小學(xué)奧數(shù) 循環(huán)小數(shù)計(jì)算（含答案）

循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律

進(jìn)行簡算的問題.

「；的“秘密”

1??‘)??2??K??

-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,...,-=0.857142

7777

2.推導(dǎo)以下算式

124123411234

(1)0.1=-;0.12=—=—;0.123=—=——；0.1234=^-

999339993339999

12-111123-12371234-1231111

(2)0.12=-^0.123=0.1234=

909090030090009000

1234-126111234-1137

(3)0.1234=

0.1234=-

9900495099901110

以0.1234為例，推導(dǎo)0.1234=I2"-2=里

99004950

設(shè)0.1234=A,將等式兩邊都乘以100,得：1004=12.34;

再將原等式兩邊都乘以10000,得：100064=1234.34,

1?34-12611

兩式相減得：10000A—100A=1234—12,所以A-----

99004950

3.循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論

純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)

循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與

分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)

不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差

n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0,組成分

分母

含的數(shù)字個(gè)數(shù)母，其中9在0的左側(cè)

O.abWab1ababc-a

O.Oab=——x—O.ahc=

999910990990

模塊一、循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)

【例11在小數(shù)1.80524102007上加兩個(gè)循環(huán)點(diǎn)，能得到的最小的循環(huán)小數(shù)是(注：公元2007年

10月24日北京時(shí)間18時(shí)05分，我國第一顆月球探測衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”由“長征三號(hào)甲”運(yùn)載火

箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心升空，編寫此題是為了紀(jì)念這個(gè)值得中國人民驕傲的時(shí)刻。)

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，1試

【解析】因?yàn)橐玫阶钚〉难h(huán)小數(shù)，首先找出小數(shù)部分最小的數(shù)為0,再看0后面一位上的數(shù)字，有05、

02、00、07,00最小，所以得到的最小循環(huán)小數(shù)為1.805241026。3

【答案】1.80524102007

【鞏固】給下列不等式中的循環(huán)小數(shù)添加循環(huán)點(diǎn)：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】根據(jù)循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)考慮，最小的循環(huán)小數(shù)應(yīng)該是在小數(shù)點(diǎn)后第五位出現(xiàn)最小數(shù)字1的小數(shù)，因

此一定是0：995,次小的小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第五位出現(xiàn)次小數(shù)字8,因此一定是0.199^.其后添加

的循環(huán)點(diǎn)必定使得小數(shù)點(diǎn)后第五位出現(xiàn)9,因此需要考慮第六位上的數(shù)字，所以最大的小數(shù)其循

環(huán)節(jié)中在9后一定還是9,所以最大的循環(huán)小數(shù)是0.16戰(zhàn)，而次大數(shù)為0.19藁，于是得到不等式：

0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

【答案】0.1998>0.1998>0,1998>0.1998

［例2］真分?jǐn)?shù)幺化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是1992,那么“是

7

多少？

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】」=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.714285,-=0.857142.因

777777

此，真分?jǐn)?shù)g化為小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)第一位開始每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27,又

7

因?yàn)?992+27=73...21,27-21=6,而6=2+4,所以刊=0.857142,即。=6.

7

【答案】a=6

【鞏固】真分?jǐn)?shù)色化成循環(huán)小數(shù)之后，從小數(shù)點(diǎn)后第1位起若干位數(shù)字之和是9039,貝！I”是多少？

7

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】我們知道形如且的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由1、2、4、5、7、8這6個(gè)數(shù)字組

7

成，只是各個(gè)數(shù)字的位置不同而已，那么9039就應(yīng)該由若干個(gè)完整的1+4+2+8+5+7和一個(gè)不

完整1+4+2+8+5+7組成。9039+(1+2+4+5+7+8)=33421,而21=27—6,所以最后一

個(gè)循環(huán)節(jié)中所缺的數(shù)字之和為6,經(jīng)檢驗(yàn)只有最后兩位為4,2時(shí)才符合要求，顯然，這種情況下

完整的循環(huán)節(jié)為“857142”,因此這個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該為9,所以4=6。

7

【答案】4=6

【鞏固】真分?jǐn)?shù)幺化成循環(huán)小數(shù)之后，小數(shù)點(diǎn)后第2009位數(shù)字為7,貝!I”是多少？

7

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】我們知道形如3的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由6位數(shù)字組成，2009+6=334-5,

