【預(yù)習(xí)】第10講 復(fù)數(shù)的概念（教師卷）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）

第第頁第10講復(fù)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程和方法．2、研究復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)的?？键c(diǎn)五：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位數(shù)叫做虛數(shù)單位，它的平方等于，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；②可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．2、復(fù)數(shù)的概念形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)．3、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)（）若b=0，則a+bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．分類如下：（）用集合表示如下圖：4、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集．）5、共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．知識(shí)點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即：如果，那么特別地：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣．根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小．如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大?。R(shí)點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：如圖所示，復(fù)數(shù)（）可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸．知識(shí)點(diǎn)詮釋：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．3、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)．設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（），向量由點(diǎn)唯一確定；反過來，點(diǎn)也可以由向量唯一確定．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)平面向量這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義．4、復(fù)數(shù)的模設(shè)（），則向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模，記作．即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小．②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，并且他們的模相等．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念例1．若（）為實(shí)數(shù)，（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，所以．故選：C．例2．設(shè)集合，，，則，，間的關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)包含虛數(shù)和實(shí)數(shù)，虛數(shù)包含純虛數(shù)和非純虛數(shù)的虛數(shù)．因此只有B正確．故選：B．例3．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.【解析】（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則，解得或；（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，則，解得且且；（3）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等例4．當(dāng)x?y為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)等于2？【解析】根據(jù)題意可知，實(shí)部等于2，虛部等于0，即，解方程得，，，所以或或或.故答案為：或或或.例5．）已知復(fù)數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】解：因?yàn)樗?，解得所以故答案為：考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義例6．復(fù)數(shù)z滿足，則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)復(fù)數(shù)，則有：則有：故有：解得：故選：B例7．設(shè)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設(shè)，則，，依題意得，解得，∴，.故選：B.考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)的模例8．已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由題意，.故選：D.例9．已知復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為6，則復(fù)數(shù)z為______．【答案】【解析】設(shè)，則﹒故答案為：考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題例10．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.【答案】3【解析】設(shè)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示在復(fù)平面內(nèi)，到的距離，則最大值為，故答案為：3例11．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=__________.【答案】0【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，由，可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以，由可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以，由可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以，又由，解得，所以.故答案為：.【真題演練】1．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.2．已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【解析】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.3．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由題設(shè)知：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由，則，故點(diǎn)在第四象限.故選：D4．在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)得點(diǎn)為，位于第二項(xiàng)限.故選：B5．已知，且．若，則的最大值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】設(shè)，，故，，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為4.故選：C6．復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)滿足，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形是（

）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．雙曲線.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，整理可得：，所以所?duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形是直線，故選：B.7．已知，，則z等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，解得，，即.故選：D8．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，點(diǎn)在第四象限．9．i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．【答案】4－4i【解析】是周期為4的運(yùn)算，，，，…，代入原式得.故答案為：10．已知實(shí)數(shù)m滿足，求m及x的值．【解析】實(shí)數(shù)m滿足，則，∴，解得，.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故，則，解得.故選：B2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故其共軛復(fù)數(shù)為，故選：B.4．設(shè)，復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（

）A．3或 B．3 C．或 D．【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故選：B5．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因?yàn)?，所?，當(dāng)時(shí)，.故選：A.6．若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得，故．故選：B．7．已知復(fù)數(shù)z滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，整理得：,所以，消去得,因?yàn)榉匠逃薪猓?，解得?故選：D.8．已知復(fù)數(shù)①在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)；②復(fù)數(shù)的虛部為；③復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為；④；⑤復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，所以①正確；復(fù)數(shù)的虛部為，所以②錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以③錯(cuò)誤；，所以④正確；方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，所以復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，所以⑤正確；所以正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C.二、多選題9．下列關(guān)于的說法中正確的有（

）A．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離 B．表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離C．表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 D．表示坐標(biāo)為的向量的模【答案】ACD【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，故A正確；，可表示為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故C正確；，故B錯(cuò)誤；與向量一一對(duì)應(yīng)，則可表示坐標(biāo)為的向量的模，故D正確.故選：ACD.10．下列說法中正確的有（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)C．若，則為實(shí)數(shù)D．若，且，則【答案】CD【解析】對(duì)于A中，當(dāng)，可得的不是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，此時(shí)不是純虛數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，所以為實(shí)數(shù)，所以C正確；對(duì)于D中，由，且，所以，所以D正確．故選：CD11．（多選）若，且，則等于（

）A．4 B． C．2 D．0【答案】AD【解析】因?yàn)椋?，所以，解得或，所以?．故選：AD12．設(shè)復(fù)數(shù)，（R），對(duì)應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】對(duì)A，；對(duì)B，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，故，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則，即，因?yàn)椋?，即，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，即，其幾何意義為到的距離小于等于，又的幾何意義為到的距離，故的最大值為故D正確；故選：AD三、填空題13．復(fù)數(shù)z的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2，則復(fù)數(shù)_______________.【答案】或【解析】設(shè)，則有，解得或，所以或，故答案為：或.14．若復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則m的取值范圍是_______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.可得解得.故答案為：15．若，且，則的最大值是_______．【答案】【解析】，則復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，表示到點(diǎn)的距離，∵，所以=的最大值為．故答案為：．16．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值是___________.【答案】【解析】設(shè)，，則，即，兩邊平方得：，整理得：，兩邊平方得：，將代入中，可得：，所以，則故答案為：四、解答題17．當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于實(shí)軸負(fù)半軸上（不含原點(diǎn)）；(3)在上半平面（含實(shí)軸）．【解析】（1）要使點(diǎn)位于第四象限，則有∴∴；（2）要使點(diǎn)位于實(shí)軸負(fù)半軸上（不含原點(diǎn)），則有∴∴；（3）要使點(diǎn)在上半平面（含實(shí)軸），則有，解得或．18．在復(fù)平面內(nèi)A，B，C的對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為．(1)求；(2)判定的形狀．【解析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得，，，所以，同理：，．（2）由（1）得，故，所以為直角三角形.19．已知復(fù)數(shù)（）.試求實(shí)數(shù)分別為什么值時(shí)，分別為：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【解析】（1）因?yàn)椋ǎ閷?shí)數(shù)，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).（2）因?yàn)椋ǎ樘摂?shù)，所以，解得且.所以，當(dāng)時(shí)，為虛數(shù).（3）因?yàn)椋ǎ榧兲摂?shù)，所以，，解得.所以，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù).20．已知復(fù)數(shù)z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得或且，，所以.（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則，解得，故的取值范圍為.21．已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．