【預習】第06講 平面向量的概念（原卷版）-【寒假銜接講義】高一數學寒假講義練習（新人教A專用）

第第頁第06講平面向量的概念【學習目標】1、了解向量的實際背景和概念．2、清楚向量的幾何表示．3、區(qū)分相等向量與共線向量．【考點目錄】考點一：向量的基本概念考點二：向量的表示方法考點三：利用向量相等或共線進行證明考點四：向量知識在實際問題中的簡單應用【基礎知識】知識點一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．知識點詮釋：（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數量的區(qū)別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識點二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點三：向量的有關概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．知識點詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量．知識點詮釋：（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點詮釋：在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．知識點四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線．知識點詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系．3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【考點剖析】考點一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4例2．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例3．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3考點二：向量的表示方法例4．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.例5．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點畫一個向量，使；（2）畫一個以C為起點的向量，使||＝2，并說出的終點的軌跡是什么．考點三：利用向量相等或共線進行證明例6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．例7．在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.考點四：向量知識在實際問題中的簡單應用例8．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1）試作出向量；（2）求．例9．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移.【真題演練】1．下列物理量中哪個是向量（

）A．質量 B．功 C．溫度 D．力2．下列命題中正確的是（

）A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量C．若，則 D．任意向量的模都是正數3．設點是正三角形的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起點的向量 D．共線向量4．給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線．其中假命題的個數為（）A．1 B．2C．3 D．45．（多選題）下列說法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點，若與共線，則三點在同一條直線上C．與是非零向量，若與同向，則與反向D．設為實數，若，則與共線6．下列各量中，是向量的是___________.（填序號）①密度；②體積；③重力；④質量.7．如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：.8．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量，使；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？【過關檢測】一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為2．下列命題正確的是（

）A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共線向量 D．模為0的向量與任意向量共線3．給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式：①；②﹔③；④.其中正確的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③5．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關系中正確的是（

）A． B． C． D．6．下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上7．下列結論中，正確的是（

）A．長的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且只有兩個點A，B，使得，是單位向量C．方向為北偏西30°的向量與南偏東30°的向量不可能是共線向量D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移8．設是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形二、多選題9．以下選項中，能使成立的條件有（

）A． B．或C． D．與都是單位向量10．下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”11．下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則B．若，則與方的方向相同或相反C．若且，，則D．對任一向量，是一個單位向量12．下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量三、填空題13．若為任一非零向量，為單位向量，給出下列說法：①；

②；③；

④；⑤若是與同向的單位向量，則.其中正確的說法有______個.14．下列說法正確的是__________（寫序號）．①若與共線，則點A、B、C、D共線；②四邊形為平行四邊形，則；③若，則；④四邊形中，，則四邊形為正方形．15．已知圓O的周長是，是圓O的直徑，C是圓周上一點，于點D，則___________.16．“”是“A，B，C，D四點共線”的________條件．四、解答題17．在平面直角坐標系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.18．如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？19．在平行四邊形中，