實驗5 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

實驗5連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、實驗?zāi)康?、掌握拉普拉斯變換及其反變換的定義，并掌握MATLAB實現(xiàn)方法。2、學(xué)習(xí)和掌握連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的定義及復(fù)頻域分析方法。3、掌握系統(tǒng)零極點的定義，加深理解系統(tǒng)零極點分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。二、實驗原理與方法1、拉普拉斯變換連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換定義為拉普拉斯變換定義為拉普拉斯反變換定義為在MATLAB中，可以采用符號數(shù)學(xué)工具箱的laplace函數(shù)和ilaplace函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反拉氏變換。L=laplace(F)符號表達(dá)式F的拉氏變換，F(xiàn)中時間變量為t，返回變量為s的結(jié)果表達(dá)式。L=laplace(F,t)用t替換結(jié)果中的變量s。F=ilaplace(L)以s為變量的符號表達(dá)式L的拉氏反變換，返回時間變量為t的結(jié)果表達(dá)式。F=ilaplace(L,x)用x替換結(jié)果中的變量t。除了上述ilaplace函數(shù)，還可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆變換，具體原理如下：當(dāng)X(s)為有理分式時，它可以表示為兩個多項式之比：式（3）可以用部分分式法展成一下形式通過查常用拉普拉斯變換對，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆變換。利用MATLAB的residue函數(shù)可以將X(s)展成式（1-2）所示的部分分式展開式，該函數(shù)的調(diào)用格式為：[r,p,k]=residue(b,a)其中b、a為分子和分母多項式系數(shù)向量，r、p、k分別為上述展開式中的部分分式系數(shù)、極點和直項多項式系數(shù)。2、連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換此外，連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換之比得到單位沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)，而從復(fù)頻域反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。由式（6）描述的連續(xù)時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為s的有理函數(shù)3.連續(xù)時間系統(tǒng)的零極點分析系統(tǒng)的零點是指式（7）的分子多項式為零的點，極點指使分母多項式為零的點，零點使系統(tǒng)的值為零，極點使系統(tǒng)函數(shù)的值無窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點繪在s平面上，零點用表示，極點用表示，這樣得到的圖形稱為零極點的分布圖。由零極點的定義可知，零點和極點分別指式（7）的分子多項式和分母多項式的根。利用MATLAB求多項式的根可以通過函數(shù)roots來實現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r=roots(c)c為多項式的系數(shù)向量，返回值r為多項式的根向量。分別對式（7）的分子多項式和分母多項式求根即可得到零極點。此外，在MATLAB中還提供了更簡便的方法來求取零極點和繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖，即利用pzmap函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點分布圖。[p,z]=pzmap(sys)這種調(diào)用方法返回極點和零點，而不繪出零極點分布圖。其中sys為系統(tǒng)傳函模型，由t命令sys=tf(b,a)實現(xiàn)，b、a為傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量。MATLAB還為用戶提供了兩個專用函數(shù)tf2zp和zp2tf來實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型的轉(zhuǎn)換，其調(diào)用格式為：[z,p,k]=tf2zp(b,a)[b,a]=`zp2tf(z,p,k)其中b、a為傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量，返回值z為零點列向量，p為極點列向量，k為系統(tǒng)函數(shù)零極點形式的增益。三、實驗內(nèi)容1.已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng),輸入信號，試采用復(fù)頻域的方法求解系統(tǒng)的響應(yīng)，編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)。f1=sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');F1=laplace(f1)f2=sym('heaviside(t)');F2=laplace(f2)Y=F1*F2;y=ilaplace(Y)symst;ezplot(t,y);xlabel('t');title('y(t)');結(jié)果：F1=1/s-exp(-2*s)/sF2=1/sy=t-heaviside(t-2)*(t-2)已知因果連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下：試采用MATLAB畫出其零極點分布圖，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。