(IV)因?qū)?yīng)約當(dāng)小塊最后一行存在元素為零的行，故狀態(tài)不完全能控。注意：特征值互不相同條件第一行與第三行成比例18編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性定理3.3〔附〕假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線(xiàn)性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的i的最后一行線(xiàn)性無(wú)關(guān)。其中例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。J1J2B2B1B1和B2的最后一行成比例，不是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，所以不能控。19編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性具有相同特征值的線(xiàn)性變換舉例特征值為l1=2時(shí)任選l2=1時(shí)任選任選20編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性假設(shè)存在一分段連續(xù)的輸入信號(hào)u(t)，在有限時(shí)間[t0,tf]內(nèi)，能把任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意指定的最終輸出y(tf)，那么稱(chēng)系統(tǒng)輸出是完全能控的。3.2.3輸出能控性定義及判別準(zhǔn)那么輸出的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出定義對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)定理3.4對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件，是21編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性例

試分析系統(tǒng)的輸出能控性和狀態(tài)能控性。解故輸出能控性判別矩陣為說(shuō)明系統(tǒng)是輸出完全能控的。再來(lái)分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性說(shuō)明系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的。狀態(tài)能控性與輸出能控性無(wú)關(guān)22編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性問(wèn)題：能否通過(guò)對(duì)輸出的有限時(shí)間的測(cè)量識(shí)別出系統(tǒng)的狀態(tài)

定義設(shè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是如果對(duì)任意給定的輸入u，存在一有限觀測(cè)時(shí)間tf>t0，使得根據(jù)[t0,tf]期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x(t0)，那么稱(chēng)狀態(tài)x(t0)是能觀測(cè)的。假設(shè)系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測(cè)的，那么稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱(chēng)能觀測(cè)的。簡(jiǎn)記為

Σ(A,C)②如果m＝n，且C非奇異，則：，顯然這不需要觀測(cè)時(shí)間。但是一般m<n。為了能唯一求出n個(gè)狀態(tài)變量，需要多個(gè)時(shí)刻輸出的測(cè)量值：y(t0)，y(t1)，???，y(tf)。因此需要定義觀測(cè)時(shí)間tf>t0。簡(jiǎn)要說(shuō)明①因?yàn)槟苡^測(cè)性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u＝0。3.3.1線(xiàn)性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性的定義23編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性定理3.5n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,C)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)判別矩陣3.3.2能觀測(cè)性判別準(zhǔn)那么同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)滿(mǎn)秩，即rank[Qo]

=n或(1)能觀測(cè)性判別準(zhǔn)那么一24編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性證明對(duì)于任意給定的x(0)，有由上式，根據(jù)得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是滿(mǎn)秩，即rank[Qo]

=n25編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性例試判別連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性。解構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣因?yàn)閞ank[Qo]＝2=n，所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。26編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性例試判別系統(tǒng)的能觀測(cè)性。解構(gòu)成的能觀測(cè)性判別矩陣 rank[Qo]=1<n是奇異陣，所以系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測(cè)的。從輸出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通過(guò)對(duì)y的觀測(cè)獲得x1和x2的信息，但是系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測(cè)的。從該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖看，這是一個(gè)由兩個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的一階系統(tǒng)并聯(lián)起來(lái)的系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)x10=–x20，由它們所激勵(lì)的系統(tǒng)輸出為顯然，對(duì)于這種情況，系統(tǒng)的初始狀態(tài)x10和x20是不能觀測(cè)的。

27編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性推論對(duì)單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測(cè)的充分必要條件為Qo是非奇異矩陣。換句話(huà)說(shuō)|Qo|≠0是系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件。|Qo|≠0表示了矩陣Qo有且僅有n個(gè)行向量是線(xiàn)性獨(dú)立的，即rank[Qo]=n。對(duì)于多輸出系統(tǒng)，Qo是nm×n陣不是方陣，但有如下關(guān)系：因此，可把作為多輸出系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)。rank[Qo]=rank[QToQo]|QToQo|≠028編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性。顯然，系統(tǒng)(I)是能觀測(cè)的，系統(tǒng)(II)是不能觀測(cè)的。

