新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊-第四章-數(shù)列-知識點考點解題方法提煉匯總

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念 -1-第1課時數(shù)列的概念及簡單表示法 -1-第2課時數(shù)列的遞推公式與an和Sn的關(guān)系 -7-4.2等差數(shù)列 -15-4.2.1等差數(shù)列的概念 -15-4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式 -26-4.3等比數(shù)列 -38-4.3.1等比數(shù)列的概念 -38-4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式 -48-4.4*數(shù)學(xué)歸納法 -59-4.1數(shù)列的概念第1課時數(shù)列的概念及簡單表示法1．?dāng)?shù)列的概念及一般形式(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性．2．?dāng)?shù)列的分類類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．4．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式數(shù)列的通項公式值域自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法數(shù)列的概念與分類【例1】(1)下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(21)(2)(一題多空)已知下列數(shù)列：①2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；③1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(－1n－1·n,2n－1)，…；④1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________(填序號)．(1)C[ABC為無窮數(shù)列，其中A是遞減數(shù)列，B是擺動數(shù)列，C是遞增數(shù)列，故選C.](2)①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．]1．有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項還是無限項．若數(shù)列是有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列．2．?dāng)?shù)列{an}的單調(diào)性：若滿足an＜an＋1，則{an}是遞增數(shù)列；若滿足an＞an＋1，則{an}是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1，則{an}是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定，則{an}是擺動數(shù)列．由數(shù)列的前幾項求通項公式【例2】已知數(shù)列的前幾項，寫出下面數(shù)列的一個通項公式．(1)1，3，7，15，31，…；(2)4，44，444，4444，…；(3)－1eq\f(1,4)，3eq\f(2,9)，－5eq\f(3,16)，7eq\f(4,25)，－9eq\f(5,36)，…；(4)2，－eq\f(4,5)，eq\f(1,2)，－eq\f(4,11)，eq\f(2,7)，－eq\f(4,17)，…；(5)1，2，1，2，1，2，….[思路探究]觀察數(shù)列前后項之間的規(guī)律，規(guī)律不明顯的需將個別項進行調(diào)整，再看是否與對應(yīng)的序號有規(guī)律的聯(lián)系．[解](1)觀察發(fā)現(xiàn)各項分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?，4，8，16，32，…，新數(shù)列的通項為2n，故原數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.(2)各項乘eq\f(9,4)，變?yōu)?，99，999，…，各項加上1后，數(shù)列變?yōu)?0，100，1000，…，新數(shù)列的通項為10n，故原數(shù)列的通項公式為an＝eq\f(4,9)(10n－1)．(3)所給數(shù)列有這樣幾個特點：①符號正、負相間；②整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；③分數(shù)部分的分母為從2開始的自然數(shù)的平方；④分數(shù)部分的分子依次大1.綜合這些特點寫出表達式，再化簡即可．由所給的幾項可得數(shù)列的通項公式為an＝(－1)neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n－1＋\f(n,n＋12)))，所以an＝(－1)neq\f(2n3＋3n2＋n－1,n＋12).(4)數(shù)列的符號規(guī)律是正、負相間，使各項分子為4，數(shù)列變?yōu)閑q\f(4,2)，－eq\f(4,5)，eq\f(4,8)，－eq\f(4,11)，…，再把各分母分別加上1，數(shù)列又變?yōu)閑q\f(4,3)，－eq\f(4,6)，eq\f(4,9)，－eq\f(4,12)，…，所以an＝eq\f(4×－1n＋1,3n－1).(5)法一：可寫成分段函數(shù)形式：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n為奇數(shù)，n∈N*，,2，n為偶數(shù)，n∈N*.))法二：an＝eq\f(1＋2＋－1n＋11－2,2)＝eq\f(3＋－1n＋1－1,2)即an＝eq\f(3,2)＋eq\f(－1n,2).1．常見數(shù)列的通項公式歸納(1)數(shù)列1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n；(2)數(shù)列1，3，5，7，…的一個通項公式為an＝2n－1；(3)數(shù)列2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n；(4)數(shù)列1，2，4，8，…的一個通項公式為an＝2n－1；(5)數(shù)列1，4，9，16，…的一個通項公式為an＝n2；(6)數(shù)列－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n；(7)數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…的一個通項公式為an＝eq\f(1,n).2．復(fù)雜數(shù)列的通項公式的歸納方法①考察各項的結(jié)構(gòu)；②觀察各項中的“變”與“不變”；③觀察“變”的規(guī)律是什么；④每項符號的變化規(guī)律如何；⑤得出通項公式．通項公式的應(yīng)用[探究問題]1．根據(jù)通項公式如何求數(shù)列中的第幾項？怎么確定某項是否是數(shù)列的項？若是，是第幾項？[提示]根據(jù)an，求第幾項，采用的是代入法，如第5項就是令n＝5，求a5.判斷某項是否是數(shù)列中的項，就是解方程．令an等于該項，解得n∈N*即是，否則不是．2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點？試利用圖象說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項．[提示]由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項．【例3】已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項；(2)－49是否是該數(shù)列的一項？如果是，應(yīng)是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？[思路探究](1)將n＝4，n＝6分別代入an求出數(shù)值即可；(2)令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否為正整數(shù)并判斷．