新人教版高中數(shù)學(xué)五本書教材例題課后習(xí)題變式含答案1

第一章空間向量與立體幾何

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

例1如圖1.3-6,在長方體。鉆中，0A=3,0C=4,0。'=2,以

麗7)為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

圖1.3-6

(1)寫出以，C,A',8'四點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)寫出向量了萬，兩，五，苑的坐標(biāo).

解：(1)點(diǎn)皿在z軸上，且QD'=2,所以亦=0)+21.

所以點(diǎn)用的坐標(biāo)是(0,0,2).

同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,4,0).

點(diǎn)A'在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A,O,供,它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,

0,2,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0,2).

點(diǎn)B在x軸、)，軸、z軸上的射影分別為4,C,以，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,

4.2,所以點(diǎn)所的坐標(biāo)是(3,4,2).

(2)^=OC=07+47+0^=(0,4,0)：

WB=-Oiy=6i+0j-2k=(Q,Q,-2)；

AV=A?D;+57C7=-37+47+0^=(-3,4,())；

AC=AO+OC+CC=-3i+4j+2k=(-3,4,2).

練習(xí)

1.在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)：

A(0,2,4),8(1,0,5),C(0,2,0),0(1,3,4).

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)，然后標(biāo)注點(diǎn)即可.

【詳解】建立如下圖如示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)每一個點(diǎn)的特點(diǎn)標(biāo)注如下圖.

2.在空間直角坐標(biāo)系。Qz中，

(1)哪個坐標(biāo)平面與x軸垂直？哪個坐標(biāo)平面與y軸垂直？哪個坐標(biāo)平面與z軸

垂直？

(2)寫出點(diǎn)尸(2,3,4)在三個坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo).

(3)寫出點(diǎn)尸(1,3,5)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)平面*z與X軸垂直，平面MZ與y軸垂直，平面xoy與z軸垂直；(2)

點(diǎn)?(2,3,4)在平面wz的射影的坐標(biāo)尸，(0,3,4),點(diǎn)尸(2,3,4)在平面X”的射影的坐

標(biāo)尸'(2,3,0)；點(diǎn)尸(2,3,4)在平面xoz的射影的坐標(biāo)戶(2,0,4)；(3)點(diǎn)3,5)關(guān)

于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是3,-5).

【解析】

【分析】(1)利用空間直角坐標(biāo)系求解；

(2)利用點(diǎn)的射影的定義求解；

(3)利用點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的求法求解.

【詳解】（1）平面yoz與X軸垂直，平面XOZ與y軸垂直，平面xoy與z軸垂直；

（2）點(diǎn)尸（2,3,4）在平面yoz的射影的坐標(biāo)P'（（）,3,4）.

點(diǎn)尸（2,3,4）在平面my的射影的坐標(biāo)尸'（2,3,0）.

點(diǎn)P（2,3,4）在平面MZ的射影的坐標(biāo)P（2,（）,4）.

（3）點(diǎn)尸（1,3,5）關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是3,-5）.

3.在長方體。鉆C—O'A'8'C中.OA=3,OC=4,OD'=3,AC與B7X相交

于點(diǎn)P,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

（1）寫出點(diǎn)C,B',尸的坐標(biāo);

（2）寫出向量麗，衣的坐標(biāo).

【答案】(1)C(0,4,0),^(3,4,3),pf1,2,3I(2)麗=(0,0,3),正=(—3,4,0).

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件可直接寫出答案;

（2）根據(jù)坐標(biāo)算出答案即可.

【詳解】（1）因?yàn)椤?=3,OC=4,OD'=3,

所以C（0,4,0）,B'（3,4,3）,P（|,2,3）

(2)因?yàn)镺'=(0,0,3),A(3,0,0)

而="=(0,0,3),M=/=(-3,4,0)

4.已知點(diǎn)8是點(diǎn)A(3,4,5)在坐標(biāo)平面。町內(nèi)的射影，求畫.

【答案】5

【解析】

【分析】先求得點(diǎn)4(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，再利用兩點(diǎn)間的距離求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影是8(3,4,0),

所以阿|=」32+42+0=5.

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例2如圖138,在正方體ABCO-AMGA中，E,F分別是84，的中點(diǎn).求

證：EF±DA1.

圖1.3-8

分析：要證明EF，。4,只要證明喬，甌，即證喬?函.=().我們只要用坐標(biāo)表

示彷，函，并進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可.

證明：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標(biāo)系Qxyz,則

又4(1,0,1),。(0,0,0),

所以萬《=(1,0,1).

所以麗?西=(-：,一3，￡].(1,0,1)=0.

所以而，兩，即EbLDA-

例3如圖1.3-9,在棱長為1的正方體ABC?！?4G〃中，M為Bq的中點(diǎn)，E,,月

分別在棱4與，C2上，

圖1.3-9

（1）求AM的長.

（2）求與力片所成角的余弦值.

分析：（1）利用條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A,M的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間

的距離公式求出40的長.（2）8耳與?！彼傻慕蔷褪俏?，。心所成的角或它的補(bǔ)

角.因此，可以通過國，。耳的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果.

解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0,0）,點(diǎn)M的

（2）由已知，得

8（1,1,0）,,z）（o,o,o）,

國=乎，回卜限

所以

—?—?(\1A15

BE,-DF.=0x0+——x-+1x1=—.

11I416

所以

—15

8位甌=部=雷近哈

44

所以，BE,與DF｝所成角的余弦值是.

練習(xí)

5.己知2=(-3,2,5),^=(1,5,-1),求：

(1)a+b;

(2)65；

(3)3a-b;

(4)a-b

【答案】(1)(-2,7,4),(2)(-18,12,30),(3)(-10,1,16),(4)2.

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算算出答案即可.

【詳解】因?yàn)橹?(一3,2,5),萬=(1,5,-1)

(1)所以&+區(qū)=(-2,7,4),

(2)65=(-18,12,30)

(3)35-^=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16)

(4)a-b=—3+10—5=2

6.已知。=(2,—1,3)，h=(-4,2,JV)>且QJ_Z?,求x的值.

【答案】y

【解析】

【分析】解方程2x(-4)+(T)x2+3x=0即得解.

【詳解】因?yàn)椤縥J，所以］/=0，

所以2x(-4)+(T)x2+3x=0,

所以x號.

7.在z軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)”到點(diǎn)A0,0,2)與點(diǎn)8(1,-3,1)的距離相等.

【答案】(0,0,-3)

【解析】

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)”(0,0,⑼，

因?yàn)镸到點(diǎn)4。,0,2)與點(diǎn)的距離相等，

所以J12+()2+(〃L2)2=jF+32+(加—If,解得加=—3,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0,-3)

8.如圖，正方體O4BC-O'AB'C的棱長為八點(diǎn)N,M分別在AC,BC'上,

AN=2CN,BM=2MC',求MN的長.

【答案】迤

3

【解析】

【分析】先寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，然后算出答案即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w。鉆C-O'A'B'C'的棱長為服點(diǎn)N,“分別在AC,BC'±.,

AN=2CN,BM=2MC,

a2a}孑爭。，

所以M~yai~|，N

33J

a24a2_y[5a

所以|MN|=\0+

~9

9.如圖，在正方體A88-A6C2中，”是AB的中點(diǎn)，求與CM所成角的

余弦值.

【答案】叵

15

【解析】

【分析】以。為原點(diǎn)，D4為X軸，0c為y軸，。。為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法即可得到答案.

【詳解】以。為原點(diǎn)，94為X軸，0c為y軸，。2為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖,

設(shè)正方體ABC?！?8GA的棱長為2,則M（2,l,0）,C（0,2,0）,0（0,0,0）,

4（2,2,2）,

遇=（2,2,2）,GW=（2,-1,0）,

函.兩_4—2+0_V15

設(shè)直線。片與直線CM所成角為。，則cos6=

|函，麗「灰?石—15

所以直線DBI與直線CM所成角的余弦值為叵.

15

習(xí)題1.3

復(fù)習(xí)鞏固

10.在空間直角坐標(biāo)系。孫Z中，三個非零向量心B，m分別平行于X軸、y軸、Z

軸，它們的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】直接利用向量與坐標(biāo)軸的關(guān)系，寫出結(jié)果即可.

【詳解】向量日，B，1分別平行于％軸，＞軸，z軸，

所以向量M的橫坐標(biāo)不為0,縱坐標(biāo)為0,豎坐標(biāo)為0；

向量石的橫坐標(biāo)為0,縱坐標(biāo)不為0,豎坐標(biāo)為0；

向量的橫坐標(biāo)為0,縱坐標(biāo)為0,豎坐標(biāo)不為0；

11.M（x,y,z）是空間直角坐標(biāo)系。Q，z中的一點(diǎn)，寫出滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

（1）與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)；

（2）與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)；

（3）與點(diǎn)/關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)；

（4）與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn).

【答案】（1）（x,-y,-z）,（2）（-x,y,-z）,（3）（-x,-y,z）,（4）（一蒼-y,-z）.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識直接寫出答案即可；

（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識直接寫出答案即可；

（3）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識直接寫出答案即可；

（4）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的知識直接寫出答案即可；

【詳解】若"（x,y,z）是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)，則

（1）與點(diǎn)M關(guān)于％軸對稱的點(diǎn)為z）

（2）與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為（-羽％-z）

（3）與點(diǎn)M關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)為（-X,-y,z）

（4）與點(diǎn)Af關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為（一z）

12.如圖，正方體。鉆C-O'AB'C'的棱長為mE,F,G,H,I,1/分別是棱

CD,DA'A'A，AB,BC,CC'的中點(diǎn)，寫出正六邊形EFG”〃各頂點(diǎn)的坐

【答案】E（O，|，aJ,尸K，O，aJ，6（。,0,向，”［吟0）,喧,叫，中丐）.

【解析】

【分析】根據(jù)圖形寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w。LBC—O'45'C的棱長為a,E,F,G,H,I,?/分別是棱C'。'，

DA,A'A，AB,BC,CC'的中點(diǎn)

所以怎（期|,a）,喉QM），GM，。,?，川吟0）,/,,a,0）,J10,.

13.先在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A,8兩點(diǎn)，再求它們之間的距離：

（1）A（2,3,5）,3（3,1,4）；

（2）A（6,0,l）,3（3,5,7）.

【答案】（1）限,作圖見解析；

（2）屈,作圖見解析.

【解析】

【分析】（1）先在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩點(diǎn)，再利用空間兩點(diