2024年人教版七年級數(shù)學(xué)寒假提高講義 第06課 算術(shù)平方根與平方根（教師版）

第第頁第06課算術(shù)平方根與平方根課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用計算器求平方根.知識精講知識精講知識點01平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作SKIPIF1<0，讀作“a的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：（1）當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.（2）負(fù)數(shù)沒有算數(shù)平方根；（3）算數(shù)平方根等于本身的數(shù)有：0和1；（4）算數(shù)平方根平方等于原來的數(shù)；（5）注意SKIPIF1<0運算結(jié)果的非負(fù)性；2.平方根的定義如果，那么x叫做a的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.注意：（1）非負(fù)數(shù)才有平方根；（2）負(fù)數(shù)沒有平方根；（3）平方根等于本身的數(shù)是：0；（4）一個正數(shù)有2個平方根，他們互為相反數(shù)；（5）平方根平方等于原來的數(shù)；知識點02平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2.聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0.注意：算術(shù)平方根平方根定義若正數(shù)x，SKIPIF1<0，正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，SKIPIF1<0若數(shù)x，SKIPIF1<0，數(shù)x叫做a的平方根，SKIPIF1<0a的范圍SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0SKIPIF1<0正數(shù)有一個算術(shù)平方根，是正數(shù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)0的算術(shù)平方根是00的平方根是0負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根負(fù)數(shù)沒有平方根知識點03平方根的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點04平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）每移動兩位，算術(shù)平方根的小數(shù)點向右（左）移動一位。例如：，，，.能力拓展能力拓展考法01算數(shù)平方根與平方根的計算【典例1】16的算術(shù)平方根是___________.【答案】4【典例2】9的平方根是_________.【答案】±3【典例3】SKIPIF1<0的平方根是____.【答案】±3【即學(xué)即練】SKIPIF1<0的平方根是.【答案】±2.考法02利用平方根解方程【典例4】求下列各式中的x值：(1)169x2＝144；(2)(x－2)2－36＝0.解：(1)169x2＝144，移項得：x2＝SKIPIF1<0，解得：x＝±SKIPIF1<0.(2)(x－2)2－36＝0，移項得：(x－2)2＝36，開方得：x-2=6或x-2=-6解得：x＝8或x＝－4.【即學(xué)即練】利用平方根求下列x的值：(1)（x+1）2=16.(2)3(x+2)2=27(3)64（x+1）2﹣25=0.詳解：(1)開方，得x+1=±4，則x=3或x=﹣5.(2)(x+2)2=SKIPIF1<0,x+2=±SKIPIF1<0,x=1或-5；

(3)方程整理得：（x+1）2=SKIPIF1<0，開方得：x+1=±SKIPIF1<0，解得：x1=﹣SKIPIF1<0，x1=﹣SKIPIF1<0.考法03平方根和算數(shù)平方根的逆運算【典例5】已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平方根.解：∵2a﹣1的平方根為±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；∵3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根為：±3.【即學(xué)即練】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算術(shù)平方根是4，求：3a-4b的平方根.解：根據(jù)題意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，即a=4，b=-1，∴3a-4b=16，∴3a-4b的平方根是±SKIPIF1<0.【即學(xué)即練】如果一個正數(shù)m的兩個平方根分別是2a－3和a－9，求2m－2的值.解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a－3和a－9，∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a=4，∴這個正數(shù)為(2a－3)2=52=25，∴2m－2=2×25－2=48；【即學(xué)即練】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，∴2m+2=16，3m+n+1=25，聯(lián)立解得，m=7，n=3，∴m+2n=7+2×3=13.考法04算數(shù)平方根結(jié)果的非負(fù)性【典例6】已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為相反數(shù).（1）求2a－3b的平方根；（2）解關(guān)于x的方程SKIPIF1<0.詳解：（1）由相反數(shù)的定義得：SKIPIF1<0由絕對值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的平方根為SKIPIF1<0；（2）方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【即學(xué)即練】已知SKIPIF1<0+|y-17|=0，求x+y的算術(shù)平方根.解：根據(jù)題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則x+y=25，算術(shù)平方根是：SKIPIF1<0.考法05算數(shù)平方根小數(shù)點移動規(guī)律【典例7】觀察下表，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_______.【答案】387.3【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0≈6.172，SKIPIF1<0≈19.517，則SKIPIF1<0≈__.【答案】617.2【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0_______.【答案】44.72【即學(xué)即練】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=________.【答案】SKIPIF1<0考法06平方根的性質(zhì)應(yīng)用【典例8】實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是_____________【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】實數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在數(shù)軸上的位置，化簡SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】已知實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡|1﹣a|+SKIPIF1<0的結(jié)果為_____.【答案】1-2a考法07算數(shù)平方根的估算【典例9】SKIPIF1<0的小數(shù)部分是__________.【答案】SKIPIF1<0-3【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0的整數(shù)部分為SKIPIF1<0，小數(shù)部分為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.答案為3，SKIPIF1<0﹣3.【即學(xué)即練】已知a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且a<SKIPIF1<0<b，則a＋b＝____.【答案】11【即學(xué)即練】已知a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且a<SKIPIF1<0<b，則a＋b＝___________.【答案】15考法08找規(guī)律【典例10】請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值SKIPIF1<0_______.【答案】351【即學(xué)即練】觀察下列各式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的等式表示出來__________________.【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】歸納并猜想:(1)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;