[解](1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，所以－49是該數(shù)列的第7項；令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項．1．(變結(jié)論)若本例中的條件不變，(1)試寫出該數(shù)列的第3項和第8項；(2)20是不是該數(shù)列的一項？若是，是哪一項？[解](1)因為an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq\f(2,3)(舍去)，所以20是該數(shù)列的第10項．2．(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an＝3n2－28n”變?yōu)椤癮n＝n2＋2n－5”，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．[解]∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對n進行取值，然后代入通項公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值．2．判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項．3．在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})這一約束條件．第2課時數(shù)列的遞推公式與an和Sn的關(guān)系1．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)兩個條件：①已知數(shù)列的第1項(或前幾項)；②從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示．(2)結(jié)論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數(shù)列的遞推公式．2．?dāng)?shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系遞推公式通項公式區(qū)別表示an與它的前一項an－1(或前幾項)之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式3．?dāng)?shù)列{an}的前n項和(1)數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式．(3)數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關(guān)系為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))由遞推公式求數(shù)列中的項【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出．(1)寫出此數(shù)列的前5項；(2)通過公式bn＝eq\f(an,an＋1)構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn}，寫出數(shù)列{bn}的前4項．[解](1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故數(shù)列{an}的前5項依次為a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝eq\f(an,an＋1)，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(a3,a4)＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(a4,a5)＝eq\f(5,8).故{bn}的前4項依次為b1＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(5,8).由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法1根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計算即可.2若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如an＝2an＋1＋1.3若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如an＋1＝eq\f(an－1,2).數(shù)列的單調(diào)性【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)(n∈N*)，試問數(shù)列{an}是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由．[思路探究]判斷數(shù)列的單調(diào)性，尋求數(shù)列最大項，或假設(shè)an是數(shù)列的最大項，解不等式．[解]法一：作差比較an＋1與an的大小，判斷{an}的單調(diào)性．a(chǎn)n＋1－an＝(n＋3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n＋1)－(n＋2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)×eq\f(5－n,8).當(dāng)n＜5時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝5時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞5時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以數(shù)列{an}有最大項，且最大項為a5或a6，且a5＝a6＝eq\f(76,85).法二：作商比較an＋1與an的大小，判斷{an}的單調(diào)性．eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n＋1),n＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n))＝eq\f(7n＋3,8n＋2).又an＞0，令eq\f(an＋1,an)＞1，解得n＜5；令eq\f(an＋1,an)＝1，解得n＝5；令eq\f(an＋1,an)＜1，解得n＞5.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以數(shù)列{an}有最大項，且最大項為a5或a6，且a5＝a6＝eq\f(76,85).法三：假設(shè){an}中有最大項，且最大項為第n項，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)≥n＋1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n－1)，,n＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)≥n＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n＋1)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤6，,n≥5，))即5≤n≤6.故數(shù)列{an}有最大項a5或a6，且a5＝a6＝eq\f(76,85).求數(shù)列{an}的最大小項的方法一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調(diào)性，以此求解最大項.二是設(shè)ak是最大項，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1，))對任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式組即可.利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通項【例3】根據(jù)下列數(shù)列的前n項和Sn求通項an.(1)Sn＝2n2－n＋1；(2)Sn＝2·3n－2.