遼寧省本溪市2021年中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2021年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.-5的相反數(shù)是（）

11

A.—B.—C.5D.-5

55

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可.

【詳解】-5的相反數(shù)是5

故選C

【點睛】本題考查了相反數(shù)，熟記相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)是關(guān)鍵.

2.下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是

中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念即可解答.

【詳解】選項A,是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意;

選項B,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

選項C,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

選項D,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意.

故選A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念，熟練運用中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念是解

決問題的關(guān)鍵.

3.下列運算正確的是（)

A.x1-x=2x2B.(xy3)2=x2y6

C.X6-rX3=X2D.x2+x=x3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞乘法法則、積的乘方的運算法則、同底數(shù)塞的除法法則及合并同類項法則逐一計算

即可得答案.

【詳解】選項A,根據(jù)同底數(shù)幕乘法法則可得d.x=d,選項A錯誤；

選項B,根據(jù)積的乘方的運算法則可得（孫3）2=f>6,選項B正確；

選項C,根據(jù)同底數(shù)慕的的除法法則可得了6+％3=%3,選項C錯誤；

選項D,/與X不是同類項，不能合并，選項D錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)基乘法法則、積的乘方的運算法則、同底數(shù)基的除法法則及合并同類項法則，

熟練運用法則是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖，該幾何體的左視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】畫出從左面看到的圖形即可.

【詳解】解：該幾何體的左視圖是一個長方形，并且有一條隱藏的線用虛線表示，如圖所示:

故選：D.

【點睛】本題考查三視圖，具備空間想象能力是解題的關(guān)鍵，注意看不見的線要用虛線畫出.

5.如表是有關(guān)企業(yè)和世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計的5種新冠疫苗的有效率，則這5種疫苗有效率的中位數(shù)是（）

疫苗名稱克爾來福阿斯利康莫德納輝瑞衛(wèi)星V

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，對5種新冠疫苗的有效率從小到大（或從大到小）進(jìn)行排序，取中間（第三

個）的有效率即可.

【詳解】解：根據(jù)中位數(shù)的定義，將5種新冠疫苗的有效率從小到大進(jìn)行排序，如下：

76%,79%,92%,95%,95%

數(shù)據(jù)個數(shù)為5,奇數(shù)個，處于中間的數(shù)為第三個數(shù)，為92%

故答案為B.

【點睛】此題考查了中位數(shù)的定義，求中位數(shù)之前不要忘記對原數(shù)據(jù)進(jìn)行排序是解決本題的關(guān)鍵.

k

6.反比例函數(shù)y=—的圖象分別位于第二、四象限，則直線y=a+Z不經(jīng)過的象限是（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)尸人的圖象在第二、四象限內(nèi)判斷出％的符號，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出

X

結(jié)論.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)尸人的圖象在第二、四象限內(nèi)，

X

：.k<0,

工一次函數(shù)產(chǎn)履+上的圖象經(jīng)過二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限.

故選：A.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，注意：反比例函數(shù)產(chǎn)七中，當(dāng)人＜0,雙曲線

x

的兩支分別位于第二、第四象限.

7.如圖為本溪、遼陽6月1日至5日最低氣溫的折線統(tǒng)計圖，由此可知本溪，遼陽兩地這5天最低氣溫波

動情況是（）

A.本溪波動大B.遼陽波動大

C.本溪、遼陽波動一樣D.無法比較

【答案】C

【解析】

【分析】分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差，比較，即可判斷.

【詳解】解：遼陽的平均數(shù)為：＞+14+13+13+13

13.8,

5

方差為：S、[(16-13.8)2+(14-13.8)2+3X(13-13.8)2]=1.36,

15+13+12+12+12

本溪的平均數(shù)為:=12.8,

5

222

方差為：S2=1[(15-12.8)+(13-12.8)+3X(12-12.8)]=1.36,

S]=S2,

本溪、遼陽波動一樣，

故選：C.

