2024北京海淀高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京海淀高一（上）期末數(shù)學(xué)2024.01考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，19道小題．滿分100分．考試時(shí)間90分鐘．2．在試卷上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)名稱、姓名．3．答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.某學(xué)校有高中學(xué)生1500人，初中學(xué)生1000人．學(xué)生社團(tuán)創(chuàng)辦文創(chuàng)店，想了解初高中學(xué)生對(duì)學(xué)校吉祥物設(shè)計(jì)的需求，用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知在初中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，則在高中學(xué)生中抽取了（）A.150人 B.200人 C.250人 D.300人3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.4.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)的部分圖象可能是（）A.B.C. D.5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.6.已知，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.9.科赫曲線是幾何中最簡(jiǎn)單的分形．科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級(jí)科赫曲線“”，將1級(jí)科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)科赫曲線，同理可得3級(jí)科赫曲線……在分形中，一個(gè)圖形通常由N個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，且相似比為r的部分組成．若，則稱D為該圖形的分形維數(shù)．那么科赫曲線的分形維數(shù)是（）A. B. C.1 D.10.已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域是.12.農(nóng)科院作物所為了解某種農(nóng)作物的幼苗質(zhì)量，分別從該農(nóng)作物在甲、乙兩個(gè)不同環(huán)境下培育的幼苗中各隨機(jī)抽取了15株幼苗進(jìn)行檢測(cè)，量出它們的高度如下圖（單位：）:記該樣本中甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的中位數(shù)分別為a，b，則___________；若以樣本估計(jì)總體，記甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則___________（用“<，>或=”連接）．13.已知函數(shù)沒有零點(diǎn)，則a的一個(gè)取值為___________；a的取值范圍是___________．14.已知函數(shù)則的單調(diào)遞增區(qū)間為___________；滿足的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為___________．（參考數(shù)據(jù)：）15.共享單車已經(jīng)逐漸成為人們?cè)谌粘Ｉ钪斜夭豢缮俚慕煌üぞ撸ㄟ^調(diào)查發(fā)現(xiàn)人們?cè)趩诬囘x擇時(shí)，可以使用“競(jìng)爭(zhēng)函數(shù)”進(jìn)行近似估計(jì)，其解析式為（其中參數(shù)a表示市場(chǎng)外部性強(qiáng)度，a越大表示外部性越強(qiáng)）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①過定點(diǎn)；②在上單調(diào)遞增；③關(guān)于對(duì)稱；④取定x，外部性強(qiáng)度a越大，越?。渲兴姓_結(jié)論的序號(hào)是___________．三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.國(guó)務(wù)院正式公布的《第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位名單》中把重點(diǎn)文物保護(hù)單位（下述簡(jiǎn)稱為“第一批文保單位”）分為六大類．其中“A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遺址”、“F:古墓葬”．北京的18個(gè)“第一批文保單位”所在區(qū)分布如下表：行政區(qū)門類個(gè)數(shù)東城區(qū)A：革命遺址及革命紀(jì)念建筑物3C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物5西城區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物2豐臺(tái)區(qū)A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物1海淀區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物2房山區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1E:古遺址1昌平區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1F:古墓葬1延慶區(qū)C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物1（1）某個(gè)研學(xué)小組隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的一個(gè)進(jìn)行參觀，求選中的參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”的概率；（2）小王同學(xué)隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的“A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物”中的一個(gè)進(jìn)行參觀；小張同學(xué)隨機(jī)選擇北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”中的一個(gè)進(jìn)行參觀．兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個(gè)區(qū)的概率；（3）現(xiàn)在擬從北京市“第一批文保單位”中的“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”中隨機(jī)抽取2個(gè)單位進(jìn)行常規(guī)檢查．記抽到海淀區(qū)的概率為，抽不到海淀區(qū)的概率記為，試判斷和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)論）．17.已知集合．（1）求;（2）記關(guān)于x的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.已知函數(shù)．請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問題．條件①：;條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明；（3）設(shè)函數(shù)，指出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．19.已知函數(shù)的定義域均為，給出下面兩個(gè)定義：①若存在唯一的，使得，則稱與關(guān)于唯一交換；②若對(duì)任意的，均有，則稱與關(guān)于任意交換．（1）請(qǐng)判斷函數(shù)與關(guān)于是唯一交換還是任意交換，并說明理由；（2）設(shè)，若存在函數(shù)，使得與關(guān)于任意交換，求b的值；（3）在（2）的條件下，若與關(guān)于唯一交換，求a的值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.2.【答案】A【分析】根據(jù)各層的抽樣比相同求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槌踔袑W(xué)生人抽取了人，所以抽樣比為，所以高中生抽取人，故選：A.3.【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.【詳解】由題意可知：命題“”的否定是“”.故選：C.4.【答案】C【分析】先根據(jù)的單調(diào)性相反排除AD，然后根據(jù)冪函數(shù)圖象判斷出的范圍，由此可知正確圖象.【詳解】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，故選：C.5.【答案】B【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性可對(duì)A、C判斷；利用函數(shù)奇偶性的判斷并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可對(duì)B、D判斷.【詳解】對(duì)A、C：由，定義域?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)B、D：，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，故B正確；，定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋稍谏蠁握{(diào)遞增，可得，即；由在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；由在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；綜上所述：.