[思路探究]先寫出n≥2時，an＝Sn－Sn－1表達式，再求出n＝1時a1＝S1，驗證是否適合n≥2時表達式．如果適合則an＝Sn－Sn－1(n∈N*)，否則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))[解](1)由Sn＝2n2－n＋1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]＝4n－3.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2≠4×1－3.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,4n－3，n≥2.))(2)由Sn＝2·3n－2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n－1－2)＝4·3n－1.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，∴an＝4·3n－1(n∈N*)．用an與Sn的關(guān)系求an的步驟1先確定n≥2時an＝Sn－Sn－1的表達式；2再利用Sn求出a1a1＝S1；3驗證a1的值是否適合an＝Sn－Sn－1的表達式；4寫出數(shù)列的通項公式.根據(jù)遞推公式求通項[探究問題]1．某劇場有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，滿足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能歸納出數(shù)列{an}的通項公式嗎？[提示]由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各項歸納可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N*，n≤30)．2．對于任意數(shù)列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立嗎？若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通項an嗎？[提示]等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1.3．若數(shù)列{an}中的各項均不為0，等式a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an成立嗎？若數(shù)列{an}滿足：a1＝3，eq\f(an＋1,an)＝2，則它的通項an是什么？[提示]等式a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an成立．按照eq\f(an＋1,an)＝2可得eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2，eq\f(a4,a3)＝2，…，eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)，將這些式子兩邊分別相乘可得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝2·2·…·2.則eq\f(an,a1)＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N*)．【例4】(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，n∈N*，求通項公式an；(2)設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))an－1(n≥2)，求通項公式an.[思路探究](1)先將an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)變形為an＋1－an＝eq\f(1,nn＋1)，照此遞推關(guān)系寫出前n項中任意相鄰兩項間的關(guān)系，這些式子兩邊分別相加即可求解．(2)先將an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))an－1(n≥2)變形為eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)，按此遞推關(guān)系，寫出所有前后兩項滿足的關(guān)系，兩邊分別相乘即可求解．[解](1)∵an＋1－an＝eq\f(1,nn＋1)，∴a2－a1＝eq\f(1,1×2)；a3－a2＝eq\f(1,2×3)；a4－a3＝eq\f(1,3×4)；…an－an－1＝eq\f(1,n－1n).以上各式累加得，an－a1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1－eq\f(1,n).∴an＋1＝1－eq\f(1,n)，∴an＝－eq\f(1,n)(n≥2)．又∵n＝1時，a1＝－1，符合上式，∴an＝－eq\f(1,n)(n∈N*)．(2)∵a1＝1，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))an－1(n≥2)，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)，an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×eq\f(an－2,an－3)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×eq\f(n－3,n－2)×…×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,n).又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，∴an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．1．(變條件)將例題(1)中的條件“a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，n∈N*”變?yōu)椤癮1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，求數(shù)列{an}的通項公式．[解]∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋＝n＋1.∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1時，a1＝eq\f(1,2)，符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n∈N*).2．(變條件)將例題(2)中的條件“a1＝1，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))an－1(n≥2)”變?yōu)椤癮1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”寫出數(shù)列的前5項，猜想an并加以證明．[解]由a1＝2，an＋1＝3an，得：a2＝3a1＝3×2，a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：an＝2×3n－1，證明如下：由an＋1＝3an得eq\f(an＋1,an)＝3.因此可得eq\f(a2,a1)＝3，eq\f(a3,a2)＝3，eq\f(a4,a3)＝3，…，eq\f(an,an－1)＝3.將上面的n－1個式子相乘可得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝3n－1.即eq\f(an,a1)＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋fn或an＋1＝gn·an，則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：1累加法：當(dāng)an＝an－1＋fn時，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1求通項公式；2累乘法：eq\f(an,an－1)當(dāng)＝gn時，常用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1求通項公式.4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及簡單表示1．