第01講：一元二次方程（必刷8大考題8大題型）解析版

PAGE1第01講：一元二次方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：一元二次方程的概念問題考點(diǎn)二：解一元二次方程（直接開平方、配方法）考點(diǎn)三：解一元二次方程（因式分解）考點(diǎn)四：解一元二次方程（公式法）考點(diǎn)五：判別式的應(yīng)用考點(diǎn)六：根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)七：實(shí)際問題考點(diǎn)八：一元二次方程的綜合【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程的定義：(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．考點(diǎn)二、一元二次方程的一般形式：一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。考點(diǎn)三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定義是解方程過(guò)程中的依據(jù)．將此數(shù)代入這個(gè)一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個(gè)方程的根；若不相等，就不是這個(gè)方程的根．考點(diǎn)四:降次——解一元二次方程一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．先根的判別式(1)當(dāng)Δ＝>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根．PAGE3考點(diǎn)五：根與系數(shù)的關(guān)系（1）韋達(dá)定理：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.例如：，注意△=b2-4ac≥0.考點(diǎn)六：列一元二次方程解應(yīng)用題解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；（期末必考一道大題）③傳播、比賽問題：【題型歸納】題型一：一元二次方程的概念問題1．（2023上·天津東麗·）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值為（）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【分析】把代入方程得，，求得，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵x的一元二次方程的一個(gè)根是0，∴把代入得，，解得，∵，即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義、一元二次方程的解及解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤绻P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．2025【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的一個(gè)解是，得到即，代入計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程的一個(gè)解是，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是（

）A．2025 B．2014 C．2023 D．2022【答案】C【分析】直接把代入方程中得到，再把整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解是，∴，∴，∴，故選C．題型二：解一元二次方程（直接開平方、配方法）4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）方程的解為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】把方程兩邊開方得到x+1＝±3，然后解兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．5．（2023上·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：①；②；③；④；⑤；⑥．小明的解答從第______步開始出錯(cuò)．A．① B．③ C．④ D．⑤【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟逐步判斷即可．【詳解】解：故第⑤步開始出錯(cuò)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·浙江紹興·八年級(jí)校考期中）用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，則方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上4變形即可得到結(jié)果．【詳解】解：方程變形得：，

配方得：，即．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解方程的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵．題型三：解一元二次方程（因式分解）7．（2023上·山西太原·九年級(jí)期末）將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這兩個(gè)方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A．， B．， C． D．【答案】A【分析】利用因式分解法解一元二次方程的步驟求解即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得，則，∴或，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．9．（2023上·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于m的方程的解為，則關(guān)于x的方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】對(duì)比兩個(gè)方程可知，結(jié)合即可求出的解．【詳解】解：將方程看著關(guān)于的一元一次方程，而關(guān)于m的方程的解為，∵，∴，解得：，，故選C．題型四：解一元二次方程（公式法）10．（2022上·天津紅橋·九年級(jí)?？计谀┓匠瘫赜幸粋€(gè)解滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用公式法求得方程的根，然后再估算根的范圍即可得到結(jié)果【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解決問題的關(guān)鍵11．（2022上·河北滄州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列方程中，以為根的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)公式法解一元二次方程判斷即可．【詳解】解：A．，故不符合題意；B．，故符合題意；C．，故不符合題意；D．，故不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法:公式法，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022上·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在解方程x2﹣4x＝2時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）∴（第三步）∴（第四步）小明解答過(guò)程開始出錯(cuò)的步驟是（

）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】C【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解判斷即可．【詳解】解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），∴（第三步），∴（第四步）∴小明解答過(guò)程開始出錯(cuò)的步驟是第三步，故選C．題型五：判別式的應(yīng)用13．（2023上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原方程整理得：，∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：，故選：D．14．（2023上·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m等于（

