專題03 一網(wǎng)打盡指對冪等函數(shù)值比較大小問題 （9大核心考點(diǎn)）（講義）分析

PAGE1專題03一網(wǎng)打盡指對冪等函數(shù)值比較大小問題【目錄】 2 3 3 4 8考點(diǎn)一：直接利用單調(diào)性 8考點(diǎn)二：引入媒介值 10考點(diǎn)三：含變量問題 11考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù) 14考點(diǎn)五：數(shù)形結(jié)合 18考點(diǎn)六：特殊值法、估算法 21考點(diǎn)七：放縮法、同構(gòu)法 22考點(diǎn)八：不定方程 26考點(diǎn)九：泰勒展開 29指、對、冪形數(shù)的大小比較問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題，命題形式主要以選擇題為主．每年高考題都會出現(xiàn)，難度逐年上升．考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析指對冪比較大小2022年新高考I卷第7題，5分2022年天津卷第5題，5分2022年甲卷第12題，5分2021年II卷第7題，5分2021年天津卷第5題，5分【命題預(yù)測】預(yù)測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，應(yīng)該會以壓軸小題形式考查．具體估計(jì)為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的綜合推理能力．（2）熱點(diǎn)是靈活構(gòu)造函數(shù)比較大小．（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?）指、對、冪大小比較的常用方法：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小；③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（4）特殊值法（5）估算法（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：①②③④⑤⑥1．（2022?新高考Ⅰ）設(shè)，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)，，則，，當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，在處取最小值（1），，且，，，；，，，；設(shè)，則，令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，，．故選：．2．（2022?天津）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即；因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)減函數(shù)，所以，且，所以；因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即；所以．故選：．3．（2022?甲卷）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，構(gòu)造函數(shù)，，，，，在單調(diào)遞增，（8），又因?yàn)?，故，故選：．4．（2021?全國）已知，則以下四個數(shù)中最大的是A． B． C． D．【答案】【解析】令，，則，，，，故最大的是，故選：．5．（2021?新高考Ⅱ）已知，，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】，，．故選：．6．（2021?天津）設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，，，故選：．7．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，則A． B． C． D．，，，．故選：．8．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）若，則A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)?；因?yàn)?，所以，令，由指對?shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞增；且（a）；故選：．9．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，．設(shè)，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：由，，而，即；，，，；，，，，綜上，．解法二：，，，，，，，，，，，．故選：．10．（2020?天津）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】【解析】，，則，，，故選：．考點(diǎn)一：直接利用單調(diào)性利用指對冪函數(shù)的單調(diào)性判斷例1．（2023·河北唐山·高一唐山一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，綜上：.故選：D.例2．（2023·北京順義·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，，比較a，b，c的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上，.故選：C例3．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，∴，∵冪函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴，∵對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，∴，即，∴.故選：A.考點(diǎn)二：引入媒介值尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．例4．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所?故選：C.例5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）有三個數(shù)：，大小順序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，所以.故選：A例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，，，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故選：D.例7．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期中）下列各式大小比較中，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，即，選項(xiàng)A錯誤；，則，得，故選項(xiàng)B錯誤；，選項(xiàng)C錯誤；，，∴，選項(xiàng)D正確.故選：D考點(diǎn)三：含變量問題對變量取特殊值代入或者構(gòu)造函數(shù)例8．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列不等式中，正確的有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，故A正確；對于B，當(dāng)時顯然不成立，故B錯誤；對于C，當(dāng)是第三象限角時，則，所以，可得，故C錯誤；