symssw;b=[1];a=[1,2,2,1];sys=tf(b,a);[p,z]=pzmap(sys)%求取零極點subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Hw1=subs(1/(s^3+2*s^2+2*s+1),s,j*w)Ht1=ilaplace(1/(s^3+2*s^2+2*s+1))[Hw1w]=freqs(b,a);subplot(223);plot(w,abs(Hw1));xlabel('w');title('|H(w)|');gridon;subplot(224);plot(w,angle(Hw1));xlabel('w');title('\phi(w)');結(jié)果：p=-1.0000+0.0000i-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660iz=Emptymatrix:0-by-1Hw1=1/(w^3*(-i)-2*w^2+w*(2*i)+1)Ht1=exp(-t)-exp(-t/2)*(cos((3^(1/2)*t)/2)-(3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/3)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是的全部極點位于s平面的左半平面，由系統(tǒng)的零極點分布圖可知，系統(tǒng)的全部極點位于s平面的左半面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。symssw;b=[101];a=[12-3332];sys=tf(b,a);[p,z]=pzmap(sys)%求取零極點subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Hw1=subs((s^2+1)/(s^5+2*s^4-3*s^3+3*s^2+3*s+2),s,j*w)Ht1=ilaplace((s^2+1)/(s^5+2*s^4-3*s^3+3*s^2+3*s+2))[Hw1w]=freqs(b,a);subplot(223);plot(w,abs(Hw1));xlabel('w');title('|H(w)|');gridon;subplot(224);plot(w,angle(Hw1));xlabel('w');title('\phi(w)');結(jié)果:p=-3.1704+0.0000i0.9669+0.9540i0.9669-0.9540i-0.3817+0.4430i-0.3817-0.4430iz=0.0000+1.0000i0.0000-1.0000iHw1=-(w^2-1)/(w^5*i+2*w^4+w^3*(3*i)-3*w^2+w*(3*i)+2)Ht1=symsum((r3^2*exp(r3*t))/(5*r3^4+8*r3^3-9*r3^2+6*r3+3),r3inRootOf(s3^5+2*s3^4-3*s3^3+3*s3^2+3*s3+2,s3))+symsum(exp(r3*t)/(5*r3^4+8*r3^3-9*r3^2+6*r3+3),r3inRootOf(s3^5+2*s3^4-3*s3^3+3*s3^2+3*s3+2,s3))因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是的全部極點位于s平面的左半平面，由系統(tǒng)的零極點分布圖可知，系統(tǒng)的部分極點位于s平面的左半面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。已知連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù)的極點位置分別如下所示（設(shè)系統(tǒng)無零點），試用MATLAB繪制6種不同情況下，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖，并繪制相應(yīng)沖激響應(yīng)的時域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)極點位置對沖激響應(yīng)時域特性的影響。(1)P=0時：b=[1];a=[10];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace(1/s)subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');（2）p=-2時：b=[1];a=[12];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace(1/(s+2))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');（3）p=2時：b=[1];a=[1-2];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖t=0:0.01:3;h=exp(2*t)subplot(212);plot(t,h);xlabel('t');title('h(t)');（4）p=2j,p=-2j時：b=[1];a=[104];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace(1/(s^2+4))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');（5）p=-1+4j,p=-1-4j時：b=[1];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace(1/(s^2+2*s+17))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');（6）p=1+4j,p=-1-4j時：b=[1];a=[1-217];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖t=0:0.01:15;h=(sin(4*t).*exp(t))/4subplot(212);plot(t,h);xlabel('t');title('h(t)');由以上六幅圖可知，系統(tǒng)函數(shù)無零點時，若所有極點均位于s平面的左半平面，那么沖激響應(yīng)的時域波形是收斂的；若所有極點位于s平面的右半平面，那么沖激響應(yīng)的時域波形是發(fā)散的；若所有極點位于虛軸上，那么沖激響應(yīng)的時域波形既不發(fā)散也不收斂。4.已知3個連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù)上述三個系統(tǒng)具有相同的極點，只是零點不同，試用MATLAB分別繪制系統(tǒng)的零極點分布圖及相應(yīng)沖激響應(yīng)的時域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)零點位置對沖激響應(yīng)時域特性的影響。b=[1];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace(1/(s^2+2*s+17))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');b=[18];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace((s+8)/(s^2+2*s+17))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');b=[1-8];a=[1217];sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);%繪制零極點分布圖Ht=ilaplace((s-8)/(s^2+2*s+17))subplot(212);symst;ezplot(t,Ht);xlabel('t');title('h(t)');由以上三幅圖可