(2)能觀測(cè)判別準(zhǔn)那么二定理3.6若n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,C)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線(xiàn)性非奇異變換后的對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)形陣中不含有元素全為零的列。29編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性其中與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的i的首列的元素不全為零。例試判斷下面兩個(gè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性。解根據(jù)上述定理，(I)是能觀測(cè)的，(II)是不能觀測(cè)的。定理3.7若n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,C)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是經(jīng)線(xiàn)性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型30編輯ppt定理3.7〔附〕假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是經(jīng)線(xiàn)性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性。J1J2C2C1C1和C2的首列成比例，不是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，所以不能觀測(cè)。3.3 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對(duì)應(yīng)的的首列線(xiàn)性無(wú)關(guān)。31編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.4.1能控性定義與判據(jù)若存在控制序列{u(0),u(1),???,u(l-1)}（l≤n）能將某個(gè)初始狀態(tài)x(0)在第l步上到達(dá)零狀態(tài)，即x(l)=0，則稱(chēng)初始狀態(tài)x(0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。(1)能控性定義定義對(duì)于n階離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)例設(shè)離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析能否找到控制作用u(0),u(1),u(2),將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。32編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性解利用遞推方法為檢驗(yàn)系統(tǒng)能否在第一步使x(0)轉(zhuǎn)移到零，對(duì)上式令x(1)=0，倘假設(shè)能夠解出u(0)，那么表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，那么有計(jì)算說(shuō)明對(duì)該系統(tǒng)假設(shè)取u(0)=-3，那么能將x0=[211]T在第一步轉(zhuǎn)移到零。33編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性例假設(shè)上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為解由遞推公式，有顯然，對(duì)于上式假設(shè)令x(1)=0，解不出u(0)，這說(shuō)明對(duì)于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。能否找到控制序列，將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。34編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性假設(shè)令x(2)=0，仍無(wú)法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。假設(shè)令x(3)=0，上式是一個(gè)含有三個(gè)未知量的線(xiàn)性齊次方程，有唯一解：35編輯ppt(2)能控性判別準(zhǔn)那么3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣滿(mǎn)秩。即解構(gòu)造能控性判別矩陣顯然rank[Qc]＝1<n，所以系統(tǒng)是不能控的。例試判別系統(tǒng)能控性。離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的G、h為定理3.8對(duì)于n階離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)36編輯ppt從前三列可以看出rank[Qc]=3所以系統(tǒng)是能控的。3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性解 首先計(jì)算 于是需要指出，多輸入系統(tǒng)能控判別矩陣是一個(gè)n×nr階矩陣。有時(shí)并不需要對(duì)整個(gè)Qc陣檢驗(yàn)其秩，只需要從Qc陣中構(gòu)成一個(gè)n×n陣檢驗(yàn)其秩，就可用于判斷狀態(tài)能控性。例試判別系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。設(shè)離散系統(tǒng)G、H為37編輯ppt假設(shè)能夠根據(jù)在有限個(gè)采樣瞬間上測(cè)量到的y(k)，即y(0)，y(1)，…，y(l–1)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x(0)=x0，那么稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱(chēng)是能觀測(cè)的。定義對(duì)于n階離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是能觀測(cè)性判別矩陣的秩為n，即rank[Qo]=n定理3.9對(duì)于n階離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)3.4.2能觀測(cè)性定義與判據(jù)(1)能觀測(cè)性定義(2)能觀測(cè)性判別準(zhǔn)那么38編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性例設(shè)離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的G、C為解該系統(tǒng)能觀測(cè)性判別矩陣為所以rank[Qo]=3，故該系統(tǒng)狀態(tài)是能觀測(cè)的。試判別其狀態(tài)能觀測(cè)性。取前三行39編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性顯然，該連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是能控且能觀測(cè)的。3.4.3采樣周期對(duì)離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的影響一個(gè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測(cè)性是否發(fā)生改變？例設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為解其能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣分別為試確定使離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)能控、能觀測(cè)的采樣周期。40編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性取采樣周期為T(mén)，將上述系統(tǒng)離散化，因于是離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性判別矩陣41編輯ppt3.4離散時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性若則有則離散化后的系統(tǒng)ΣT(G,H,C)也必不能控(不能觀測(cè))①若系統(tǒng)Σ(A,B,C)不能控(不能觀測(cè))②則離散化后的系統(tǒng)ΣT(G,H,C)不一定能控(能觀測(cè))，與T有關(guān)若系統(tǒng)Σ(A,B,C)能控(能觀測(cè))說(shuō)明假設(shè)欲使離散時(shí)間系統(tǒng)是能控及能觀測(cè)的，采樣周期應(yīng)滿(mǎn)足42編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性3.5.1能控性定義與判別準(zhǔn)那么對(duì)于初始時(shí)刻t0的某給定初始狀態(tài)x(t0)=x0，存在另一個(gè)有限時(shí)刻tf，tf>t0和定義在時(shí)間區(qū)間[t0,tf]上容許控制u，使得系統(tǒng)在這個(gè)控制作用下，從x0出發(fā)的軌線(xiàn)在tf時(shí)刻到達(dá)零狀態(tài)即x(tf)=0，那么稱(chēng)x0在t0時(shí)刻是系統(tǒng)的一個(gè)能控狀態(tài)。如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時(shí)刻都是能控的，那么稱(chēng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的。(1)能控性定義定義假設(shè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)可以看出，時(shí)變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義根本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時(shí)變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時(shí)刻t0的選取有關(guān)，所以時(shí)變系統(tǒng)的能控性與所選擇的初始時(shí)刻t0有關(guān)。43編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使定理3.10對(duì)n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t)和B(t)對(duì)t為(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣：(2)能控性判別準(zhǔn)那么44編輯ppt對(duì)于初始時(shí)刻t0，存在另一時(shí)刻tf>t0,使得根據(jù)時(shí)間區(qū)間[t0,tf]上輸出y(t)的測(cè)量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，那么稱(chēng)x0為在t0時(shí)刻能觀測(cè)狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)在t0時(shí)刻的所有狀態(tài)都是能觀測(cè)的，那么稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是能觀測(cè)的。3.5連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性那么稱(chēng)x0為t0時(shí)刻不能觀測(cè)的狀態(tài)，系統(tǒng)在t0時(shí)刻是不能觀測(cè)的。(1)能觀測(cè)性定義定義對(duì)于連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)3.5.2能觀測(cè)性定義與判據(jù)反之，如果在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，所引起的系統(tǒng)輸出y(t)恒等于零，即45編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能觀測(cè)的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使定理3.11對(duì)于n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t)和C(t)對(duì)t(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣(2)能觀測(cè)性判別準(zhǔn)那么46編輯ppt3.6線(xiàn)性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系一個(gè)系統(tǒng)的能觀測(cè)性等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的能控性

