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第第頁第06課算術(shù)平方根與平方根課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解平方根、算術(shù)平方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根.2.了解開方與乘方互為逆運算,會用開方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用計算器求平方根.知識精講知識精講知識點01平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于,即,那么這個正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0);的算術(shù)平方根記作SKIPIF1<0,讀作“a的算術(shù)平方根”,叫做被開方數(shù).注意:(1)當(dāng)式子有意義時,一定表示一個非負(fù)數(shù),即≥0,≥0.(2)負(fù)數(shù)沒有算數(shù)平方根;(3)算數(shù)平方根等于本身的數(shù)有:0和1;(4)算數(shù)平方根平方等于原來的數(shù);(5)注意SKIPIF1<0運算結(jié)果的非負(fù)性;2.平方根的定義如果,那么x叫做a的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算,叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為,其中是的算術(shù)平方根.注意:(1)非負(fù)數(shù)才有平方根;(2)負(fù)數(shù)沒有平方根;(3)平方根等于本身的數(shù)是:0;(4)一個正數(shù)有2個平方根,他們互為相反數(shù);(5)平方根平方等于原來的數(shù);知識點02平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別:(1)定義不同;(2)結(jié)果不同:和2.聯(lián)系:(1)平方根包含算術(shù)平方根;(2)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù);(3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0.注意:算術(shù)平方根平方根定義若正數(shù)x,SKIPIF1<0,正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,SKIPIF1<0若數(shù)x,SKIPIF1<0,數(shù)x叫做a的平方根,SKIPIF1<0a的范圍SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0SKIPIF1<0正數(shù)有一個算術(shù)平方根,是正數(shù)正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)0的算術(shù)平方根是00的平方根是0負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根負(fù)數(shù)沒有平方根知識點03平方根的性質(zhì)(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點04平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右(左)每移動兩位,算術(shù)平方根的小數(shù)點向右(左)移動一位。例如:,,,.能力拓展能力拓展考法01算數(shù)平方根與平方根的計算【典例1】16的算術(shù)平方根是___________.【答案】4【典例2】9的平方根是_________.【答案】±3【典例3】SKIPIF1<0的平方根是____.【答案】±3【即學(xué)即練】SKIPIF1<0的平方根是.【答案】±2.考法02利用平方根解方程【典例4】求下列各式中的x值:(1)169x2=144;(2)(x-2)2-36=0.解:(1)169x2=144,移項得:x2=SKIPIF1<0,解得:x=±SKIPIF1<0.(2)(x-2)2-36=0,移項得:(x-2)2=36,開方得:x-2=6或x-2=-6解得:x=8或x=-4.【即學(xué)即練】利用平方根求下列x的值:(1)(x+1)2=16.(2)3(x+2)2=27(3)64(x+1)2﹣25=0.詳解:(1)開方,得x+1=±4,則x=3或x=﹣5.(2)(x+2)2=SKIPIF1<0,x+2=±SKIPIF1<0,x=1或-5;
(3)方程整理得:(x+1)2=SKIPIF1<0,開方得:x+1=±SKIPIF1<0,解得:x1=﹣SKIPIF1<0,x1=﹣SKIPIF1<0.考法03平方根和算數(shù)平方根的逆運算【典例5】已知2a﹣1的平方根為±3,3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4,求a+2b的平方根.解:∵2a﹣1的平方根為±3,∴2a﹣1=9,解得,2a=10,a=5;∵3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4,∴3a+b﹣1=16,即15+b﹣1=16,解得b=2,∴a+2b=5+4=9,∴a+2b的平方根為:±3.【即學(xué)即練】已知2a+1的平方根是±3,5a+2b-2的算術(shù)平方根是4,求:3a-4b的平方根.解:根據(jù)題意得:2a+1=32=9,5a+2b-2=16,即a=4,b=-1,∴3a-4b=16,∴3a-4b的平方根是±SKIPIF1<0.【即學(xué)即練】如果一個正數(shù)m的兩個平方根分別是2a-3和a-9,求2m-2的值.解:∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a-3和a-9,∴(2a-3)+(a-9)=0,解得a=4,∴這個正數(shù)為(2a-3)2=52=25,∴2m-2=2×25-2=48;【即學(xué)即練】已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+2n的值.解:∵2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,∴2m+2=16,3m+n+1=25,聯(lián)立解得,m=7,n=3,∴m+2n=7+2×3=13.考法04算數(shù)平方根結(jié)果的非負(fù)性【典例6】已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為相反數(shù).(1)求2a-3b的平方根;(2)解關(guān)于x的方程SKIPIF1<0.詳解:(1)由相反數(shù)的定義得:SKIPIF1<0由絕對值的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性得:SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的平方根為SKIPIF1<0;(2)方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.【即學(xué)即練】已知SKIPIF1<0+|y-17|=0,求x+y的算術(shù)平方根.解:根據(jù)題意得:SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,則x+y=25,算術(shù)平方根是:SKIPIF1<0.考法05算數(shù)平方根小數(shù)點移動規(guī)律【典例7】觀察下表,按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空已知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為_______.【答案】387.3【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0≈6.172,SKIPIF1<0≈19.517,則SKIPIF1<0≈__.【答案】617.2【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0_______.【答案】44.72【即學(xué)即練】已知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0=________.【答案】SKIPIF1<0考法06平方根的性質(zhì)應(yīng)用【典例8】實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示,化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是_____________【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】實數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在數(shù)軸上的位置,化簡SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】已知實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖,則化簡|1﹣a|+SKIPIF1<0的結(jié)果為_____.