對于D，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，這與矛盾，故D錯誤.故選：A.例9．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，，.選項(xiàng)A，，，，則，故A正確；選項(xiàng)B，，，，下面比較的大小關(guān)系，因?yàn)?，，，所以，即，又，所以，即，故B不正確；選項(xiàng)C，，，，因?yàn)?，又，所以，即，故C正確；選項(xiàng)D，，因?yàn)?，所以，又，所以，故D正確；故選：B.例10．（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】要比較，，中的大小，等價于比較，，中的大小，∵，由定義域可知，故，∵在定義域上單調(diào)遞減，，，∵，∴，∵，∴，故，則，，，由定義域可知：，又∵，∴，則，，故，∵，，∴，，.故選：A.考點(diǎn)四：構(gòu)造函數(shù)例11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則的大小為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，，又因?yàn)?，所?故選：D.例12．（2023·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，?gòu)造函數(shù)，則，，，，在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.若有兩個解，則，所以所以即,令，則，故在上單增,所以，即在上，.若，則有，即.故，所以.當(dāng)時，有，故所以.綜上所述：.故選：A例13．（2023·廣西河池·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，則，設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，所以，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，又，即，所?故選：C.例14．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，，又，則，，所以，對于，令，則，此時，所以.故選：A.例15．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┰O(shè)，，，則（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【解析】由，，，得，，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，x＝1，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，在x＝1處取最小值，時，，即，取，得，，，即；設(shè)，則，令，，因?yàn)楫?dāng)時，令，，單調(diào)遞減，又時，，則，即，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，即，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，即，.故選：D例16．（2023·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，故?gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，又，所以，即，故，故選：A．考點(diǎn)五：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)例17．（2023·云南曲靖·高三?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋傻?，，可得，，可得，且考慮和的圖象相交，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、與的圖象如下：根據(jù)圖象可知.故選：B.例18．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c大小為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，.故選：D.例19．（2023·貴州貴陽·高三階段練習(xí)）均為正實(shí)數(shù)，且，，，則的大小順序?yàn)锳． B． C． D．【答案】D【解析】作出函數(shù)，，，的圖象如下圖所示：則、、視為函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知.故選：D.考點(diǎn)六：特殊值法、估算法例20．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>>c【答案】A【解析】令，則，∴在上單調(diào)遞增，，即，∴，又，，∵，，，故，∴．故選：A．例21．（2023·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，，；故只需比較與；也即比較與；也即比較與，而，，所以，所以.綜上所述，.故選：B例22．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，（）試比較的大小關(guān)系（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，故，又，故，由常用數(shù)據(jù)得，下面說明，令，，當(dāng)時，，單增，當(dāng)時，，單減，則，則，則，，令，則，，，則，綜上，.故選：D.考點(diǎn)七：放縮法、同構(gòu)法例23．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，B正確，，A正確，，D正確，C選項(xiàng)，，，又在上單調(diào)遞增，，故，所以，故，設(shè)，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，則，所以，又，故，C錯誤.故選：C例24．（2023·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，大小不確定【答案】B【解析】由可知，，移項(xiàng)可得，即，當(dāng)時，，此時，即，故A錯，B對，當(dāng)時，，此時，即，故A錯，B對，當(dāng)時，，此時，即，故C，D錯，故選：B.例25．（2023·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知，，，比較a，b，c的大小為（

）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【解析】，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.，因，則.故，綜上有.故選：D例26．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，，滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由解得，構(gòu)造函數(shù)，，顯然，故是減函數(shù)，結(jié)合，故時，，故，，再令，，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，結(jié)合，故，，則，，所以，，，故，由，，都是正數(shù)，故．故選：D．例27．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故選：D．例28．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以，則，即，故；因?yàn)?，所以其展開通項(xiàng)公式為，故，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故，即；令，則，因?yàn)?，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上可得.故選：B考點(diǎn)八：不定方程例29．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，即，所以，設(shè)，，設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，同理，由得，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，由，所以且是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.綜上可得故選：A例30．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎獙θ我庹龜?shù)a、b、c，當(dāng)時，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，得，，于是，，令，函數(shù)在上遞減，在上遞增，顯然，因此，令函數(shù)，，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，即，于是，因?yàn)閷θ我庹龜?shù)a、b、c，當(dāng)時，都有成立，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C例31．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D