小學(xué)二年級下冊 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識點(diǎn)講解第10課 枚舉法 試題附答案

，J茸二年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第10課《枚舉法》試題附答案

第十講枚舉法

例1如下圖所示，已知長方形的周長為20厘米，長和寬都是整厘米數(shù)，這

個(gè)長方形有多少種可能形狀？哪種形狀的長方形面積最大？（邊長為1厘米的正

方形的面積叫做1平方厘米）.

應(yīng)米

面只=1平方值米

例2如右圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，邊長為2厘米，沿著圖中線段從A到C

的最短長度為4厘米.問這樣的最短路線共有多少條？請一一畫出來.

例3在10和31之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)?

例4兩個(gè)整數(shù)之積為1曲，差為10,求這兩個(gè)數(shù)？

例512枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問每種硬幣各多少

個(gè)？

例6小虎給4個(gè)小朋友寫信.由于粗心，在把信紙裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了.4

個(gè)好朋友收到的都是給別人的信.向小虎裝錯(cuò)的情況共有多少種可能？

答案

第十講枚舉法

例1如下圖所示，己知長方形的周長為20厘米，長和寬都是整厘米數(shù)，這

個(gè)長方形有多少種可能形狀？哪種形狀的長方形面積最大？（邊長為1厘米的正

方形的面積叫做1平方厘米）.

t厘米

面只=1平方厘米

解：由于長方形的周長是20厘米，可知它的長與寬之和為10厘米.下面列舉

出符合這個(gè)條件的各種長方形.

長（厘米）98765

寬（匣米）12345

（注意，正方形可以說成是長與寬相等的長方形）.

下面把5種長方形按實(shí)際尺寸大小一一畫出來，見下面圖(1)~(5)

_____________________9厘米____________________

面積=9平方厘米

6厘米

面積=24平方厘米

(4)

面積=25平方厘米

(5)

例2如右圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，邊長為2厘米，沿著圖中線段從A到C

的最短長度為4厘米.問這樣的最短路線共有多少條？請一一畫出來.

解：將各種路線一一列出，可知共6條，見下圖.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

注意，如果題中不要求將路徑一一畫出，可采用如右圖所示方法較為便捷.

圖中交點(diǎn)處的數(shù)字表示到達(dá)該點(diǎn)的路線條數(shù)，如。點(diǎn)處的數(shù)字2,表示由A到。有2

條不同的路徑，見上圖中的（1）和（2）；又H點(diǎn)處的數(shù)字3的意義也如此，見

上圖中的Q）、（2）、（3）可知有3條路徑可由A到H.仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)各交

點(diǎn)處的數(shù)字之間的關(guān)系，如0點(diǎn)的2等于F點(diǎn)和E點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即1+1=2,又

如，C點(diǎn)的6等于G點(diǎn)和H點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即3+3=6.

例3在10和31之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)？

解：由嘗試法可求出答案：

3X4=123X5=153X6=183義7=21

3X8=243X9=273X10=30

可知滿足條件的數(shù)是12,15,18,21、24、27和30共7個(gè).

注意，倘若問10和1000之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，則用上述一一列舉的方

法就顯得太繁瑣了，此時(shí)可采用下述方法：

10+3=3余1,可知10以內(nèi)有3個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；

1000+3=333余1,可知1000以內(nèi)有333個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；

333-3=330,則知10~1000之內(nèi)有330個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).

由上述這些例題可體會(huì)枚舉法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)及其適用范圍.

例4兩個(gè)整數(shù)之積為1曲，差為10,求這兩個(gè)數(shù)？

解：列出兩個(gè)數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對出來：

123468912

14472483624181612

可見其中差是10的兩個(gè)數(shù)是8和18,這一對數(shù)即為所求.

例512枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問每種硬幣各多少

個(gè)？

解：列舉出兩種硬幣的可能搭配:

5分幣123456

1角幣11109876

總錢數(shù)1元1角5分1元1角1元5分1元9角5分9角

可見滿足題目要求的搭配是：四個(gè)5分幣，八個(gè)1角幣.

例6小虎給4個(gè)小朋友寫信.由于粗心，在把信紙裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了.4

個(gè)好朋友收到的都是給別人的信.問小虎裝錯(cuò)的情況共有多少種可能？

解：把4封信編號：1,2,3,4.

把小朋友編號，友1,友2,友3,友4.

并假定1號信是給友1寫的，2號信是給友2寫的，3號信是給友3的，4號信是

給友4寫的：再把各種可能的錯(cuò)裝情況列成下表：

說明：如第一種錯(cuò)收情況是友1得2號信，友2得了1號信，友3得了4號信,

友4得了3號信.

習(xí)題十

L一個(gè)長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數(shù)，問：

①這個(gè)長方形的面積有多少可能值？

②面積最大的長方形的長和寬是多少？

2.有四種不同面值的硬幣各一枚，它們的形狀也不相同，用它們共能組成

多少種不同錢數(shù)？

3.三個(gè)自然數(shù)的乘積是24,問由這樣的三個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組有多少個(gè)？如

(1,2,12)就是其中的一個(gè)，而且要注意數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作

同一數(shù)組，如(1,2,12)和(2,12,1)是同一蹶組.

4.小虎給3個(gè)小朋友寫信，由于粗心，把信裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了，結(jié)果3

個(gè)小朋友收到的都不是給自己的信，請問小虎錯(cuò)裝的情況共有多少種可能？

5.一個(gè)學(xué)生假期住A、B、C三個(gè)城市游覽.他今天在這個(gè)城市，明天就到另

一個(gè)城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.問他的游覽路線共有幾種不

同的方案？

6.下圖中有6個(gè)點(diǎn)，9條線段，一只甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到

F點(diǎn).行進(jìn)中甲蟲只能向右、向下或向右下方運(yùn)動(dòng).問這只甲蟲有多少種不同的走

法？

7.小明有一套黃色數(shù)字卡片、、，有一套藍(lán)色數(shù)字卡片、、.一天他偶然用

卡片做了下面的游戲：把不同色的卡片交叉配對，一次配成3對，然后把每對卡

片上的黃藍(lán)數(shù)字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少種配對相乘求和

的方式嗎？比如說下面是其中一種：

苗,芾法蕾法

臼x*目x[D+[|]xm=iL

8.五個(gè)學(xué)生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩，他們將各自的書包放在

了一處.分手時(shí)友1帶頭開了個(gè)玩笑，他把友2小朋友的書包拿走了，后來其他的

小朋友也都拿了別人的書包.試問在這次玩笑中故意錯(cuò)拿書包的情形有多少種不

同方式？

二年級奧數(shù)下冊：第十講枚舉法習(xí)題解答

習(xí)題十解答

1.解：這個(gè)長方形的長和寬之和是22+2=11（米），由長方形的面積=長、

寬，可知：

長（米）109876

寬（米）12345

面積（平方米）1018242830

由上表可見面積最大的長方形的長是6米、寬是5米，面積是30平方米.

猜想：由本講的例1和習(xí)題1這兩題來看，周長一定的所有長方形中，長和

寬相等或相近那個(gè)長方形面積最大.這是有名的“等周問題”的特例.

2.解：把各種不同的組合及其對應(yīng)的錢數(shù)列表枚舉如下：

枚數(shù)錢數(shù)

(1)(2)(3)(4)

1枚

192,4,8.

(1+2),(1+4),(1+8),(2+4),(2+8),(4+8)

2枚

35961012

(1+2+4)>(1+2%),(1+4用),(2+4用)

3枚

7111314

(1+2+4+8)

4枚

15

數(shù)一數(shù)可知，能組成15種不同的錢數(shù).注意它們是從1到15的15個(gè)自然數(shù):

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.

3.解：不計(jì)數(shù)組中數(shù)的順序，所有乘積為24的三個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組共有6

組，枚舉如下：

Cl，1,24),(1,2,12),(1,3,8),

(1,4,6),(2,2,6),(2,3,4).

4.解：把三封信編號為1號、2號、3號；

把三個(gè)小朋友編號為友1、友2、友3；1號、2號、3號信應(yīng)該分別發(fā)給友1、

友2、友3。

按題意，友1沒有收到給自己的1號信，他只可能收到2號或3號信.

當(dāng)友1收到2號信時(shí)，友2只可能收到3號信，則友3收到1號信；

當(dāng)友1收到3號信時(shí)，友2只可能收到1號信，則友3收到2號信.

可見共有2種可能的錯(cuò)裝情況，列表更為清楚，

可能情況第一種第二種

友123

友231

友312

5.解：請看下面的樹形圖.

第一天

第二天

第三天

第四天

第五天

可見他第五天回到A市的不同游覽路線共有6種，分別是：

①AfBfA—BfA④A—A—B—A

②BfA—CfA⑤AmfA

③AfB~*CfBfAC->B-C->A.

6.解：經(jīng)過E點(diǎn)的有3條路線，不經(jīng)過E點(diǎn)的有2條路線，共有5條不同的路

線，見下圖.

B

7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配對相乘求和方式:

q123

1

123

11X1+2X2+3X3=1+4+9=14

可123

1

132

11X1+2X3+3X2=1+6+6=13

倒123

A

131X2+2X1+3X3=2+2+9=13

到123

1

031

41X2+2X3+3X1=2+6+3=11

倒

123

1

C12

O1X3+2X1+3X2=3+2+6=11

⑥修;）1X3+2X2+3X1=3+4+3=10

可見共有6種不同的配對相乘求和方式，其中第①種情況（可叫做同序配

對）各乘積之和最大，第⑥種情況（可叫做逆序配對）各乘積之和最小.

如果你感興趣，可以進(jìn)一步問，這個(gè)結(jié)果有普遍性嗎？我們再進(jìn)一步探討

一下：

1.假設(shè)黃卡片只有臼和囪兩張，藍(lán)卡片也是兩張臼和目，

顯然只有兩種配對情況：

①同序配對：（；91X1+2X2=5,

②逆序配對：（；；）1X2+2X1=4.

結(jié)果和上述相同.

2.假如黃藍(lán)卡片各有4張，不同的配對方式有很多.

（4X3X2X1=24種，