【點睛】本題考查了方差，正確理解方差的意義是解題的關(guān)鍵.方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方

差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

8.一副三角板如圖所示擺放，若Nl=80。，則N2的度數(shù)是（)

A.80°B.95°C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到/3=/4=35。，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，NA=90°-30°=60°,

N3=Nl-45°=80°*45°=35°,

.?./3=N4=35°,

N2=/A+/4=60°+35°=95°,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AA6c中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線80與AC交于點￡，點尸為8c的

中點，連接EF，若3E=AC=2,則△團'的周長為（）

A.G+lB.75+3C.V5+11).4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可知8。平分NA8C,AB=BC,由三線合一，解△8EC,即可求得.

【詳解】?.80平分ZABC,AB=3C.8￡=AC=2

BEJ.AC,AE-EC--AC=1

2

22

BC=>]BE+EC=VF+F=6

???點/為3c的中點

???EF=-BC=FC=~

22

???△（:￡/的周長為：

CE+EF+FC=l+—+—=>/5+\

22

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的概念，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，求出8C邊是解題

的關(guān)鍵.

10.如圖，在矩形4BCO中，BC=\,Z4DB=60°,動點P沿折線45f運動到點8,同時動點Q

沿折線f運動到點C,點P,。在矩形邊上的運動速度為每秒1個單位長度，點尸，。在矩形對角

線上的運動速度為每秒2個單位長度.設(shè)運動時間為，秒，△PBQ的面積為S,則下列圖象能大致反映S

與r之間函數(shù)關(guān)系的是（）

D.

【答案】D

【解析】

［分析】結(jié)合運動狀態(tài)分段討論:當(dāng)點P在A。上，點。在30上時，A?=r,OQ=2t,過點P作尸石，，

通過解直角三角形求出PE,表示出面積的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)點P在8。上，點。在8c上時，

BP=2-2（r-l）=4-2r,BQ=t-l,過點尸作PFLBC,通過解直角三角形求出PE,表示出面積的函數(shù)

表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)點「在人。匕點Q在80上時，AP^t,DQ=2t,

則PD=\-t,

過點尸作PELBO，

,?NAO?=60°,

BQ=2-2t,

???△P8Q的面積S=gBQ.PE=*/2一百r+為開口向上的二次函數(shù);

當(dāng)f=l時，點尸與點。重合，點Q與點8重合，此時△P8Q的面積S=0；

當(dāng)點P在上，點Q在8c上H寸，BP=2-2（r-l）=4-2f,BQ=t-\,

過點P作尸尸，8。,

則竺=sin60°=無，郎PF=@BP=2拒-品,

PB22

APBQ的面積S=g8Q+3f-2）,為開口向下的二次函數(shù)；

故選：D.

【點睛】本題考查動態(tài)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)運動狀態(tài)寫出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.若萬在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為一.

【答案】x<2

【解析】

【分析】二次根式的被開方數(shù)大于等于零，據(jù)此解答.

【詳解】解：依題意得2-x>0

解得x<2.

故答案為：xW2.

【點睛】考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子&（a>0）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的被開方

數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

12.分解因式：2/_4*+2=.

【答案】2（%-1）2

【解析】

【分析】先提公因式2,再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】解：2X2-4X+2=2（X2-2X+1）=2（X-1）2,

故答案為：2（x—

【點睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.

13.有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著-J7，-1，0,G，2,從中隨機抽取一張，則抽出卡片

上寫的數(shù)是6的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式即可求解.

【詳解】解：抽出卡片上寫的數(shù)是的概率為(，

故答案為：—.

【點睛】本題考查簡單事件求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

14.若關(guān)于x的一元二次方程3f-2x-攵=0有兩個相等的實數(shù)根，則上的值為.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程3/一2%-％=0有兩個相等的實數(shù)根，得出關(guān)于大的方程，求解即可.

【詳解】???關(guān)于x的一元二次方程3f-2x—左=0有兩個相等的實數(shù)根，

4x3x(-%)=4+12^=0,

解得上-二.

3

故答案為：.