7

因此只需判斷當(dāng)a為幾時(shí)滿足循環(huán)節(jié)第5位數(shù)是7,經(jīng)逐一檢驗(yàn)得a=3。

【答案】4=3

【鞏固】（2009年學(xué)而思杯4年級(jí)第6題）6+7所得的小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后的第2009位數(shù)字是

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】-=0.857142857142……6個(gè)數(shù)一循環(huán)，2009+6=334……5,是4

7

【答案】4

［例3］寫出下面等式右邊空白處的數(shù)，使等式能夠成立:0.6+0.06+0.006+........=2002-

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】小希望杯，4年級(jí)

【解析】0.6+0.06+0.006+.........=0.6=-=-=2002+3003

93

【答案】3003

［例4］下面有四個(gè)算式：

①0.6+0.133=0.733;

（2）0.625=-；

8

a53_3+5_8」.

14214+2162

@3-x4-=14-；

755

其中正確的算式是（）.

（A）①和②（B）②和④（C）②和③（D）①和④

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】對(duì)題中的四個(gè)算式依次進(jìn)行檢驗(yàn)：

①0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133,所以①不正確；

②0.625=*是正確的：

8

③兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加應(yīng)該先進(jìn)行通分，而非分子、分母分別相加，本算式通過士4>-1即可判斷出其不正確:

22

公.1242172-2公丁工，女

3—x4———x—=—=14一,下斤以（4j不jJ"確°

757555

那么其中正確的算式是②和④，正確答案為B。

【答案】B

【例5】在混合循環(huán)小數(shù)2.718281的某一位上再添上一個(gè)表示循環(huán)的圓點(diǎn)，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能

大，請(qǐng)寫出新的循環(huán)小數(shù)。

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】小數(shù)點(diǎn)后第7位應(yīng)盡可能大，因此應(yīng)將圈點(diǎn)點(diǎn)在8上，新的循環(huán)小數(shù)是2.718281。

【答案】2.718281

【例6］將！化成小數(shù)等于0.5,是個(gè)有限小數(shù)；將工化成小數(shù)等于0.090…，簡記為0.09,是純循環(huán)小

211

數(shù)；將1化成小數(shù)等于0.1666……，簡記為0.16,是混循環(huán)小數(shù)。現(xiàn)在將2004個(gè)分?jǐn)?shù)!，!，

623

....」一化成小數(shù)，問：其中純循環(huán)小數(shù)有多少個(gè)？

42005

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，二試

【解析】凡是分母的質(zhì)因數(shù)僅含2和5的，化成小數(shù)后為有限小數(shù)，凡是分母的質(zhì)因數(shù)不含2和5的，化

成小數(shù)后為有限小數(shù)后為純循環(huán)小數(shù)，所以本題實(shí)際上是問從2到2005的2004個(gè)數(shù)中，不含質(zhì)

因數(shù)2或5的共有多少個(gè).這2004個(gè)數(shù)中，含質(zhì)因數(shù)2的有2004+2=1002個(gè)，含質(zhì)因數(shù)5的有

20054-5=401個(gè)，既含2又含5的有2000+10=200個(gè)，所以可以化成純循環(huán)小數(shù)的有2004—

1002-401+200=801個(gè).

【答案】801

模塊二、循環(huán)小數(shù)計(jì)算

［例7］計(jì)算：0.3-0.03-0.003=（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)形式）

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

r“〃必、后》11189

【解析】原式------------=----O

330300300

89

【答案】—

300

【鞏固】計(jì)算：0.3+0.3=（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)）。

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】原式1=2

10330

19

【答案】—

30

【鞏固】請(qǐng)將算式0.1+0.01+0.001的結(jié)果寫成最簡分?jǐn)?shù).

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

一11I100+10+111137

【解析】用、式=—I---1----=

990900900900300

37

【答案】

300

[例8]計(jì)算：2.004x2.008（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，一試

….8180420063618824904706,5606

【解析】原式=2——x2——=----x----=--------------=4------

900999900999899100224775224775

)5606

【答案】4------

224775

425

[例9]將5.425x0.63=5x0.63的積寫成小數(shù)形式是.