一個(gè)系統(tǒng)的能控性

等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性定義對(duì)于定常系統(tǒng)Σ1和Σ2其狀態(tài)空間描述分別為那么稱(chēng)系統(tǒng)Σ1和Σ2是互為對(duì)偶的。其中，x與x*為n維狀態(tài)向量，u為r維，y為m維，u*為m維，y*為r維。假設(shè)系統(tǒng)Σ1和Σ2滿(mǎn)足以下關(guān)系3.6.1對(duì)偶系統(tǒng)47編輯ppt系統(tǒng)Σ1的傳遞函數(shù)陣為m×r矩陣：3.6線(xiàn)性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶系統(tǒng)的示意圖對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程相同：系統(tǒng)Σ2的傳遞函數(shù)陣為：對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置48編輯ppt定理3.12設(shè)Σ1(A,B,C)和Σ2(A*,B*,C*)是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，那么Σ1的能控性等價(jià)于Σ2的能觀測(cè)性；Σ1的能觀測(cè)性等價(jià)于Σ2的能控性。3.6線(xiàn)性系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系而系統(tǒng)Σ2的能觀測(cè)性判別矩陣為是完全相同的。同理Σ1的能觀測(cè)性判別矩陣為而系統(tǒng)Σ2的能控性判別矩陣為也是完全相同的。3.6.2對(duì)偶定理證明系統(tǒng)Σ1的能控性判別矩陣為49編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形假設(shè)n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,B)是完全能控的，那么對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)，把(A,B)和(A,C)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以有多種不同的方法。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，其能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣只有唯一的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量。因此，當(dāng)(A,B)表為能控標(biāo)準(zhǔn)形和(A,C)表為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其表示方法是唯一的。所以?xún)H討論單輸入單輸出系統(tǒng)。