）A．或1 B．1 C． D．4或1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根列式求解即可得到答案；【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴且，解得：，，故選：A；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．15．（2023下·浙江寧波·九年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．且 B．且 C． D．【答案】C【分析】分類討論：當(dāng)時(shí)，方程的解為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次方程根的情況確定其判別式，從而即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，滿足題意；當(dāng)時(shí)，∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故選C．題型六：根與系數(shù)的關(guān)系16．（2023下·安徽六安·八年級(jí)?？计谀┮阎欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根據(jù)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出，，變形，然后整體代入求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個(gè)根，，滿足，．17．（2023上·江西九江·九年級(jí)校考期末）已知是方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得，，然后由變形為含有和的式子，并代入求值即可．【詳解】∵是方程的兩個(gè)根，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023下·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，則的值是（

）A． B． C．8 D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：∵，是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∵，，∴，即，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．題型七：實(shí)際問題19．（2023上·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商店經(jīng)銷一種吉祥物玩具，銷售成本為每件40元，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每件50元銷售，一個(gè)月能售出500件；銷售單價(jià)每漲2元，月銷售量就減少20件，針對(duì)這種玩具的銷售情況，請(qǐng)解答以下問題：(1)當(dāng)銷售單價(jià)漲多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)能夠達(dá)到8000元．(2)商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，則銷售定價(jià)應(yīng)為多少元？【答案】(1)銷售單價(jià)漲10元或30元時(shí)，月銷售利潤(rùn)能夠達(dá)到8000元；(2)銷售定價(jià)應(yīng)為80元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出取各x值的月銷售成本．（1）設(shè)銷售單價(jià)漲x元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為件，利用月銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）利用月銷售成本=每件的銷售成本×月銷售量，可分別求出取各x值的月銷售成本，結(jié)合月銷售成本不超過(guò)10000元，即可得出銷售定價(jià)應(yīng)為80元．【詳解】（1）設(shè)銷售單價(jià)漲x元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：．答：當(dāng)銷售單價(jià)漲10元或30元時(shí)，月銷售利潤(rùn)能夠達(dá)到8000元．（2）當(dāng)時(shí)，月銷售成本為，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，月銷售成本為，符合題意，此時(shí)．答：銷售定價(jià)應(yīng)為80元．20．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，1月份銷售400個(gè)，2月份和3月份這種臺(tái)燈銷售量持續(xù)增加，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到576個(gè)，設(shè)2月份和3月份兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率不變．(1)求2月份和3月份兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率；(2)從4月份起，在3月份銷售量的基礎(chǔ)上，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每降價(jià)元，其銷售量增加6個(gè)．若商場(chǎng)要想使4月份銷售這種臺(tái)燈獲利4800元，則這種臺(tái)燈應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)2，3兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率為，利用三月份的銷售量一月份的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每臺(tái)降價(jià)元，則每臺(tái)的銷售利潤(rùn)為元，四月份可售出臺(tái)，利用總利潤(rùn)二每臺(tái)的銷售利潤(rùn)四月份的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；【詳解】（1）設(shè)2，3兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率為，依題意，得：，解得：(不符合題意，舍去)．答：2，3兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率為．（2）設(shè)這種臺(tái)燈每個(gè)降價(jià)元時(shí)，商場(chǎng)四月份銷售這種臺(tái)燈獲利4800元，依題意，得：，整理，得：，解得(不符合題意，舍去)，答：該這種臺(tái)燈應(yīng)降價(jià)2元．21．（2023上·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┠撤鲐殕挝粸榱颂岣哓毨舻慕?jīng)濟(jì)收入，購(gòu)買了的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長(zhǎng)）圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)（如圖所示）．

