人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 全等三角形單元測試（解析版）（人教版）

第十二章全等三角形單元測試一、選擇題（本大題共14個(gè)小題，每題2分，共28分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2022·湖北省直轄縣級單位·八年級期末）下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個(gè)全等圖形形狀一定相同C．兩個(gè)周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個(gè)正三角形一定是全等圖形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A：兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B：兩個(gè)全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；C：兩個(gè)周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D：兩個(gè)正三角形不一定是全等圖形，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形”是本題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧大連·八年級期末）如圖，△AOC≌△DOB，AO＝3，則下列線段長度正確的是（）A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可求解．【詳解】解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，∴DO=AO=3．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南南陽·二模）作一個(gè)三角形與已知三角形全等：已知：．求作：，使得．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS【答案】D【解析】【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：根據(jù)傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．4．（2022·廣西崇左·八年級期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠BAC，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根據(jù)∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．【詳解】解：∵∠B=60°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=80°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形對應(yīng)角相等是解題本題的關(guān)鍵．5．（2021·河南南陽·八年級階段練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法和三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系逐個(gè)判斷即可求解．【詳解】解：A、∵，，，根據(jù)ASA判定三角形全等的方法可得，能唯一畫出．符合題意；B、∵，，，兩邊及其中一邊的對角確定，三角形不唯一，∴不能唯一畫出，不符合題意；C、∵，，，3+4＜8，∴AB+BC＜CA，∴不能畫出，不符合題意；D、∵，，∵AB的位置不固定，只有一邊的長度和一角的度數(shù)確定，三角形不唯一，∴不能唯一畫出，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定方法和三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和三角形三邊的數(shù)量關(guān)系．證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．6．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，用尺規(guī)作∠AOB的平分線可以按如下步驟進(jìn)行：①以點(diǎn)O為圓心，線段m為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，線段n為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；③畫射線OC．射線OC即為所求．以下關(guān)于線段m，n的長說法正確的是（

）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜MN C．m＞0，n＞MN D．以上都不對【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本作圖（作一個(gè)角的平分線）的方法和步驟進(jìn)行判斷．【詳解】解：利用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線，其步驟為：第一步，以點(diǎn)O為圓心，任意長度為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；第二步，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；第三步，畫射線OC，射線OC即為∠AOB的平分線．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖（作一個(gè)角的平分線）的知識，熟練掌握基本尺規(guī)作圖方法和步驟是解題關(guān)鍵．7．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知與，B，E，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可證，則，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解．【詳解】在和，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等得出對應(yīng)角相等．8．（2022·遼寧遼陽·八年級期末）在中，，分別是、上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別是點(diǎn)，，連接，若，，則下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定可證得到,即可證明．【詳解】解：連接，在和中，，，，，故①正確；，，，，，故②正確；，根據(jù)現(xiàn)有條件無法確定其全等，故③錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，平行線的判定定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G，H分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，AG交BH于點(diǎn)O，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可證出△ABG≌△BCH；得到∠BAG=∠HBC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和對頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】∵在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG與△BCH中，∴△ABG≌△BCH；∴∠BAG=∠HBC，∴∠BOG=∠ABG=120°，∴∠AOH=∠BOG=120°．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素．10．（2020·廣東茂名·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)O為△ABC的兩條角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，且OD＝4．若△ABC的面積是34，則△ABC的周長為（）A．8.5 B．15 C．17 D．34【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)O到△ABC各邊的距離為4，利用三角形面積公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后計(jì)算出AB+AC+BC即可．【詳解】∵點(diǎn)O為△ABC的兩條角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離為4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周長為17．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，也考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的5種判定方法．11．（2022·安徽銅陵·八年級期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AC邊上一動點(diǎn)（不與A、C重合），過點(diǎn)A作AE垂直BD于點(diǎn)E，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F，連接CE，則為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，證明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可證明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC=．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，角平分線的定義，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，DE//AB，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯(cuò)誤．【詳解】解：在中，的平分線交于點(diǎn)D，，∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2020·安徽淮北·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形的周長．【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵,∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．14．（2021·遼寧營口·八年級期末）如圖，D為的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足，過D作于E，交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再利用“HL”可證明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝AF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBF＝∠DCE，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和∠AOB=∠COD（設(shè)AC交BD于點(diǎn)O），得到∠BDC＝∠BAC；根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°易得∠DAE＝∠CBD，再根據(jù)角平分線可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．【詳解】∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB∴DE＝DF在Rt△CDE和Rt△BDF中∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正確；∴CE＝AF在Rt△ADE和Rt△ADF中∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正確；∵Rt△CDE≌Rt△BDF∴∠DBF＝∠DCE∵∠AOB=∠COD（設(shè)AC交BD于點(diǎn)O）∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°∠DBF＝∠DCE∴∠DAE＝∠CBD，∵∠DAE＝∠DAF，∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于需要二次證明三角形全等．