這說(shuō)明，能控性矩陣中有且僅有n個(gè)列向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。如果取這些線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量以某種線(xiàn)性組合，便可導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形。能觀測(cè)問(wèn)題同樣。3.7.1問(wèn)題的提法50編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形3.7.2能控標(biāo)準(zhǔn)形定理3.13假設(shè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常單輸入單輸出系統(tǒng)Σ(A,b,c)是狀態(tài)完全能控的，那么使系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣為其中，ai為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。通過(guò)線(xiàn)性變換得能控標(biāo)準(zhǔn)形Σ(Ac,bc,cc)：51編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形利用和，可得據(jù)凱萊-哈密頓定理有據(jù)此，可導(dǎo)出證明〔1〕推證Ac52編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形于是，有將上式左乘，就可證得Ac。53編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形(2)推證bc由，有，即將上式左乘，就可證得bc。(3)推證cc由，有展開(kāi)即可。54編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形由能控標(biāo)準(zhǔn)形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)55編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形例試將如下?tīng)顟B(tài)空間描述變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。解先判別其能控性rank[Qc]=3，所以系統(tǒng)是能控的。再計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式則a1=0，a2=–9，a3=256編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形(Ao,bo,co)：定理3.14假設(shè)n階線(xiàn)性定常單輸入單輸出系統(tǒng)Σ(A,b,c)是能觀測(cè)的，那么存在線(xiàn)性變換其中是特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)。3.7.3能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形57編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形那么a1=0，a2=–9，a3=2解首先構(gòu)造能觀測(cè)性判別矩陣因rank[Qo]=3，所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。系統(tǒng)的特征式為例試將如下?tīng)顟B(tài)空間描述變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。

=58編輯ppt顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測(cè)的。從傳遞函數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系例3-26試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。解定義

于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測(cè)性判別矩陣Qo分別為以下只討論單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間的關(guān)系。59編輯ppt證明假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為Σ(A,b,c)，利用線(xiàn)性變換可將矩陣A對(duì)角化，得到等價(jià)系統(tǒng)為3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系

定理3.15假設(shè)線(xiàn)性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點(diǎn)對(duì)消，那么系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測(cè)的，其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān)，反之，假設(shè)系統(tǒng)中沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，那么該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測(cè)的。由于是對(duì)角陣，第i個(gè)狀態(tài)方程是兩邊取Laplace變換，得

60編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系將代入，則對(duì)特征值相異的n階系統(tǒng)，假定傳遞函數(shù)形式是展成部分分式si為Y(s)/U(s)在s=li處留數(shù)狀態(tài)能控要求≠0，能觀測(cè)要求≠0

一個(gè)即能控又能觀測(cè)的系統(tǒng)要求si≠0

61編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系解組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為由G(s)可以看出，當(dāng)b=l2時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測(cè)的。

為了分析這個(gè)不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖：

例設(shè)有一個(gè)由前后兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)組成的組合系統(tǒng)：G1(s)G2(s)試判斷串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。62編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系當(dāng)b=l2時(shí)〔即G(s)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消〕那么該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測(cè)的。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為63編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系例如果將上例系統(tǒng)中兩個(gè)子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。顯見(jiàn)，當(dāng)b=l2時(shí)rank[Qo]=1<2，系統(tǒng)是能控但不能觀測(cè)的。其能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為64編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系從上面討論可知，由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性時(shí)，假設(shè)有零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)是能控不能觀測(cè)，還是能觀測(cè)而不能控，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。假設(shè)被消去的零點(diǎn)與u發(fā)生聯(lián)系那么系統(tǒng)為不能控的；假設(shè)被消去的零點(diǎn)與輸出y發(fā)生聯(lián)系那么系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。進(jìn)一步，假設(shè)該零點(diǎn)既與輸入u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出y發(fā)生聯(lián)系，那么該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測(cè)的。狀態(tài)變量圖

串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù)考慮系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖

Gr(s)

Gp(s)

系統(tǒng)穩(wěn)定65編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對(duì)消與狀態(tài)能控和能觀測(cè)之間關(guān)系因此（不能控），（能觀測(cè)）該系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判別矩陣為建立狀態(tài)空間描述說(shuō)明系統(tǒng)有一極點(diǎn)在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。考察該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式66編輯ppt3.9線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解能控且能觀測(cè)子系統(tǒng)不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)線(xiàn)性變換能控但不能觀測(cè)子系統(tǒng)不能控但能觀測(cè)子系統(tǒng)不能控且不能觀測(cè)子系統(tǒng)則存在線(xiàn)性變換，可將Σ(A,B,C)變換為定理3.16假設(shè)n階連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)Σ(A,B,C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為3.9.1系統(tǒng)按能控性分解67編輯ppt3.9線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測(cè)性的分解其中nc維子系統(tǒng)是能控的，而(n-nc)維子系統(tǒng)是不能控的。

非奇異變換陣