【點睛】本題考查了運用一元二次方程根的判別式，當(dāng)△>()時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)

△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<?時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

15.為了弘揚我國書法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學(xué)校準(zhǔn)備為獲獎同學(xué)頒獎.在

購買獎品時發(fā)現(xiàn)，A種獎品的單價比8種獎品的單價多10元，用300元購買A種獎品的數(shù)量與用240元購

買B種獎品的數(shù)量相同.設(shè)B種獎品的單價是x元，則可列分式方程為.

【解析】

【分析】設(shè)B種獎品的單價為x元，則A種獎品的單價為(x+10)元，利用數(shù)量=總價+單價，結(jié)合用300

元購買A種獎品的件數(shù)與用240元購買B種獎品的件數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程.

【詳解】解：設(shè)B種獎品的單價為x元，則A種獎品的單價為(x+10)元,

300240

依題意得：

x+10X

300240

故答案為:

x+10X

【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列分式方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

16.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和

點D,則tanZADC=.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根據(jù)同弧所對圓周角相等可得=再利用正切的定義求解即可.

【詳解】解：；NABC=Z4OC,

3

/.tanZADC=tanZABC=―,

2

3

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、求角的正切值，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

L

17.如圖，A8是半圓的直徑，C為半圓的中點，A(2,0),8(0,1),反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖象經(jīng)過點

x

C,則女的值為

【解析】

【分析】連接C￡>,并延長交x軸于點P,分別求出PC,PO,C￡>和PC的長，過點C作CFLx軸于點凡

求出PF,CF的長，進(jìn)一步得出點C的坐標(biāo)，從而可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接CC,并延長交x軸于點P,如圖，

：.CP1,AB,即尸=90°

又408=90°

ZAPD=ZABO

■：A(2,0),B(0,1)

：.AO=2,08=1

；?AB=y/AO2+BO2=Vl2+22=舊

/.AD=-AB=—

22

又tanA=^=絲

ADOA2

PD=-AD=-x—=—

2224

―3日+冬竽

?'-AP=y/PD2+AD2=｛（?2+

53

OP=AO-AP=2--=-

44

過點C作CFLc軸于點F,

sinZAPD=sinZABO=—=—=A

PCAB75

:.CF=PCx與二正x與二

754752

PF=JPC。-CF?=J（哈2_.=2

333

OF=OP+PF=-+-=-

442

33

.?.點C坐標(biāo)為（士，士）

22

k

?.?點C在反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖象上

x

.,33_9

224

9

故答案為：-

4

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是利用過某個點，這個點的坐標(biāo)應(yīng)適合這個函數(shù)解析

式；求出點C坐標(biāo)是關(guān)鍵.

18.如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊A8上，點。的對稱點為點F,EF

交A。于點G,連接CG交尸。于點H,連接CE.下列四個結(jié)論中：①/\PBES/\QFG；

②S^EG=SacBE+S四邊形CDQ"；③EC平分NBEG；@EG2-CH2=GQGD,正確的是(填序

號即可).

【答案】①③④.

【解析】

【分析】①用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行判定即可；

②過點C作CMLEG于通過證明△BECgZXMEC進(jìn)而說明△CMG四△CDG,可得

S&CEG=SABEC^S4CDG〉SABEC+SCDQH；

③由折疊可得:/GEC=/OCE,由AB〃C￡＞可得/BEC=/QCE,結(jié)論③成立；

④連接。“，MH,HE,由△BEC絲△MEC,△CMG絲△COG可知：ZBCE=ZMCE,ZMCG=ZDCG,貝ij

NECG=NECM+/GCM=L/BCD,由于EC_LHP,貝ljNC7/P=45°,由折疊可得:NE//P=NC”尸=45°,

2

利用勾股定理可得由CM_LfG,EHA.CG,得到NEMC=NE"C=90°,所以E,M,H,C

四點共圓，通過△CMH絲△CD”,易證△G”QS/\G?！保瑒t得GH^GQ-G。，從而說明④成立.

【詳解】解：①??,四邊形A3CO是正方形，

AZA=ZB=ZBCD=ZD=9O0由折疊可知：

/GEP=NBCD=90°,ZF=ZZ)=90

：?NBEP+NAEG=90°,

???ZA=90°

AZAEG+ZAGE=90°,

JNBEP=NAGE,

?：NFGQ=/AGE,

:?/BEP=/FGQ,

???ZB=ZF=90,

：?4PBE?/\QFG,

故①說法正確，符合題意；

②過點C作

D

Dp：

由折疊可得:NGEC=NDCE,

,:AB〃CD,

：.ZBEC=ZDCEf/BEC=/GEC,

在△BE'C和△MFC中，

VZB=ZEMC=90°,/BEC=NGEC,CE=CE

：./\BEC^^MEC(AAS)

??CB=CM,S△BEC^S&MBC,

VCG=CG,

???Rf/\CMG名RtACDG(HL),

:?S&CMG=S?CDG，

S2CEG=SABELSdCDCi>S4BEC+S四邊形CDQH

???②說法不正確，不符合題意；

③由折疊可得:NGEC=NOCE,

9

：AB//CDf

:./BEC=NDCE,

：.ZBEC=ZGECf即EC平分/BEG

???③說法正確，符合題意；

④連接OH,MH,HE,如圖：

?：△BEgAMEC,△CMG0△CDG,

；?/BCE=NMCE,/MCG=/DCG,

：./ECG=ZECM+ZGCM=-ZBCD=45°,

2

ECLHP,

：.ZCHP=450,

AGHQ=ZCHP=45°,

由折疊可得:NE”P=NC"P=45°,

J.EHLCG

:.EG-EH^GH2

由折疊可知:E"=CH

：.EG2-C^GH2,

"：CM±EG,EHICG,

:.NEMC=NEHC=90°,

：,E,M,H,C四點共圓，

AZHMC=ZHEC=45°,

在和△€■￡?中，

'：CM=CD,ZMCG=ZDCG,CH=CH

：.△CMH空△CDH（SAS）

：.ZCDH=ZCMH=45",

,ZZCDA=90°,

：.ZGDH=45°

ZGHQ=ZCHP=45°,

：.NGHQ=NGDH=45。,

ZHGQ=ZDGH,

：./\GHQ^/\GDH,

.GQGH

"GH~'GD'

G眸GQ?GD

:.GC-CHP=GQ?GD

故④說法正確，符合題意；

綜上可得，正確的結(jié)論有:①③④

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折問題、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的相似

的判定與性質(zhì).翻折問題是全等變換，由翻折得到對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

6a（,2a-3、

19.先化簡，再求值：-1+--,其中a=2sin3O0+3.

W-9Ia+3）

【答案】上；，2

。一3

【解析】

【分析】先把分式化簡后，再求出4的值代入求出分式的值即可.

6a12a-3

【詳解】戶1+-----

。+3

6a（。+32a-3

Q2—9[Q+3a+3

6a。+3

=-----------x----

(a+3)(。-3)3a

2

ci—3

a=2sin300+3

=2x1+3

2

=4

當(dāng)a=4時，原式=2=2.

4-3

【點睛】本題考查了分式的化簡值，特殊角的三角函數(shù)值，熟練分解因式是解題的關(guān)鍵.

20.為迎接建黨100周年，某校組織學(xué)生開展了黨史知識競賽活動.競賽項目有：A.回顧重要事件；B.列

舉革命先烈；C.講述英雄故事；D.歌頌時代精神.學(xué)校要求學(xué)生全員參加且每人只能參加一項，為了解

學(xué)生參加競賽情況，隨機調(diào)查了部分學(xué)生，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中

信息解答下列問題：

71牛事加后宴項U的條格統(tǒng)計圖學(xué)生:參加比費星H的扇形茂計留

人

(1)本次被調(diào)查的學(xué)生共有名；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中“8項目”所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為,并把條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)從本次被調(diào)查的小華、小光、小艷、小萍這四名學(xué)生中，隨機抽出2名同學(xué)去做宣講員，請用列表或

畫樹狀圖的方法求出恰好小華和小艷被抽中的概率.