故選：D.7.【答案】C【分析】根據(jù)“”與“為奇函數(shù)”互相推出的情況判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為奇函數(shù)；當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，顯然定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，所以，由上可知，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，故選：C.8.【答案】B【分析】先求出的定義域，然后分析的單調(diào)性，再根據(jù)求解出不等式解集.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以不等式解集為，故選：B.9.【答案】D【分析】根據(jù)題意得出曲線是由把全體縮小的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，再根據(jù)題設(shè)條件即可得出結(jié)果.【詳解】由題意曲線是由把全體縮小的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，因?yàn)椋?，則，所以分形維數(shù)是.故選：D.10.【答案】D【分析】利用賦值和排除法可得結(jié)果【詳解】取，則，若，則，由，得，解得，符合條件，排除選項(xiàng)A、C,取，則，若時(shí)，，由，得，解得，或，都不符合條件，若，即，由，得，即，不符合條件，若，即，由，得，解得，或，都不符合條件，綜上，，排除B，選D故選：D.二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.【答案】【分析】利用真數(shù)大于零列不等式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12.【答案】①.②.【分析】空根據(jù)題意分別求出甲乙環(huán)境下的個(gè)高度數(shù)據(jù)，從而求出中位數(shù)，即可求解；空利用標(biāo)準(zhǔn)差公式分別求出，從而求解.【詳解】對(duì)空：由題意得甲環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數(shù)，乙環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數(shù)，所以；對(duì)空：甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：，所以甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：所以所以.故答案為：；.13.【答案】①.（即可）②.【分析】根據(jù)題意分析可知函數(shù)沒有零點(diǎn)，等價(jià)于與沒有交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)圖象分析求解.【詳解】令，則，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，等價(jià)于與沒有交點(diǎn)，作出的圖象，如圖所示：由圖象可知：若與沒有交點(diǎn)，則，故答案為：（即可）；.14.【答案】①.②.215【分析】第一個(gè)空，作出的圖象，由圖可知的單調(diào)遞增區(qū)間；第二個(gè)空，分和兩種情況解不等式.【詳解】作出的圖象，由圖可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，解得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，故滿足的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為215.故答案為：；215.15.【答案】①②【分析】對(duì)于①令即可求得定點(diǎn)可判斷①的正誤；對(duì)于②對(duì)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的正負(fù)即可判斷②的正誤；對(duì)于③由②即可判斷正誤；對(duì)于④以為自變量構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于①，在中，令，則，過定點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，，當(dāng)，，則為單調(diào)遞增，故②正確；對(duì)于③，由②知為單調(diào)遞增，故不存在對(duì)稱性，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，以為自變量，設(shè)為，則，，故，的正負(fù)取決于，當(dāng)，即時(shí)，，隨著的增大，減小；當(dāng)，即時(shí)，，隨著的增大，增大，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②.三、解答題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由題意知總樣本數(shù)為，C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物共有，利用古典概率從而求解.（2）由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物在同一個(gè)區(qū)的只有東城區(qū)，然后分別求出他們參觀東城區(qū)的概率，從而求解.（3）利用分類討論求出相應(yīng)的抽到海淀區(qū)的概率和抽不到海淀區(qū)的概率，從而求解.【小問1詳解】設(shè)選中參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”為事件，由題意知總共有，“C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物”有，所以.【小問2詳解】設(shè)兩人選擇的參觀單位恰好在同一個(gè)區(qū)為事件，由題意可知小王參觀A:革命遺址及革命紀(jì)念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀(jì)念建筑物在同一個(gè)區(qū)的只有東城區(qū)，所以小王參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為，小張參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為，所以.【小問3詳解】當(dāng)抽到的個(gè)都是海淀區(qū)的概率為，當(dāng)抽到的個(gè)中有個(gè)是海淀區(qū)的概率為，所以，，所以.17.【答案】（1）或，（2）【分析】（1）先求解出一元二次不等式、絕對(duì)值不等式的解集為集合，然后根據(jù)并集概念求解出，再根據(jù)交集和補(bǔ)集概念求解出；（2）根據(jù)不等式先求解出，然后根據(jù)列出關(guān)于的不等式組，由此求解出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，解得，所以，又因?yàn)?，解得或，所以或，所以或；又因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)椋?，若，則，解得，所以的取值范圍是.18.【答案】（1）答案見解析（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析（3）在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義分析求解；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義分析證明；（3）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性以及奇偶性的性質(zhì)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【小問1詳解】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，若選①：因?yàn)椋礊槠婧瘮?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意上式均成立，可得，解得；若選②：因?yàn)?，即為偶函?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意上式均成立，可得，解得.【小問2詳解】若選①：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，且，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；若選②：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，且，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問3詳解】若選①：則，則，由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若選②：則，則，由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).19.【答案】（1）唯一交換，理由見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)方程解的情況判斷即可；（2）根據(jù)“對(duì)任意的，成立”得到關(guān)于的方程，然后設(shè)出的解析式，根據(jù)方程左右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同求解出的值；（3）根據(jù)條件通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為“存在唯一實(shí)數(shù)，使得”，然后分析的奇偶性，從而確定出，由此可求的值.【小問1詳解】與關(guān)于是唯一交換，理由如下：因?yàn)椋?，令，所以，解得，所以有唯一解，所以與關(guān)于是唯一交換.【小問2詳解】由題意可知，對(duì)任意的，成立，即對(duì)任意的，；考慮到等式左右兩邊最高次和最高次項(xiàng)