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬；(2)該扶貧單位想要建一個(gè)的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)長(zhǎng)為，寬為(2)想法不能實(shí)現(xiàn)【分析】（1）設(shè)，則可表示出長(zhǎng)，由面積關(guān)系即可列出方程，解方程即可．（2）設(shè)，則可表示出長(zhǎng)，由面積關(guān)系即可列出方程，根據(jù)方程是否有解或方程的解是否符合題意，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)，則，由題意得：，整理得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；答：雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為與．（2）解：設(shè)，則，由題意得：，整理得：，，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；所以想法不能實(shí)現(xiàn)．題型八：一元二次方程的綜合22．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【詳解】（1），∵，∴，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．23．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，存不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得？若存在，求出這樣的k值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系．（1）根據(jù)一元二次方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到判別式大于0，列出不等式求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及，得到，進(jìn)行求解即可．掌握根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；（2）存在，由題意，得：，∵，∴，∴，即：，解得：．24．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀材料，解答問題：我們?cè)谔骄恳辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)，如果關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是，，那么由求根公式可以推出，；已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)滿足：，，且，則______，______；(2)間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：，且，求的值．【答案】(1)7；1(2)的值為47(3)的值為【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄懂題干所給的例子，靈活應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可知a、b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，；（2）將所求式子變形為，再將（1）的代數(shù)式代入求值即可；（3）由題意可知、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：∵，，且，∴a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，，故答案為：7，1；（2）解：，∵，，∴原式；（3）解：∵，且，∴、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴．【強(qiáng)化精練】一、單選題25．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，因此將代入即可求解．【詳解】解：將代入，得，解得，故選A．26．（2023上·河南商丘·九年級(jí)商丘市第六中學(xué)校考期末）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根；由此逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，，，，，故方程沒有實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；B、，，，，，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)符合題意；C、，，，，，故方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；D、，，，，，故方程沒有實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．27．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后可分別計(jì)算出b、c的值，進(jìn)一步求得答案即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，解得，．故選：B．28．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？计谥校?023年連花清瘟膠囊粒經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，從每盒元下調(diào)至元，設(shè)平均每次降價(jià)百分率為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．根據(jù)藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由43元降為元，可以列出方程，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．29．（2023上·重慶潼南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意可得，代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴∴，故選：C．30．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市西光中學(xué)?？计谥校?0月8日，杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽全部結(jié)束，國(guó)乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領(lǐng)域強(qiáng)大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），比賽總場(chǎng)數(shù)為380場(chǎng)，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是設(shè)參賽隊(duì)伍有支，根據(jù)參加乒乓球比賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽380場(chǎng)，可列出方程．【詳解】解：設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，由題意可得：，故選B．31．（2023下·安徽宣城·八年級(jí)校考期中）已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5【答案】B【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．32．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．【詳解】解：∵為一元二次方程，∴，∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴且，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0．二、填空題33．（2023上·河南商丘·九年級(jí)商丘市第六中學(xué)?？计谀┮阎⑹且辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、利用完全平方公式的變形進(jìn)行計(jì)算，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由完全平方公式的變形可得，代入進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故答案為：．34．