【答案】(1)60；(2)90°,補全條形統(tǒng)計圖見解析；(3)4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知A項目的有9人，占15%,即可求出總?cè)藬?shù);

(2)作差求出B項目的人數(shù)，按照比例求出其圓心角度數(shù)并補全條形統(tǒng)計圖；

(3)列出表格，利用概率公式即可求解.

【詳解】解：(1)9+15%=60;

(2)B項目的總?cè)藬?shù)為60-9-24-12=15人，

“B項目”所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為"x36()°=9()°,

60

補全條形統(tǒng)計圖如下：

爭住里E克要項U的條方統(tǒng)計圖

人歐，

(3)列出表格如下:

小華小光小艷小萍

小華小華，小光小華，小艷小華，小萍

小光小華，小光小光，小艷小光，小萍

小艷小華，小艷小光，小艷小萍，小艷

小萍小華，小萍小光，小萍小萍，小艷

共有12種情況，其中恰好小華和小艷的有2種,

(恰好小華和小艷)=L

6

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合，從統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(第21題12分，第22題12分，共24分)

21.某班計劃購買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊，已知購買1本手繪紀(jì)念冊和4本圖片紀(jì)念冊共需135元，購買5本手繪

紀(jì)念冊和2本圖片紀(jì)念冊共需225元.

（1）求每本手繪紀(jì)念冊和每本圖片紀(jì)念冊的價格分別為多少元？

（2）該班計劃購買手繪紀(jì)念冊和圖片紀(jì)念冊共40本，總費用不超過1100元，那么最多能購買手繪紀(jì)念冊

多少本？

【答案】（1）每本手繪紀(jì)念冊35元，每本圖片紀(jì)念冊25元；（2）最多能購買手繪紀(jì)念冊10本.

【解析】

【分析】（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊x元，每本圖片紀(jì)念冊y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，求解即可；

（2）設(shè)購買手繪紀(jì)念冊〃本，則購買圖片紀(jì)念冊（40-a）本，根據(jù)題意列出不等式，求解不等式即可.

【詳解】解：（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊x元，每本圖片紀(jì)念冊），元,

x+4y=135

根據(jù)題意可得:<

5x+2y=225

x=35

解得《

y=25

答：每本手繪紀(jì)念冊35元，每本圖片紀(jì)念冊25元;

（2）設(shè)購買手繪紀(jì)念冊。本，則購買圖片紀(jì)念冊（40-。）本，根據(jù)題意可得:

35a+25（40-a）＜1100,

解得aW10,

最多能購買手繪紀(jì)念冊10本.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組和不等式是解題的關(guān)

鍵.

22.如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道A3.無

人機從點力的正上方點C,沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達(dá)點測得A的俯角為60°,然后以同

樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點E,測得點B的俯角為37°.

（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）;

⑵求AB的長度（結(jié)果精確到1，辦（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,

6=1.73)

【答案】(1)無人機的高度AC=60月加；(2)A8的長度為382%

【解析】

【分析】U)在放△CD4中，利用正切函數(shù)即可求解；

(2)先證明四邊形A8FC為矩形，在RfABFE中,求得EB*138〃，，即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意得:CD=8xl5=120(a),

在R3CD4中，ZACD=90°,ZADC=60°,

Atan60°=—,

CD

.".AC=120x—=60>/3(M，

2

答：無人機的高度AC=6OG〃Z;

(2)根據(jù)題意得:DE=8x50=400(/n),

則CE=D￡+C￡>=520(m),

過點B作BF_LCE于點F,

CDFE

-P~6OYP37：y

//

I/:/

I/I/

I/I/

IfI/

!/!/

：/1/'

；/!/

~AB

則四邊形A8FC為矩形，

/.AB=FC,BF-AC-60\/3m>

在R/ABFE中，ZBFE=90°,NBE尸=37°,

Atan37°=—=0.75,

EF

...EF="叵=138.4a138(加)，

0.75

AB=FC=CE-EF=520-l38=382(〃?)，

答：48的長度為382M

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì).注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形

是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

五、解答題（滿分12分）

23.某網(wǎng)店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進(jìn)價為每個40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價為

60元時，每星期賣出100個.如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價銷售,

設(shè)銷售單價為x元，每星期銷售量為），個.

（1）請直接寫出y（個）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元？

（3）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）尸-2X+220；（2）當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元；（3）當(dāng)

銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意中銷售量y（個）與售價x（元）之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400,解方程即可求解;

（3）設(shè)每星期利潤為w元，構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問題.

詳解】（1）由題意可得,>'=100-2（x-60）=-2x+220；

（2）由題意可得，

（-2x+220）（x-40）=2400,

解得，x=70,尤2=80,

二當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元.

答：當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元.

（3）設(shè)該網(wǎng)店每星期的銷售利潤為w元，由題意可得

w=（-2x+220）（x-40）=-2丁+300%—8800,

當(dāng)*=-二=75時，w有最大值，最大值為2450,

當(dāng)銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

答：當(dāng)銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問

題.

六、解答題（滿分12分）

24.如圖，在HAABC中，ZACB=90°,延長C4到點￡>,以AO為直徑作O。，交的延長線于點E,

延長BC到點用使BF=EF.

（1）求證：族是。。的切線；

（2）若OC=9,AC=4,AE=8,求8尸的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）或

6

【解析】

【分析】（1）連接。E,通過倒角得到N8￡F+NOE4=ZB+NR4c=90。，即可得證；

（2）連接。E、OF,通過證明△ADEsaABC求出AB的長度，在Rt^OC產(chǎn)和Rt^OEF中應(yīng)用勾股定

理，得出方程，即可求解.

【詳解】解：（1）連接OE,

OE=OA,

：.Z.OEA=Z.OAE=ABAC,

BF=EF,

???NBEF=ZB,

：.NBEF+ZOEA=NB+ABAC=90°,

即OELER,

EF是O。的切線；

(2)連接。E、OF,

,/OC=9,AC=4,

OO的半徑為5,

；?AZ)=10

：AO為直徑，

/.ZDEA=90°,

；?ZDEA=ZACB,

NDAE=NBAC,

：.Z\AZ>E^AABC,

.AEDEAD

,/AC=4,AE=8,

ADc

—=2,

AB

???AD=10,

；?AB=5,

BC=yjAB2-AC2=3>

設(shè)B尸的長為x,則所=3R=x,CF=x-3,

在RtA(9C~中，OF2=OC2+CF2=(X-3)2+81,

在RtAOEF中，OF2=OE2+EF2=x2+25.

/.(X-3)2+81=X2+25,

解得x———.

6

【點睛】本題考查切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握上述基本性質(zhì)定理、并作出合適的輔助線

是解題的關(guān)鍵.

七、解答題(滿分12分)

25.在cABCO中，DBAD=a,OE平分NADC，交對角線AC于點G,交射線A8于點E，將線段EB

繞點E順時針旋轉(zhuǎn)La得線段EP.

2

(1)如圖1,當(dāng)a=120°時，連接請直接寫出線段”和線段AC的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)1=90。時，過點8作郎_LEP于點，連接AE,請寫出線段AE,AB，AO之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)a=12()。時，連接AP,^BE=-AB,請直接寫出VA尸石與ACDG面積的比值.

2

13

【答案】(1)AP=AC-,(2)A產(chǎn)=—(4)2+4夕),理由見解析；(3)-

24

【解析】

【分析】(1)延長PE，交CD于點。，根據(jù)已知條件證明八4尸￡：且/\47。即可；

(2)連接FC,過尸作J_BC交CB的延長線于點M,由絲△C8F,得4尸=尸。，在

用0c由三邊關(guān)系利用勾股定理可得；

EG

(3)證明△A￡GS^CZ)G，得次值，VA尸石與ACDG的面積分別與△AEG的面積成比例，可得

GD

YAPE與ACDG面積的比值.