等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2．等差中項(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.3．等差數(shù)列的通項公式以a1為首項，d為公差的等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d.4．從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.等差數(shù)列的通項公式【例1】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解]法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.等差數(shù)列通項公式的妙用1等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋n－1d中含有四個量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三個量，就可以由通項公式求出第四個量，這一求未知量的過程我們通常稱之為“知三求一”.2從函數(shù)的角度看等差數(shù)列的通項公式.由等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋n－1d可得an＝dn＋a1－d，當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù).3由兩點確定一條直線的性質(zhì)可以得出，等差數(shù)列的任意兩項可以確定這個等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列的通項公式，可以寫出數(shù)列中的任意一項.等差中項的應(yīng)用【例2】(1)已知m和2n的等差中項是8，2m和n的等差中項是10，則m和n的等差中項是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差數(shù)列．[思路探究](1)eq\x(列方程組)→eq\x(求解m，n)→eq\x(求m，n的等差中項)(2)(1)6[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[證明]∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．等差中項應(yīng)用策略1求兩個數(shù)x，y的等差中項，即根據(jù)等差中項的定義得A＝eq\f(x＋y,2).2證三項成等差數(shù)列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列.等差數(shù)列的判定與證明[探究問題]1．在數(shù)列{an}中，若an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2且n∈N*)，則{an}是等差數(shù)列嗎？為什么？[提示]由等差數(shù)列的定義可知滿足an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)是等差數(shù)列．2．在數(shù)列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，則{an}是等差數(shù)列嗎？為什么？[提示]是，由等差中項的定義可知．3．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么{an＋an＋2}是等差數(shù)列嗎？若是，公差是多少？[提示]∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差為2d的等差數(shù)列．【例3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.[解](1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，∴an＝eq\f(2,n).1．(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)試證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[解](1)證明：bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∵bn＝eq\f(1,an－2)，∴an＝eq\f(1,bn)＋2＝eq\f(2,n)＋2.∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(2,n)＋2.2．(變條件)將本例中條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換成“a1＝eq\f(1,5)，n≥2時有eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)(n＞1，n∈N*)”，結(jié)論如何？[解](1)證法一：eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)(n＞1，n∈N*)∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，即an－1＝an(4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，∴an＝eq\f(an－1,4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(4an－1＋1,an－1)＝4＋eq\f(1,an－1)(n＞1，n∈N*)，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4(n＞1，n∈N*)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列且公差為4，首項為5.證法二：當(dāng)n＞1，n∈N*時，eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)?eq\f(1－2an,an)＝eq\f(2an－1＋1,an－1)?eq\f(1,an)－2＝2＋eq\f(1,an－1)?eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4，且eq\f(1,a1)＝5.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為4，首項為5.(2)由(1)及等差數(shù)列的通項公式得eq\f(1,an)＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝eq\f(1,4n＋1).等差數(shù)列的三種判定方法1定義法：an＋1－an＝d常數(shù)n∈N*?{an}為等差數(shù)列；2等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*?{an}為等差數(shù)列；3通項公式法：an＝an＋ba，b是常數(shù)，n∈N*?{an}為等差數(shù)列.但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法.第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)1．等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時，an是一個固定常數(shù)；當(dāng)d≠0時，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點．2．等差數(shù)列的性質(zhì)(1){an}是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am＋an＝2ak.②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列．(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為2d的等差數(shù)列．