【預習】第10講 復數(shù)的概念（原卷版）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）

第第頁第10講復數(shù)的概念【學習目標】1、了解從實數(shù)系到復數(shù)系的擴充過程和方法．2、研究復數(shù)的表示、運算及其幾何意義．【考點目錄】考點一：復數(shù)的基本概念考點二：復數(shù)相等考點三：復數(shù)的幾何意義考點四：復數(shù)的?？键c五：復數(shù)的軌跡與最值問題【基礎知識】知識點一：復數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位數(shù)叫做虛數(shù)單位，它的平方等于，即．知識點詮釋：①是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；②可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立．2、復數(shù)的概念形如（）的數(shù)叫復數(shù)，記作：（）；其中：叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位．全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母表示．知識點詮釋：復數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復數(shù)的重要依據(jù)．3、復數(shù)的分類對于復數(shù)（）若b=0，則a+bi為實數(shù)，若b≠0，則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．分類如下：（）用集合表示如下圖：4、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實數(shù)集，為復數(shù)集．）5、共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．通常記復數(shù)的共軛復數(shù)為．知識點二：復數(shù)相等的充要條件兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等．即：如果，那么特別地：．知識點詮釋：（1）一個復數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復數(shù)就唯一確定；反之一樣．根據(jù)復數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大?。绻麅蓚€復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大??；也只有當兩個復數(shù)全是實數(shù)時才能比較大?。R點三：復數(shù)的幾何意義1、復平面、實軸、虛軸：如圖所示，復數(shù)（）可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．知識點詮釋：實軸上的點都表示實數(shù)．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．2、復數(shù)集與復平面內點的對應關系按照復數(shù)的幾何表示法，每一個復數(shù)有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應．復數(shù)集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數(shù)復平面內的點這是復數(shù)的一種幾何意義．3、復數(shù)集與復平面中的向量的對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數(shù)對來表示，而有序實數(shù)對與復數(shù)是一一對應的，所以，我們還可以用向量來表示復數(shù)．設復平面內的點表示復數(shù)（），向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定．復數(shù)集C和復平面內的向量所成的集合是一一對應的，即復數(shù)平面向量這是復數(shù)的另一種幾何意義．4、復數(shù)的模設（），則向量的長度叫做復數(shù)的模，記作．即．知識點詮釋：①兩個復數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大?。趶推矫鎯?，表示兩個共軛復數(shù)的點關于x軸對稱，并且他們的模相等．【考點剖析】考點一：復數(shù)的基本概念例1．若（）為實數(shù)，（）是純虛數(shù)，則復數(shù)為（）A． B． C． D．例2．設集合，，，則，，間的關系為（）A． B． C． D．例3．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位）（1）復數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）復數(shù)z是虛數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）復數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.考點二：復數(shù)相等例4．當x?y為何實數(shù)時，復數(shù)等于2？例5．）已知復數(shù)，若，則___________.考點三：復數(shù)的幾何意義例6．復數(shù)z滿足，則對應復平面內的點的坐標為（）A． B． C． D．例7．設是復數(shù)的共軛復數(shù).在復平面內，復數(shù)與對應的點關于軸對稱，則（）A． B． C． D．考點四：復數(shù)的模例8．已知復數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1例9．已知復數(shù)z的模為10，虛部為6，則復數(shù)z為______．考點五：復數(shù)的軌跡與最值問題例10．若復數(shù)滿足，則的最大值是______.例11．設復數(shù)滿足，則=__________.【真題演練】1．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．33．當時，復數(shù)在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在復平面內，與復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知，且．若，則的最大值是（

）A．6 B．5 C．4 D．36．復平面內，若復數(shù)滿足，則所對應的點的集合構成的圖形是（

）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．雙曲線.7．已知，，則z等于（

）A． B． C． D．8．當時，復數(shù)在平面上對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．10．已知實數(shù)m滿足，求m及x的值．【過關檢測】一、單選題1．已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．02．已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則z的共軛復數(shù)為（

）A． B． C． D．4．設，復數(shù)，若為純虛數(shù)，則（

）A．3或 B．3 C．或 D．5．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．96．若，，則復數(shù)等于（

）A． B． C． D．7．已知復數(shù)z滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知復數(shù)①在復平面內對應點的坐標為(1，－1)；②復數(shù)的虛部為；③復數(shù)的共軛復數(shù)為；④；⑤復數(shù)是方程在復數(shù)范圍內的一個根.以上5個結論中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．下列關于的說法中正確的有（

）A．表示點與點之間的距離 B．表示點與點之間的距離C．表示點到原點的距離 D．表示坐標為的向量的模10．下列說法中正確的有（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若是純虛數(shù)，則實數(shù)C．若，則為實數(shù)D．若，且，則11．（多選）若，且，則等于（

）A．4 B． C．2 D．012．設復數(shù)，（R），對應的向量分別為（為坐標原點），則（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則的最大值為三、填空題13．復數(shù)z的虛部為，在復平面內復數(shù)z對應的向量的模為2，則復數(shù)_______________.14．若復數(shù)（）在復平面上對應的點位于第二象限，則m的取值范圍是_______.15．若，且，則的最大值是_______．16．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值是___________.四、解答題17．當實數(shù)為何值時，復數(shù)在復平面內的對應點滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于實軸負半軸上（不含原點）；(3)在上半平面（含實軸）．18．在復平面內A，B，C的對應的復數(shù)分別為．(1)求；(2)判定的形狀．19．已知復數(shù)（）.試求實數(shù)分別為什么值時，分別為：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).20．已知復數(shù)z=m（