二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）15．（2022·江蘇泰州·七年級期末）一個(gè)三角形的三條邊的長分別是5，8，10，另一個(gè)三角形的三條邊的長分別是5，，，若這兩個(gè)三角形全等，則的值是________．【答案】7.5或7【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到答案，注意分類討論．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三條邊的長分別是5，8，10，另一個(gè)三角形的三條邊的長分別是5，，，這兩個(gè)三角形全等，∴∴4x+2=8，2y-2=10或4x+2=10，2y-2=8，解得x=1.5，y=6或x=2，y=5，∴x+y=7.5或7，故答案為：7.5或7．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．16．（2022·湖北孝感·八年級期末）如圖，在和中，A、F、C、D在同一直線上，，，當(dāng)添加條件______時(shí)，就可得到（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）．【答案】BC=EF（答案不唯一）【解析】【分析】要證明△ABC≌△FED，已知，AC=FD，AB=DE，具備了兩邊對應(yīng)相等，還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∴又∵添加BC=EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；或添加∠A=∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；故答案為：BC=EF或∠A=∠D（任寫一個(gè)即可）【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．注意本題答案不唯一．17．（2022·四川成都·七年級期末）已知，如圖，中，在和邊上分別截取，，使，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，點(diǎn)，分別是射線，上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，若，，則的面積是_______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)基本作圖，可知OP平分∠AOB，過點(diǎn)P作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PF=PC=3，那么△POD的面積．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥OB于F，由題意可知，OP平分∠AOB，∵PC⊥OA，垂足為點(diǎn)C，PF⊥OB于F，OP平分∠AOB，，∴PF=PC=3，∴△POD的面積=．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)基本作圖得出OP平分∠AOB是解題的關(guān)鍵．18．（2022·黑龍江佳木斯·八年級期末）如圖．已知中，厘米，，厘米，D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以2厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動．若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為a厘米/秒，則當(dāng)與全等時(shí)，a的值為______．【答案】2或3##3或2【解析】【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)BD=PC時(shí)，△BPD與△CQP全等，計(jì)算出BP的長，進(jìn)而可得運(yùn)動時(shí)間，然后再求a；②當(dāng)BD=CQ時(shí)，△BDP≌△CQP，計(jì)算出BP的長，進(jìn)而可得運(yùn)動時(shí)間，然后再求a．【詳解】解：當(dāng)BD=PC時(shí)，△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=6cm，∵BD=PC，∴BP=8-6=2（cm），∵點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，∴運(yùn)動時(shí)間時(shí)1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴a=2÷1=2；當(dāng)BD=CQ時(shí)，△BDP≌△CQP，∵BD=6cm，PB=PC，∴QC=6cm，∵BC=8cm，∴BP=4cm，∴運(yùn)動時(shí)間為4÷2=2（s），∴a=6÷2=3（m/s），故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分情況討論，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）19．（2022·陜西寶雞·七年級期末）如圖，點(diǎn)A、B，C、D在同一條直線上，，已知，，求AD的長．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)，得到、的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：，．，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇·南京市第十二初級中學(xué)八年級期中）如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，且AB＝AC，BE交CD于點(diǎn)O．（1）求證：DB＝EC．（2）求證：AO平分∠BAC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根據(jù)AAS判定△ADC≌△AEB（AAS），得出AD＝AE可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠BDO＝∠CEO＝90°，根據(jù)AAS判定△BDO≌△CEO（AAS），得出OD＝OE，根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即DB＝EC；（2）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD＝OE，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴AO平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，角平分線判定，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，角平分線判定是解題關(guān)鍵．21．（2021·云南紅河·八年級期末）如圖，已知中，是的角平分線，于E點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求．【答案】(1)60°(2)108【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=60°，從而得到∠BAD=30°，再由，即可求解；（2）過D作于F．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再由，即可求解．（1）解：∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴；（2）解∶如圖，過D作于F．∵是的角平分線，，∴，又∵，且，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．22．（2022·貴州黔南·八年級期末）已知：，，，垂足分別為D，E，且BD，CE相交于點(diǎn)F．(1)如圖①，求證：．(2)如圖②，連接AF，在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中的全等三角形（至少寫出兩對）．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABD與△ACE全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）求出BE＝DC，利用ASA可證得△BEF≌△CDF，得到EF＝DF，再利用HL可證明△AEF≌△ADF．(1)證明：∵，，∴，∵，，∴，∴．(2)△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF；證明：由（1）可知，∵，∴BE＝DC，∵，∴∠B＝∠C，∵∠CDF＝∠BEF＝90°，∴△BEF≌△CDF（ASA），∴EF＝DF，∵AF＝AF，，∴△AEF≌△ADF（HL）．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理．23．（2021·山東青島·一模）已知，在中，，．（1）在BC上找一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到AB，AC的距離相等（尺規(guī)作圖，保留痕跡）（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）作圖見解析；（2）．【解析】【分析】（1）作的平分線交于，則點(diǎn)滿足條件；（2）利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷點(diǎn)在的平分線上，則，然后利用與互余，計(jì)算的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)為所作；（2）點(diǎn)到，的距離相等，點(diǎn)在的平分線上，即平分，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2021·寧夏西吉實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，四邊形ACDB中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且AO平分∠BAC，OE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：CO平分∠ACD；(2)求證：OA⊥OC；(3)判斷AB，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)AB＋CD＝AC，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OB＝OE，從而求出OE＝OD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后證明即可．(1)證明：∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OE⊥AC，∴OB＝OE，∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∴OE＝OD，又∵EO⊥AC，∠D＝90°，∴OC平分∠ACD．(2)證明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC．(3)結(jié)論：AB＋CD＝AC．理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC．故答案為：AB＋CD＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知：在中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)G．(1)如圖，求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，連接，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)四邊形的面積為18【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直得出直角三角形，再利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行證明即可；（2）利用角角邊證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論即可；（3）過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，（如圖見詳解），利用角邊角證明，