(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列．(5){an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列．靈活設(shè)元解等差數(shù)列【例1】已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項和為18，前三項的乘積為66，求數(shù)列的通項公式，并判斷－34是否為該數(shù)列的項．[思路探究]前三項可以設(shè)為a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解決．[解]法一：設(shè)該等差數(shù)列的前三項為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18.解得a＝6.又前三項的乘積為66.∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于該數(shù)列單調(diào)遞減，所以d＝－5，且首項為11，所以通項公式為an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10.∴－34是數(shù)列{an}的第10項．法二：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1·a2·a3＝66，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1·a1＋d·a1＋2d＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5.))∵數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，∴d＜0.故a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，即等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是數(shù)列{an}的第10項．等差數(shù)列的設(shè)項方法與技巧1當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項、公差有關(guān)的內(nèi)容時，可直接設(shè)首項為a1，公差為d，利用已知條件建立方程求出a1和d，即可確定數(shù)列.2當(dāng)已知數(shù)列有2n項時，可設(shè)為a－2n－1d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋2n－1d，此時公差為2d.3當(dāng)已知數(shù)列有2n＋1項時，可設(shè)為a－nd，a－n－1d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋n－1d，a＋nd，此時公差為d.等差數(shù)列的實際應(yīng)用【例2】某公司2017年生產(chǎn)一種數(shù)碼產(chǎn)品，獲利200萬元，從2018年起，預(yù)計其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果該公司不研發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，試計算從哪一年起，該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損？[思路探究]根據(jù)條件可以構(gòu)造等差數(shù)列，由條件可知首項和公差都已知，利用等差數(shù)列解決該問題．[解]記2017年為第1年，由題設(shè)可知第1年獲利200萬元，第2年獲利180萬元，第3年獲利160萬元，……則該公司每年獲得的利潤構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且當(dāng)an＜0時，該公司生產(chǎn)此產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損．設(shè)第n年的利潤為an，因為a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由題意知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，即從第12年起，也就是從2028年開始，該公司生產(chǎn)此產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損．解決等差數(shù)列實際問題的基本步驟1將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)數(shù)列問題；2構(gòu)造等差數(shù)列模型明確首項和公差；3利用通項公式解決等差數(shù)列問題；4將所求出的結(jié)果回歸為實際問題.等差數(shù)列的性質(zhì)[探究問題]1．在等差數(shù)列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4嗎？a2＋a5＝a3＋a4成立嗎？由此你能得到什么結(jié)論？該結(jié)論對任意等差數(shù)列都適用嗎？為什么？[提示]由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4與a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.對于任意等差數(shù)列{an}，設(shè)其公差為d.則am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因為m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq對任意等差數(shù)列都適用．2．在等差數(shù)列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反過來呢？[提示]若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，則am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，顯然成立；在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常數(shù)列．3．已知一個無窮等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則：(1)若將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？(3)如果取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？[提示](1)、(2)、(3)中所得到的數(shù)列都還是等差數(shù)列，其中(1)中的公差為d，(2)中的公差為2d，(3)中的公差為7d.【例3】(1)已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a6＝8，則5a4＋a7＝()A．32B．27C．24D．16(2)若關(guān)于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四個根可組成首項為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|的值是________．[思路探究](1)運用“m＋n＝p＋q則am＋an＝ap＋aq”求解．(2)考慮兩個方程都具備特點“兩根之和是2”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．(1)C(2)eq\f(1,2)[(1)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}公差d，則a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.法二：在等差數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.