（2023上·北京大興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)題意得出，解不等式即可得到答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，故答案為：．35．（2023上·四川瀘州·九年級(jí)?？计谀┤?，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程解的概念，直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．36．（2023下·浙江寧波·九年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎猵、q為一元二次方程的兩根，則的值為．【答案】80【分析】根據(jù)p與q為方程的兩根，并利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵p、q為一元二次方程的兩根，∴，，即，∴．故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與一元二次方程的根，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．37．（2023上·甘肅蘭州·九年級(jí)校考期末）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．若舞臺(tái)長(zhǎng)為，那么主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割定義，由黃金分割點(diǎn)的位置離A近，根據(jù)黃金分割比列式求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)黃金分割點(diǎn)C離A近，如圖所示：，由黃金分割比可知，設(shè)，則，代入得到，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，，（舍棄）；綜上所述，主持人站在離A點(diǎn)處最自然得體，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用黃金分割解決實(shí)際問題，還考查了解分式方程，解一元二次方程，讀懂題意，熟練掌握黃金分割比與黃金分割點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題38．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）利用公式法求解；（3）利用公式法求解．【詳解】（1）解：，，，或，解得，；（2）解：，，，解得，；（3）解：，，，解得，．39．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y是銷售單價(jià)x的函數(shù)，其銷售單價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)w的三組對(duì)應(yīng)值如下表：銷售單價(jià)x（元）60657075周銷售量y（件）80706050周銷售利潤(rùn)w（元）2400245024002250(1)請(qǐng)你用所學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)①請(qǐng)求出該商品的進(jìn)價(jià)；②若該公司想每周獲利2000元，并盡可能讓利給顧客，請(qǐng)求出此時(shí)該商品銷售單價(jià)；(3)為了幫助貧困山區(qū)的小朋友，公司決定每賣出一件商品向希望小學(xué)捐款10元，要使該公司在捐款后該商品每周獲利最大，請(qǐng)求出周利潤(rùn)最大時(shí)，該商品的銷售單價(jià)及此時(shí)每周的最大利潤(rùn)．（注：物價(jià)部門最新規(guī)定該商品每件的售價(jià)不得超過(guò)65元）【答案】(1)(2)①30元；②50元(3)65元，1750元【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；（2）①設(shè)該商品進(jìn)價(jià)為a元，從表格中選擇1列數(shù)據(jù)列一元一次方程，即可求解；②設(shè)此時(shí)該商品銷售單價(jià)為m元，則周銷量為件，根據(jù)售價(jià)、進(jìn)價(jià)、銷量、利潤(rùn)之間的關(guān)系列一元二次方程，解方程即可；（3）列出w關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，變形為頂點(diǎn)式，結(jié)合x的取值范圍求出w的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將和代入，得，解得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）解：①由表格知，時(shí)，，，設(shè)該商品進(jìn)價(jià)為a元，則，解得，即該商品進(jìn)價(jià)為30元；②設(shè)此時(shí)該商品銷售單價(jià)為m元，則，整理得，解得，，每件的售價(jià)不得超過(guò)65元，此時(shí)該商品銷售單價(jià)為50元；（3）解：由題意知，，，w關(guān)于x的函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，又每件的售價(jià)不得超過(guò)65元，當(dāng)時(shí)，w取最大值，，即周利潤(rùn)最大時(shí)，該商品的銷售單價(jià)為65元，每周的最大利潤(rùn)為1750元．40．（2023上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于的方程，其中，，是的三邊長(zhǎng)．(1)若是方程的一個(gè)根，則是；(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則是；(3)若是等邊三角形，試求方程的根．【答案】(1)等腰三角形(2)直角三角形(3)，【分析】題目主要考查一元二次方程的解及因式分解解一元二次方程，等邊三角形及三角形的分類，理解題意，掌握一元二次方程的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）將方程的根代入化簡(jiǎn)得出，即可確定三角形的形狀；（2）根據(jù)方程根的情況利用判別式化簡(jiǎn)求解即可；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后代入方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，∴是等腰三角形，故答案為：等腰三角形；（2）是直角三角形理由如下：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，，，是直角三角形；（3）是等邊三角形，，∴原方程變形為，，方程左邊分解因式，得，或，解得，．41．（2023上·重慶南川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）杭州亞運(yùn)會(huì)吉樣物組合名為“江南憶”，三個(gè)吉祥物以機(jī)器人作為整體造型，融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，既有深厚的文化底蘊(yùn)又充滿了時(shí)代活力，某商家購(gòu)進(jìn)了兩種類型的吉祥物紀(jì)念品，已知每套A型紀(jì)念品比每套型紀(jì)念品的多20元，1套A型紀(jì)念品與2套型紀(jì)念品共200元．(1)求兩種類型紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)；(2)該商家準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A型紀(jì)念品套，均以每套元的價(jià)格全部售完，且與之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)，銷售A型紀(jì)念品的利潤(rùn)為1200元，同時(shí)盡量讓利于顧客，求的值．【答案】(1)兩種類型紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為80元，60元(2)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，（1）設(shè)兩種類型紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為元，元，根據(jù)每套A型紀(jì)念品比每套型紀(jì)念品的多20元，1套A型紀(jì)念品與2套型紀(jì)念品共200元，列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)銷售A型紀(jì)念品的利潤(rùn)為1200元，列出一元二次方程，解方程即可．解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