999

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

(5x999+425)x0.63_34146

【解析】5.425x0.63=[5—|x0.63==3.4180

(999J999—9990

【答案】3.4180

【例10］計(jì)算:0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】方法一：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

112-123-234-378-789-8

---++■+++■

909090909090

11121317181216

——+--H----H---H-----1--------：=2.4

90909090909090

方法二:0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.01+0.02+0.03+0.04+0.08+0.09

=2.1+001x(1+2+3+4+8+9)

=2.14---x27=2.1+0.3=2.4

90

【答案】2.4

【鞏固】計(jì)算(1)0.291-0.192+0.375+0.526(2)0.330x0.186

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

，府必』八、后戈291192-1375526-5291+375521-191666330,

【解析】(1)原式=——+------11—+---=1

999990999990999990999990

小、…330186-1330x1855

(2)—x——

999990999x99081

【答案】(1)1(2)A

81

【例11](1)0.54+0.36=__________

???1Q

(2)1.2x1.24+—=__________

27

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

，的濟(jì)、八、上后*、54-536494899

【解■析】(1)法一：原式=-----+—=—+—=——?

90999011990

法二：將算式變?yōu)樨Q式：

0.544444

+0.363636

0.908080

ong_o

可判斷出結(jié)果應(yīng)該是0.908,化為分?jǐn)?shù)即是馬巴士899

990990

小一22419111231920

(2)原式=l-xl—+—=—x——+一=一

99927999279

【答案】嘴⑵改

9

【鞏固】⑴計(jì)算：0.16+0.142857+0.1254-0.1

19

(2)1.2x1.24+—=.

27

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】香港圣公會(huì)，希望杯，六年級(jí)，1試

16-1142857111111275

【解析】⑴原式=-------1-+--一-+--―-=-+-+—+—=---

100-10999999896789504

⑵原式=14佇+或+”20

9992799927~9

275

【答案】⑴三

504嗚

⑴()；⑵()(結(jié)果表示成循環(huán)小數(shù))

【鞏固】0.15+0.218X0.3xW2.234-0.98-11

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

31137111112345679八……

【解析】⑴原式=三2X—x—=—X—x----=—=---------------=0.012345679

I90990911199311181999999999

234-2_232…98?…二329824222

⑵2.234=24二=2——，0.98=一,所以2.234—0.98=2-----------=1——=1一,

990990999909999090

2212

(2.234-0.98)+11=1—4-11=—+—=0.09+0.02=0.113

901190

【答案】(1)0.012345679(2)0.113

［例12］0.3+0.03+0.003+=2009+（

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】中環(huán)杯，五年級(jí)，決賽

【解析】0.3+0.03+0.003+=0.3=—,所以括號(hào)中填2009x3=6027

3

【答案】6027

【例⑶計(jì)算〔藕一蕊卜蒜（結(jié)果表示為循環(huán)小數(shù)）

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】4星【題型】計(jì)算

【解析】由于」一=0.000011

=0.00001

9990099990

所以^.......-=0.00001-0.00001=0.00000000900991,

9990099990

而900991=7x13x9901=91x9901,

2009200911

所以,X=0.00000000900991x2009x——

9990099990J99019901

=0.00000000000091xllx2009=0.00000000001001x2009=0.00000002011009

【答案】0.00000002011009

【例14］某學(xué)生將1.23乘以一個(gè)數(shù)。時(shí)，把1.23誤看成L23,使乘積比正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是

多少？

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】3星【題型】計(jì)算

??33

【解析】由題意得：1.23a—1.23a=0.3,即：0.003a=0.3,所以有：—?.解得a=90,

90010

??111

所以1.23。=1.23x90=—x90=111

90

【答案】111

【例15】計(jì)算：0.1+0.125+0.3+0.16,結(jié)果保留三位小數(shù).

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】方法一：0.1+0.125M.340.16。0.1111也.1250+0.3333旬.1666=0.7359=0.736

方法二：0.1+0.125+0.3+0.16=-+-+-+—=-+-=—=0.7361

9899018872

【答案】0.736

【例16】將循環(huán)小數(shù)0.027與0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位

小數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)計(jì)算【難度】3星【題型】計(jì)算

2717967211796724856

【解析】0.027x0.179672=-----x----------=——x---------=0.004856

99999999937999999999999