5IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)課件

第五章

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

數(shù)字濾波類型與指標(biāo)模擬濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器的雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器頻率變換法數(shù)字陷波器設(shè)計(jì)1§1數(shù)字濾波類型與指標(biāo)濾波的目的①

為了壓制輸入信號(hào)的某些頻率成分，從而改變信號(hào)頻譜中各頻率分量的相對(duì)比例。②

廣義濾波包括對(duì)信號(hào)的檢測(cè)與參量的估計(jì)。信號(hào)的檢測(cè)：確定在干擾背景中信號(hào)是否存在。信號(hào)參量的估計(jì)：為識(shí)別信號(hào)而確定信號(hào)的某一個(gè)或某幾個(gè)參量的估值。濾波技術(shù)①濾波器設(shè)計(jì)：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。②濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行濾波的目的。2數(shù)字濾波器數(shù)字濾波類型與指標(biāo)數(shù)字濾波器（DF）的頻率特性對(duì)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)：為系統(tǒng)函數(shù)，為濾波器的單位脈沖響應(yīng)為濾波器的傳輸函數(shù)。具有某種特定頻率特性的線性時(shí)不變系統(tǒng)。廣義上，任何線性時(shí)不變離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器（簡(jiǎn)稱DF）。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。3幅度特性數(shù)字濾波類型與指標(biāo)相位特性DF按頻率特性的分類DF可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通頻率變量用數(shù)字頻率表示：其中為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔，為抽樣頻率數(shù)字頻率以為周期。頻率特性只限于范圍，依取樣定理，對(duì)應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半。4理想濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)字濾波類型與指標(biāo)5DF的幅度特性性能要求（低通為例）數(shù)字濾波類型與指標(biāo)0通帶過(guò)渡帶阻帶：通帶波紋：阻帶波紋：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：過(guò)渡帶6數(shù)字濾波類型與指標(biāo)DF的相位特性性能要求從信號(hào)不失真角度，其相位特性通常必須滿足以下兩個(gè)要求之一：①相位線性。即：②具有群恒時(shí)延特性。即：其中稱為時(shí)延常數(shù)7數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本問(wèn)題數(shù)字濾波類型與指標(biāo)數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境申P(guān)于的有理分式FIR數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境申P(guān)于的多項(xiàng)式以上兩類數(shù)字濾波器，由于它們的系統(tǒng)函數(shù)不同，相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法亦不同。但無(wú)論哪種數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下三個(gè)基本問(wèn)題：①根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)；②用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)指標(biāo)；③用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù)。問(wèn)題①、③與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān)，本章主要討論問(wèn)題②，即：系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)(或逼近)問(wèn)題。8設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的幾種方法數(shù)字濾波類型與指標(biāo)對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為：∴設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)滿足指定的頻率特性。設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器通常采用以下三種方法：方法一：利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì)9首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它“變換”成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。數(shù)字濾波類型與指標(biāo)當(dāng)把模擬濾波器的H(s)“變換”成數(shù)字濾波器的H(z)時(shí)，其實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)S平面向Z平面的“映射”。這必須滿足兩個(gè)條件：①必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致。即：要求變換后代表S平面的虛軸jΩ應(yīng)映射到Z片面的單位圓且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變；②因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的。即：要求S平面左半平面的極點(diǎn)必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。

實(shí)現(xiàn)“映射”的兩種常用的方法：脈沖響應(yīng)不變法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射10方法二：利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行CAD設(shè)計(jì)數(shù)字濾波類型與指標(biāo)若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)思路：若所需濾波器的幅頻響應(yīng)為：與所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)為：選用最小均方誤差準(zhǔn)則：在指定的一組離散的頻率點(diǎn)的均方誤差為：求解H(z)的系數(shù)使均方誤差最小。11數(shù)字濾波類型與指標(biāo)方法三：利用“零極點(diǎn)累試法”進(jìn)行設(shè)計(jì)若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性比較規(guī)則而且簡(jiǎn)單時(shí)，可采用“零極點(diǎn)累試法”進(jìn)行設(shè)計(jì)。例如：數(shù)字陷波器12§2

模擬濾波器的設(shè)計(jì)由于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是基于現(xiàn)有的模擬濾波器設(shè)計(jì)的成熟技術(shù)而完成的。故討論“IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)”之前，必須介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法：巴特沃思(Butterworth)濾波器和切比雪夫(Chebyshev)濾波器。13§2

模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)中的基本概念1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：工程上，濾波器的幅度特性所給定的指標(biāo)通常是通帶和阻帶的衰減。（常用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或模平方函數(shù)來(lái)表示）即：當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)τ為常數(shù)）時(shí)，濾波器的頻率特性為：14模擬濾波器的設(shè)計(jì)2、歸一化與頻率變換

頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法。在設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，為使設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性以及計(jì)算方便，常采用歸一化參數(shù)。歸一化包含：①電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無(wú)源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻(系統(tǒng)的負(fù)載電阻值)；②頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率（濾波器的截止頻率）。計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化。15模擬濾波器的設(shè)計(jì)3、由模平方函數(shù)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)

模擬濾波器在不含有源器件時(shí)，若為一個(gè)因果穩(wěn)定的、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)必須為正實(shí)函數(shù)，即具有以下三特點(diǎn)：①是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的關(guān)于s的有理函數(shù)：

