新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 1.3《不等式的性質(zhì)與一元二次不等式》 (原卷版)

第第頁第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景.2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b（a，b∈R），,a－b＜0?a＜b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b，,\f(a,b)＝1?a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1?a＜b)).2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；(5)乘方法則：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(6)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)；(7)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0，則a<b?eq\f(1,a)>eq\f(1,b).3.“三個二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2﹣4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝﹣eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠﹣eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.若a＞b＞0，m＞0，則eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；若b＞a＞0，m＞0，則eq\f(b,a)＞eq\f(b＋m,a＋m).2.(x﹣a)(x﹣b)＞0或(x﹣a)(x﹣b)＜0型不等式的解法口訣：大于取兩邊，小于取中間.3.恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.4.能成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)a＞b?ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2﹣4ac≤0.()二、教材改編1.函數(shù)f(x)＝eq\r(3x－x2)的定義域為()A.[0，3]B.(0，3)C.(﹣∞，0]∪[3，＋∞)D.(﹣∞，0)∪(3，＋∞)2.設(shè)A＝(x﹣3)2，B＝(x﹣2)(x﹣4)，則A與B的大小關(guān)系為()A.A≥BB.A＞BC.A≤BD.A＜B3.設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是()A.a﹣c<b﹣dB.ac<bdC.a＋c>b＋dD.a＋d>b＋c4.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為{x|﹣eq\f(1,2)<x<eq\f(1,3)}，則a＋b＝________.考點1比較大小與不等式的性質(zhì)比較大小的5種常用方法(1)作差法：直接作差判斷正負(fù)即可(常用變形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).(2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號.(3)函數(shù)的單調(diào)性法：把比較的兩個數(shù)看成一個函數(shù)的兩個值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較.(4)不等式的性質(zhì)法.(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論.1.若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是()A.a＋c≥b﹣cB.(a﹣b)c2≥0C.ac＞bcD.eq\f(b,a)≤eq\f(b＋c,a＋c)2.若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q3.若a＞b，則()A.ln(a﹣b)＞0B.3a＜3bC.a3﹣b3＞0D.|a|＞|b|4.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(﹣1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(﹣2)的取值范圍是________.(1)盡管特值法可以較快的排除干擾選項，但直接應(yīng)用該法作出正確判斷是有風(fēng)險的，如T2，T3.(2)利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件，如T1，T4.考點2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步驟解下列不等式：(1)3＋2x﹣x2≥0；(2)ax2﹣(a＋1)x＋1<0(a∈R).[母題探究]將本例(2)中不等式改為x2﹣(a＋1)x＋a<0(a∈R)，求不等式的解集.解含參不等式的分類討論依據(jù)提醒：含參數(shù)討論問題最后要綜上所述.[備選例題]解不等式：x2﹣2ax＋2≤0(a∈R).1.已知不等式ax2﹣5x＋b>0的解集為{x|x＜﹣eq\f(1,3)或x＞eq\f(1,2)}，則不等式bx2﹣5x＋a>0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)＜x＜\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,3)或x＞\f(1,2)))C.{x|﹣3<x<2}D.{x|x<﹣3或x>2}2.不等式eq\f(2x＋1,x－5)≥﹣1的解集為________.3.解不等式12x2﹣ax>a2(a∈R).考點3一元二次不等式恒成立問題在R上恒成立，求參數(shù)的范圍一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.本題在求解中常因忽略“a﹣2＝0”的情形致誤，只要二次項系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項系數(shù)為零的情況.若不等式2kx2＋kx﹣eq\f(3,8)<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A.(﹣3，0)B.[﹣3，0)C.[﹣3，0]D.(﹣3，0]在給定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的范圍在給定某區(qū)間上恒成立，形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式確定參數(shù)范圍時，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.已知函數(shù)f(x)＝mx2﹣mx﹣1.若對于x∈[1，3]，f(x)<5﹣m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.[母題探究]若將“f(x)<5﹣m恒成立”改為“存在x，使f(x)<5﹣m成立”，如何求m的取值范圍？函數(shù)最值法、分離參數(shù)法及數(shù)形結(jié)合法是解決不等式在給定某區(qū)間上恒成立問題的三種常用方法.每種方法對于不同試題各有優(yōu)劣，要牢牢掌握，靈活使用，特別是數(shù)形結(jié)合時，滿足條件的圖象要畫全，畫對.二次函數(shù)問題建議多考慮，對應(yīng)二次函數(shù)圖象，建議恒成立或能成立問題求參數(shù)范圍時，首選分離參數(shù)法.若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0，1]恒成立，則a的取值范圍為______.給定參數(shù)范圍的恒成立問題形如f(x)＞0或f(x)＜0(參數(shù)m∈[a，b])的不等式確定x的范圍時，要注意變換主元，即將原不等式轉(zhuǎn)化為g(m)＞0或g(m)＜0恒成立問題.對任意的k∈[﹣1，1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k﹣4)x＋4﹣2k的值恒大于零，則x的取值范圍是__________.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[﹣2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a∈[4，6]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.不等式的性質(zhì)與一元二次不等式一、選擇題1.已知R是實數(shù)集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|eq\f(x－6,2x－1)≥0}，則A∩(?RB)＝()A.(1，6)B.[﹣1，2]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))2.若a，b，c為實數(shù)，且a＜b＜0，則下列命題中正確的是()A.ac2＜bc2B.a2＞ab＞b2C.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D.eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)3.不等式2x2﹣4x＞22ax＋a對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，4)B.(﹣4，﹣1)C.(﹣∞，﹣4)∪(﹣1，＋∞)D.(﹣∞，1)∪(4，＋∞)4.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2﹣2x＋2，對任意的x∈(1，4)都有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))5.若不等式x2﹣(a＋1)x＋a≤0的解集是解析：[﹣4，3]的子集，則a的取值范圍是()A.[﹣4，1]B.[﹣4，3]C.[1，3]D.[﹣1，3]二、填空題6.已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________.7.已知1<a<4，2<b<8，則a﹣b的取值范圍為________，eq\f(a,b)的取值范圍為________.8.若不等式x2＋ax﹣2>0在區(qū)間[1，5]上有解，則a的取值范圍是________.三、解答題9.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0，5).(1)求f(x)的解析式；(2)若對于任意的x∈[﹣1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范圍.10.甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100·(5x+1﹣eq\f(3,x))元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.1.已知x，y∈R，且x>y>0，則()A.eq\f(1,x)﹣eq\f(1,y)>0B.sinx﹣siny>0C.0.5x﹣0.5y<0D.lnx＋lny>02.若不等式﹣2≤x2﹣2ax＋a≤﹣1有唯一解，則a的值為________.3.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為解析：[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________.4.已知函數(shù)f(x)＝x2﹣2ax﹣1＋a，a∈