(2)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;

(3)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;

(4)猜想:當(dāng)n為正整數(shù)時,SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____,并把小數(shù)部分表示出來為____.【答案】l23nSKIPIF1<0【即學(xué)即練】觀察分析下列數(shù)據(jù)，并尋找規(guī)律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，根據(jù)規(guī)律可知第n個數(shù)據(jù)應(yīng)是__________.【答案】SKIPIF1<0分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.SKIPIF1<0的算術(shù)平方根為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B2.下列說法中錯誤的是（）A.SKIPIF1<0是0.25的一個平方根B.正數(shù)a的兩個平方根的和為0C.SKIPIF1<0的平方根是SKIPIF1<0D.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0沒有平方根【答案】C3.實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡SKIPIF1<0的結(jié)果為（）A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【答案】C4.已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值為（）A.-1B.1C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A5.若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值是（）A.2B.1C.0D.SKIPIF1<0【答案】B6.下列計算正確的是（）A.SKIPIF1<0＝±3B.SKIPIF1<0＝﹣2C.SKIPIF1<0＝﹣3D.SKIPIF1<0【答案】B7.SKIPIF1<0的平方根是SKIPIF1<0,用式子表示正確的是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B8.一個正方形的面積是15，估計它的邊長大小在（）A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間【答案】B9.一個正數(shù)a的平方根是2x﹣3與5﹣x，則這個正數(shù)a的值是（）A.25B.49C.64D.81【答案】B10.若2m－4與3m－1是同一個數(shù)的平方根，則m的值是（）A.－3B.－1C.1D.－3或1【答案】D題組B能力提升練11.16的平方根是.【答案】±4.12.已知a、b滿足（a﹣1）2+SKIPIF1<0=0，則a+b=_____.【答案】﹣113.一個正數(shù)的平方根分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__.【答案】2.14.如果SKIPIF1<0的小數(shù)部分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的整數(shù)部分為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=______【答案】115.若(x﹣1)2=4，則x=_____.【答案】x＝3或-116.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________________.【答案】1.0117.代數(shù)式－3－SKIPIF1<0的最大值為_______，這時a與b的關(guān)系是_______.【答案】－3互為相反數(shù)18.觀察下列等式：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；……，則第n（n為正整數(shù)）個等式是__.【答案】SKIPIF1<0題組C培優(yōu)拔尖練19.解方程.（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0解：（1）系數(shù)化為1得：SKIPIF1<0，兩邊同時開平方得：SKIPIF1<0；（2）系數(shù)化為1得：SKIPIF1<0，兩邊同時開平方得：SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）移項得：SKIPIF1<0兩邊同時開平方得：SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.20.已知2a-1的算術(shù)平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分，求a+2b-c的平方根.解：∵2a?1的算術(shù)平方根是3，3a+b?1的平方根是±4，∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∵9<13<16，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的整數(shù)部分是3，即c=3，∴原式SKIPIF1<06的平方根是SKIPIF1<021.已知SKIPIF1<0的立方根是3，SKIPIF1<0的算術(shù)平方根是4，c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分.（1）求a，b，c的值；（2）求SKIPIF1<0的平方根.解：(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算術(shù)平方根是4，∴5a+2=27，3a+b-1=16，∴a=5，b=2，∵c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分，∴c=3，（2）∵a=5,b=2,c=3,∴3a-b+c=16，3a-b+c的平方根是±4.22.實數(shù)SKIPIF1<0.在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：SKIPIF1<0.解：由圖知a＜0＜b，且|a|＜|b|，則原式=b﹣a+a﹣（a+b）=b﹣a+a﹣a﹣b=﹣a.23.有兩個十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳，他們善于將所做的題目進行歸類，下面是他們的探究過程.(1)解題與歸納①小明摘選了以下各題，請你幫他完成填空.SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；②歸納：對于任意數(shù)a,有SKIPIF1<0＝③小芳摘選了以下各題，請你幫她完成填空.SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；SKIPIF1<0＝；④歸納：對于任意非負(fù)數(shù)a,有SKIPIF1<0＝(2)應(yīng)用：根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論，解答問題.數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：SKIPIF1<0