(2)設(shè)a，b為方程x2－2x＋m＝0的兩根，則a＋b＝2，c，d為方程x2－2x＋n＝0的兩根，則c＋d＝2，而四個根可組成一個首項為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，現(xiàn)假定a＝eq\f(1,4)，則b＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).根據(jù)等差數(shù)列的四項中，第一項與第四項的和等于第二項與第三項的和，∴這個等差數(shù)列的順序為eq\f(1,4)，c，d，eq\f(7,4).則c＝eq\f(3,4)，d＝eq\f(5,4).∴m＝ab＝eq\f(7,16)，n＝cd＝eq\f(15,16).∴|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)－\f(15,16)))＝eq\f(1,2).]1．(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.[解]法一：因為a5，a10，a15成等差數(shù)列，所以a5＋a15＝2a10.所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.法二：因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝eq\f(12,5).所以a15＝a10＋5d＝20＋5×eq\f(12,5)＝32.2．(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.[解]法一：∵在等差數(shù)列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.根據(jù)an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.∴a1＋4d＝90.而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧已知等差數(shù)列的兩項和，求其余幾項和或者求其中某項，對于這樣的問題，在解題過程中通常就要注意考慮利用等差數(shù)列的下列性質(zhì)：1若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，則am＋an＝ap＋aq其中am，an，ap，aq是數(shù)列中的項.該性質(zhì)可推廣為：若m＋n＋z＝p＋q＋km，n，z，p，q，k∈N*，則am＋an＋az＝ap＋aq＋ak.2若m＋n＝2pm，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第1課時等差數(shù)列的前n項和公式1．等差數(shù)列前n項和公式是用倒序相加法推導(dǎo)的．2．等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d3．等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．等差數(shù)列前n項和的有關(guān)計算【例1】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝eq\f(48,5)，求S5.[思路探究](1)由于有兩個已知條件，所以可以通過列方程組求出基本量a1，d來解決問題，也可以運用等差數(shù)列前n項和公式求解；(2)由于只有一個已知條件，需要結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式求解．[解](1)法一：∵a6＝10，S5＝5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.))∴a8＝a6＋2d＝16.法二：∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝eq\f(6a1＋a6,2)，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝eq\f(a6－a1,5)＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝eq\f(48,5)，∴a1＋2d＝eq\f(24,5).∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×eq\f(24,5)＝24.法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝eq\f(48,5)，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5,2)×eq\f(48,5)＝24.求數(shù)列的基本量的基本方法求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進行處理，1“知三求一”：a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，在通項公式和前n項和公式中，都含有四個量，已知其中的三個可求出第四個.2“知三求二”：五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程組求解.等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用【例2】某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？[思路探究]因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程．[解]從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：1抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型.2深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征[探究問題]1．Sn＝An2＋Bn的函數(shù)特征怎樣？[提示](1)當(dāng)A＝0，B＝0時(此時a1＝0，d＝0)，Sn＝0，此時Sn是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)；(2)當(dāng)A＝0，B≠0時eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時a1≠\f(d,2)，d＝0))，Sn＝Bn，此時Sn是關(guān)于n的一次函數(shù)(正比例函數(shù))；(3)當(dāng)A≠0，B＝0時eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時a1＝\f(d,2)，d≠0))，Sn＝An2，此時Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)；(4)當(dāng)A≠0，B≠0時eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時a1≠\f(d,2)，d≠0))，Sn＝An2＋Bn，此時Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)．2．已知一個數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－5n，試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象．你能說明數(shù)列{an}的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項和有最值嗎？[提示]Sn＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,4)，它的圖象是分布在函數(shù)y＝x2－5x的圖象上的離散的點，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了{an}前n項為負數(shù)．由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n＝2或3時，Sn最小，最小值為－6，即數(shù)列{an}前2項或前3項和最?。纠?】數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項公式；(2)則{an}的前多少項和最大？