②所有極點(diǎn)必須全部分布在s平面的左半平面內(nèi)。

③分子多項(xiàng)式N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次

由實(shí)函數(shù)的傅立葉變換的共軛對(duì)稱性知：16模擬濾波器的設(shè)計(jì)由給定的模平方函數(shù)求所需的系統(tǒng)函數(shù)的方法：

②取所有左半平面的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)。

③按需要的相位條件(最小相位、混合相位等)取一半的零點(diǎn)構(gòu)成的零點(diǎn)。

①解析延拓：令代入模平方函數(shù)得：,并求其零極點(diǎn)。4、逼近問(wèn)題

尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來(lái)逼近理想特性。17巴特沃思Butterworth低通濾波器模擬濾波器的設(shè)計(jì)BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來(lái)近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，BW的低通模平方函數(shù)為：指定、后，帶到上式，得：1、基本性質(zhì)階數(shù)指定、后，帶到上式，得：18模擬濾波器的設(shè)計(jì)用3dB截止頻率來(lái)規(guī)一化：，則下式：說(shuō)明：①當(dāng)時(shí)，（取最大值）②當(dāng)時(shí)，（即3dB值）③在通帶時(shí)，很小，④當(dāng)阻帶時(shí)，很大，在阻帶內(nèi)，19模擬濾波器的設(shè)計(jì)阻帶內(nèi)，∵∴幅度隨著

N的增加阻帶衰減近似為6Ndb/倍頻程。

N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性。

⑤巴特沃思濾波器又稱“最大平坦濾波器”。原因如下：按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為：表明處最平坦20模擬濾波器的設(shè)計(jì)歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性21模擬濾波器的設(shè)計(jì)2、設(shè)計(jì)過(guò)程①按給定的通、阻帶指標(biāo)恰當(dāng)?shù)剡x擇濾波器的階次N

若給定的指標(biāo)=3dB,即通帶邊頻時(shí),ε=1,可求得：實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對(duì)上式求得的數(shù)值取整加1。22模擬濾波器的設(shè)計(jì)②從模平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s)

Ⅰ求得極點(diǎn)

23模擬濾波器的設(shè)計(jì)下圖給出的是按以上公式所求得的N=3和N=4時(shí)的極點(diǎn)發(fā)布圖：關(guān)于極點(diǎn)的討論在歸一化頻率的情況=1，極點(diǎn)均勻分布在單位圓上

對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在

s的左半平面上

24模擬濾波器的設(shè)計(jì)Ⅱ系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成

濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左半平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)。對(duì)于低通濾波器，為了保證在頻率零點(diǎn)處，，可?。?5有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題例：設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標(biāo):通帶邊頻=100krad/s,通帶的最大衰減為=3dB，阻帶邊頻為=400krad/s,阻帶的最小衰減為=35dB。解:由于通帶邊頻就是3dB截止頻率，即

確定階次N：求左半平面的極點(diǎn):

26有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題∴巴特沃思濾波器的傳輸函數(shù)H(s)為：

相對(duì)截止頻率歸一化，則歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)為：

27模擬濾波器的設(shè)計(jì)Ⅲ一般N階歸一化巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù)表示

上式中是時(shí)的極點(diǎn)（分布在單位圓上）；分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過(guò)查附表1求得。28【附表1】：巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)表

NA1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.68821.84613.1375.152895.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392529【附表2】：巴特沃思多項(xiàng)式因式分解N巴特沃思多項(xiàng)式1

s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)30模擬濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃思模擬濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié)①上述歸一化公式和表格是相對(duì)3dB截止頻率給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo)，利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB截止頻率。②

N用來(lái)求巴特沃思多項(xiàng)式，用來(lái)反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。31切比雪夫（Chebyshev）低通濾波器模擬濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來(lái)逼近給定的指標(biāo)，該函數(shù)具有等波紋特性。它可將指標(biāo)要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設(shè)計(jì)出的濾波器階數(shù)較低。切比雪夫低通濾波器切比雪夫Ⅰ型切比雪夫Ⅱ型：通帶等波紋、阻帶單調(diào)：通帶單調(diào)、阻帶等波紋切比雪夫Ⅰ型低通濾波器1、基本原理切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：32模擬濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：其中：為表示通帶波紋大小的參數(shù)（<1的正數(shù)）,越大波紋越大。為截止頻率（通帶邊頻），在此它不一定是3dB。為對(duì)的歸一化頻率。定義：切比雪夫多項(xiàng)式2、設(shè)計(jì)公式通帶衰減通帶最大波紋33模擬濾波器的設(shè)計(jì)阻帶衰減阻帶邊界頻率則切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數(shù)為：34§3設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法

脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的基本原理和方法1、基本原理從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。若已知，則：2、方法①將H(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)：②對(duì)H(s)進(jìn)行拉氏反變換：35設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法③由獲得：④對(duì)取變換得：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為?！遠(yuǎn)(n)是h(t)的等間隔抽樣，根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。即：

36設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法注意：∵高通和帶阻濾波器不能滿足以上的要求，將會(huì)產(chǎn)生混疊。∴脈沖響應(yīng)不變法不適合用來(lái)設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。

若模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率（奈氏頻率）之內(nèi)，即：

此時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng)