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一、填空題

1.不等式的解集是________

2.已知,,求______;

3.已知等比數(shù)列的前項和為,且,,求______;

4.已知,則=__________.

5.已知,則的值域是______;

6.已知當,則______;

7.已知的面積為,求______;

8.在中,已知,,,則__________.

9.國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量地區(qū)經(jīng)濟狀況的最佳指標,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,某市在2022年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長,GDP穩(wěn)步增長,第一季度和第四季度的GDP分別為231和242,且四個季度GDP的中位數(shù)與平均數(shù)相等,則2022年GDP總額為______;

10.已知,其中,若且,當時,k的最大值是______.

11.公園修建斜坡,假設(shè)斜坡起點在水平面上,斜坡與水平面的夾角為θ,斜坡終點距離水平面的垂直高度為4米,游客每走一米消耗的體能為,要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少,則______.

12.空間內(nèi)存在三點A、B、C,滿足,在空間內(nèi)取不同兩點(不計順序),使得這兩點與A、B、C可以組成正四棱錐,求方案數(shù)為______.

二、單選題

13.已知,,若且,則()

A.

B.

C.

D.

14.根據(jù)身高和體重散點圖,下列說法正確的是()

A.身高越高,體重越重

B.身高越高,體重越輕

C.身高與體重成正相關(guān)

D.身高與體重成負相關(guān)

15.設(shè),函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,在上的最小值為,當a變化時,以下不可能的情形是()

A.且

B.且

C.且

D.且

16.在平面上,若曲線Γ具有如下性質(zhì):存在點M,使得對于任意點,都有使得.則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”.判斷下列兩個命題的真假()

①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”.②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線.

A.①假命題;②真命題

B.①真命題;②假命題

C.①真命題;②真命題

D.①假命題;②假命題

三、解答題

17.直四棱柱,,AB⊥AD,AB=2,AD=3,DC=4

(1)求證:;

(2)若四棱柱體積為36,求二面角的大小.

18.函數(shù)

(1)當時,是否存在實數(shù)c,使得為奇函數(shù);

(2)若函數(shù)過點,且函數(shù)圖像與軸負半軸有兩個不同交點,求實數(shù)a的取值范圍.

19.21世紀汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行,下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型,其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:紅色外觀藍色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型,記事件A為小明取到的模型為紅色外觀,事件B取到模型有棕色內(nèi)飾,求,并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立;

(2)為回饋客戶,該公司舉行了一個抽獎活動,并規(guī)定,在一次抽獎中,每人可以一次性抽取兩個汽車模型。為了得到獎品類型,現(xiàn)作出如下假設(shè):

假設(shè)1:每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果:①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色;②兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色;③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色,或內(nèi)飾同色但外觀不同色。

假設(shè)2:該抽獎設(shè)置三類獎,獎金金額分別為:一等獎600元,二等獎300元,三等獎150元。

假設(shè)3:每種抽取的結(jié)果都對應(yīng)一類獎。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小,獎金金額越高。

請判斷以上三種結(jié)果分別對應(yīng)幾等獎。設(shè)中獎的獎金數(shù)是,寫出的分布,并求的數(shù)學(xué)期望。

20.曲線,第一象限內(nèi)點A在Γ上,A的縱坐標是a.

(1)若A到準線距離為3,求a;

(2)若a=4,B在x軸上,AB中點在F上,求點B坐標和坐標原點O到AB距離;

(3)直線,令P是第一象限Γ上異于A的一點,直線PA交l于Q,H是P在l上的投影,若點A滿足“對于任意P都有”,求a的取值范圍.

21.令,取點過其曲線做切線交y軸于,取點過其做切線交y軸于,若則停止,以此類推,

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