[思路探究](1)利用Sn與an的關(guān)系求通項，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解．[解](1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿足an＝34－2n.故{an}的通項公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對稱軸為x＝eq\f(33,2)，距離eq\f(33,2)最近的整數(shù)為16，17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時，an≥0，當(dāng)n≥18時，an<0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．1．(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n項和Sn的最大值．[解]法一：∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋eq\f(99－1,2)d＝17×25＋eq\f(1717－1,2)d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2n＋1＋27≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，))又∵n∈N*，∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169.法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169.法四：設(shè)Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函數(shù)對稱軸為x＝eq\f(9＋17,2)＝13，且開口方向向下，∴當(dāng)n＝13時，Sn取得最大值169.2．(變結(jié)論)本例中條件不變，令bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.[解]由數(shù)列{an}的通項公式an＝34－2n知，當(dāng)n≤17時，an≥0；當(dāng)n≥18時，an<0.所以當(dāng)n≤17時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當(dāng)n≥18時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))1．在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)值．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負項分界點的方法(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)圖象的對稱軸距離最近的一側(cè)的一個整數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點．3．求解數(shù)列{|an|}的前n項和，應(yīng)先判斷{an}的各項的正負，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題．第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…構(gòu)成等差數(shù)列．(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))．(3)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差數(shù)列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差數(shù)列．(4)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．“片段和”的性質(zhì)【例1】在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.[思路探究](1)可利用方程(組)思想求解．(2)可利用性質(zhì)求解，如看作{an}中，依次取10項的和所得新數(shù)列前11項的和求解．[解]法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×10－1,2)d＝100，,100a1＋\f(100×100－1,2)d＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1099,100)，,d＝－\f(11,50).))∴S110＝110a1＋eq\f(110×110－1,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝－110.法二：∵S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝eq\f(90a11＋a100,2)＝－90，∴a11＋a100＝－2.又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝eq\f(110a1＋a110,2)＝－110.法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，∴設(shè)公差為d，數(shù)列前100項和為10×100＋eq\f(10×9,2)d＝10，解得d＝－22.∴前110項和S110＝11×100＋eq\f(10×11,2)d＝11×100＋10×eq\f(11,2)×(－22)＝－110.法四：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由于Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(d,2)(n－1)．∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，其公差為eq\f(d,2).∴eq\f(S100,100)－eq\f(S10,10)＝(100－10)×eq\f(d,2)，且eq\f(S110,110)－eq\f(S100,100)＝(110－100)×eq\f(d,2).代入已知數(shù)值，消去d，可得S110＝－110.法五：令Sn＝An2＋Bn.由S10＝100，S100＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100A＋10B＝100，,10000A＋100B＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(11,100)，,B＝\f(111,10).))∴S110＝1102A＋110B＝1102×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,100)))＋110×eq\f(111,10)＝－110.方法一屬于通性通法；方法二使用Sn和an之間的關(guān)系；方法三使用前n項和“片段和”的性質(zhì)；方法四使用性質(zhì)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))“也是等差數(shù)列”；方法五利用前n項和可用Sn＝An2＋Bn表示的特點.這五種解法從不同角度應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)，并靈活選用前n項和公式，使問題快速得到解決.裂項相消法求和【例2】等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn為前n項和，求eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn).[思路探究]根據(jù){an}為等差數(shù)列求出其前n項和，根據(jù)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的通項特征，利用裂項相消法求和．[解]∵等差數(shù)列{an}的首項a1＝3，公差d＝2，∴前n項和Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝3n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2n＋1n＋2).