詳解】(1)如圖，延長PE，交CO于點。，

D

由題意，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)La,

2

:./BEP=60。

???a=120°

.-.ZB=60°

/.EQUBC

?.?四邊形ABC。是平行四邊形

AD//BC

EQ//AD

.1.四邊形AEQ。是平行四邊形

???DE平分NADC

ZADE=ZCDE

QAB//CD

ZAED=/EDC

：.ZADE=ZAED

■■AE=AD

四邊形AEQ。是菱形

/.AE=EQ

■：ZAED=ABEP=6Q°

■■/XAEQ是等邊三角形

.?.A￡=AQ,NAQ￡=60。

??AB//CD

.?.NCQ￡=NA￡Q=60°

ZAQC=ZAQE+ZEQC=120。,ZAEP=120°

vEQIIAD,ADIIBC,BE//CQ

四邊形6CQE是平行四邊形

:.CQ=BE

,;PE=BE

:.PE=CQ

在VAPE和AACQ中

AE=AQ

<ZAEP=ZAQC

PE=CQ

：.AAPE^AACQ

:.AP=AC.

(2)連接FC,過尸作fMLBC交CB的延長線于點M

?/?=90°

二四邊形ABC。是矩形，/FEB=45。

BFLEP

ZFBE=45°,FB=FE，

NFBC=ZFBE+ZABC=135。，

ZFEA=180°-ZBEF=135°

DE平分/ADC

:.ZADE=-^ADC=45°

2

?.?ZAED=NPEB=45。

AE=AD

?四邊形A8CQ是矩形

AD=BC

AE=BC

在AV話和ACFB中

AE=BC

<NAEF=NCBF

EF=BF

：.^AFE^/\CBF

AF=FC

設(shè)AD=a,AB=b,AF=c

則BE=AB—AE=AB—AD=b—a

?/FM±BC

二ZFBM=45°

：.MF=MB=sin/FBMxFB=—FB

2

BF=sin/FEBxEB------BE

2

：.MF=MB=；BE=g(b-a)

在RsFMC中

FC2=FM2+MC2

rtn2,b—a、2.h—a、2

即c=(------)+(------+a)

22

整理得：c2=-(a2+b2)

2

/.AF2AD2+AB2）.

(3)如圖

由（1）可知aAPE會/XACQ

???BE=-AB

2

PE=BE=AE

???DE平分NADC

：.ZADE^ZCDE

QAB//CD

ZAED=/EDC

:.ZADE=ZAED

???AE=AD

:.PE=AD

四邊形APED是平行四邊形

S.PE=S&ADE

?：AE//CD

:.^AEG^/\CDG

EGAE

'^GD~CD

AE=BE=-AB=-CD

22

,AE=一1

"CD2

EG_]

"~GD~2

..=3s△AEG

…S&CGD=4s“GE

??SAAPK?S&CDG=3.4?

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似，勾股定理，銳

角三角函數(shù)，相似比的概念，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，知識點

比較多，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

八、解答題(滿分14分)

3

26.如圖，拋物線y=--V+瓜+。與x軸交于點A和點C(—1,0),與y軸交于點以0,3),連接AB，BC,

4

點尸是拋物線第一象限上的一動點，過點P作。軸于點。，交AB于點E.

圖1圖2圖3

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,作于點、P,使PF=LQA,以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF.當(dāng)矩形PEGF的

2

面積是ABOC面積的3倍時，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點P運動到拋物線的頂點時，點Q在直線PO匕若以點。、4、B為頂點的三角形是銳角

三角形，請直接寫出點Q縱坐標(biāo)n的取值范圍.

【答案】(1)y=--x2+-X+3(2)(1,-)或(3,3)；(3)-3<"<3-2.或3+2%<“<5.

■442322

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求出直線A8的解析式，表示出P,E的坐標(biāo)，故可表示出尸E的長，再根據(jù)矩形PEGE是ABO。面

積的3倍，得到方程，故可求解；

(3)當(dāng)NA8。為直角時，求出直線8Q的解析式，得到〃的值，當(dāng)N8QA為直角時，利用解直角三角形的

方法求出此時〃的值，同理求出當(dāng)/8AQ為直角時〃的值，故可求解.

3

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【詳