【答案】1-2a考法07算數(shù)平方根的估算【典例9】SKIPIF1<0的小數(shù)部分是__________.【答案】SKIPIF1<0-3【即學(xué)即練】若SKIPIF1<0的整數(shù)部分為SKIPIF1<0,小數(shù)部分為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.答案為3,SKIPIF1<0﹣3.【即學(xué)即練】已知a,b為兩個連續(xù)的整數(shù),且a<SKIPIF1<0<b,則a+b=____.【答案】11【即學(xué)即練】已知a,b為兩個連續(xù)的整數(shù),且a<SKIPIF1<0<b,則a+b=___________.【答案】15考法08找規(guī)律【典例10】請先在草稿紙上計算下列四個式子的值:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0,觀察你計算的結(jié)果,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值SKIPIF1<0_______.【答案】351【即學(xué)即練】觀察下列各式:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,……請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來__________________.【答案】SKIPIF1<0【即學(xué)即練】歸納并猜想:(1)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;
(2)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;
(3)SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____;
(4)猜想:當(dāng)n為正整數(shù)時,SKIPIF1<0的整數(shù)部分為____,并把小數(shù)部分表示出來為____.【答案】l23nSKIPIF1<0【即學(xué)即練】觀察分析下列數(shù)據(jù),并尋找規(guī)律:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,根據(jù)規(guī)律可知第n個數(shù)據(jù)應(yīng)是__________.【答案】SKIPIF1<0分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.SKIPIF1<0的算術(shù)平方根為()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B2.下列說法中錯誤的是()A.SKIPIF1<0是0.25的一個平方根B.正數(shù)a的兩個平方根的和為0C.SKIPIF1<0的平方根是SKIPIF1<0D.當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0沒有平方根【答案】C3.實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,且|a|>|b|,則化簡SKIPIF1<0的結(jié)果為()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【答案】C4.已知SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的值為()A.-1B.1C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A5.若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值是()A.2B.1C.0D.SKIPIF1<0【答案】B6.下列計算正確的是()A.SKIPIF1<0=±3B.SKIPIF1<0=﹣2C.SKIPIF1<0=﹣3D.SKIPIF1<0【答案】B7.SKIPIF1<0的平方根是SKIPIF1<0,用式子表示正確的是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B8.一個正方形的面積是15,估計它的邊長大小在()A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間【答案】B9.一個正數(shù)a的平方根是2x﹣3與5﹣x,則這個正數(shù)a的值是()A.25B.49C.64D.81【答案】B10.若2m-4與3m-1是同一個數(shù)的平方根,則m的值是()A.-3B.-1C.1D.-3或1【答案】D題組B能力提升練11.16的平方根是.【答案】±4.12.已知a、b滿足(a﹣1)2+SKIPIF1<0=0,則a+b=_____.【答案】﹣113.一個正數(shù)的平方根分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0__.【答案】2.14.如果SKIPIF1<0的小數(shù)部分為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的整數(shù)部分為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0=______【答案】115.若(x﹣1)2=4,則x=_____.【答案】x=3或-116.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0__________________.【答案】1.0117.代數(shù)式-3-SKIPIF1<0的最大值為_______,這時a與b的關(guān)系是_______.【答案】-3互為相反數(shù)18.觀察下列等式:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;……,則第n(n為正整數(shù))個等式是__.【答案】SKIPIF1<0題組C培優(yōu)拔尖練19.解方程.(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0解:(1)系數(shù)化為1得:SKIPIF1<0,兩邊同時開平方得:SKIPIF1<0;(2)系數(shù)化為1得:SKIPIF1<0,兩邊同時開平方得:SKIPIF1<0;即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(3)移項得:SKIPIF1<0兩邊同時開平方得:SKIPIF1<0;即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.20.已知2a-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-1的平方根是±4,c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分,求a+2b-c的平方根.解:∵2a?1的算術(shù)平方根是3,3a+b?1的平方根是±4,∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∵9<13<16,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的整數(shù)部分是3,即c=3,∴原式SKIPIF1<06的平方根是SKIPIF1<021.已知SKIPIF1<0的立方根是3,SKIPIF1<0的算術(shù)平方根是4,c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分.(1)求a,b,c的值;(2)求SKIPIF1<0的平方根.解:(1)∵5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,∴5a+2=27,3a+b-1=16,∴a=5,b=2,∵c是SKIPIF1<0的整數(shù)部分,∴c=3,(2)∵a=5,b=2,c=3,∴3a-b+c=16,3a-b+c的平方根是±4.22.實數(shù)SKIPIF1<0.在數(shù)軸上的位置如圖所示,請化簡:SKIPIF1<0.解:由圖知a<0<b,且|a|<|b|,則原式=b﹣a+a﹣(a+b)=b﹣a+a﹣a﹣b=﹣a.23.有兩個十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳,他們善于將所做的題目進行歸類,下面是他們的探究過程.(1)解題與歸納①小明摘選了以下各題,請你幫他完成填空.SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;②歸納:對于任意數(shù)a,有SKIPIF1<0=③小芳摘選了以下各題,請你幫她完成填空.SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;SKIPIF1<0=;④歸納:對于任意非負(fù)數(shù)a,有SKIPIF1<0=(2)應(yīng)用:根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論,解答問題.數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:SKIPIF1<0
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