裂項相消法求數(shù)列的前n項和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項拆成兩項裂項之差，并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數(shù)幾項外，其余各項都能前后相消，進而求數(shù)列的前n項和.有限項等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及比值問題[探究問題]1．在等差數(shù)列{an}中，如果項數(shù)為2n，那么S偶與S奇之間存在哪些關(guān)系？[提示]∵S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝eq\f(n×2an＋1,2)＝nan＋1，S奇＝eq\f(na1＋a2n－1,2)＝eq\f(n×2an,2)＝nan，∴S偶－S奇＝n(an＋1－an)＝nd.eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).2．在等差數(shù)列{an}中，若項數(shù)有2n＋1項，S奇與S偶具有什么關(guān)系？[提示]∵S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝(n＋1)an＋1，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝nan＋1，∴S奇－S偶＝(n＋1)an＋1－nan＋1＝an＋1，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).3．若數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且前n項和分別是Sn，Tn，那么eq\f(am,bm)怎么用前n項和形式表示？[提示]eq\f(am,bm)＝eq\f(2am,2bm)＝eq\f(\f(2m－1a1＋a2m－1,2),\f(2m－1b1＋b2m－1,2))＝eq\f(S2m－1,T2m－1).【例3】(1)數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，前n項和分別為Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,2n)，則eq\f(a7,b7)＝()A．eq\f(41,26)B．eq\f(23,14)C．eq\f(11,7)D．eq\f(11,6)(2)一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差為________．[思路探究](1)利用eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).(2)利用S偶－S奇＝nd(項數(shù)為2n項時)．(1)A(2)5[(1)因為數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且Sn，Tn分別為它們的前n項和，∴eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(\f(a1＋a13,2)×13,\f(b1＋b13,2)×13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13＋2,2×13)＝eq\f(41,26).(2)法一：根據(jù)題意知，偶數(shù)項的和比奇數(shù)項的和多eq\f(354×32－27,32＋27)，其值為6d，則d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5.法二：設(shè)偶數(shù)項的和為x，奇數(shù)項的和為y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝354，,\f(x,y)＝\f(32,27)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝192，,y＝162.))∴6d＝192－162＝30，∴d＝5.法三：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12a1＋\f(12×11,2)d＝354，①,\f(6a1＋d＋\f(6×5,2)·2d,6a1＋\f(6×5,2)·2d)＝\f(32,27)，②))由①知6a1＝177－33d，將此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5.]1．(變結(jié)論)在本例(1)條件不變的情況下，求eq\f(a10,b3＋b18)＋eq\f(a11,b6＋b15)的值．[解]∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，∴原式＝eq\f(a10＋a11,b10＋b11)＝eq\f(a1＋a20,b1＋b20)＝eq\f(S20,T20)＝eq\f(3×20＋2,2×20)＝eq\f(31,20).2．(變結(jié)論)在本例(1)條件不變時，求eq\f(a7,b9)的值．[解]由條件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2.∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k∴eq\f(a7,b9)＝eq\f(k6×7－1,k4×9－2)＝eq\f(41,34).3．(變條件、變結(jié)論)把本例(1)中條件變?yōu)椤癳q\f(an,bn)＝eq\f(3n＋2,2n)”，求eq\f(S7,T7)的值．[解]eq\f(S7,T7)＝eq\f(\f(7a1＋a7,2),\f(7b1＋b7,2))＝eq\f(a1＋a7,b1＋b7)＝eq\f(2a4,2b4)＝eq\f(a4,b4)＝eq\f(3×4＋2,2×4)＝eq\f(7,4).等差數(shù)列前n項和計算的兩種思維方法1整體思路：利用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)，設(shè)法求出整體a1＋an，再代入求解.2待定系數(shù)法：利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)Sn＝An2＋BnA≠0，列出方程組求出A，B即可，或利用eq\f(Sn,n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)eq\f(Sn,n)＝an＋ba≠0進行計算.4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時等比數(shù)列的概念及簡單表示1．等比數(shù)列的概念文字語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號語言eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0，n∈N*)2.等比中項(1)前提：三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列．(2)結(jié)論：G叫做a，b的等比中項．(3)滿足的關(guān)系式：G2＝ab.3．等比數(shù)列的通項公式一般地，對于等比數(shù)列{an}的第n項an，有公式an＝a1·qn－1.這就是等比數(shù)列{an}的通項公式，其中a1為首項，q為公比．4．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝eq\f(a1,q)·qn，而y＝eq\f(a1,q)·qx(q≠1)是一個不為0的常數(shù)eq\f(a1,q)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,q)·qn))中的各項的點是函數(shù)y＝eq\f(a1,q)·qx的圖象上的孤立點．等比數(shù)列通項公式的基本運算【例1】在等比數(shù)列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解]設(shè)首項為a1，公比為q.(1)法一：因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,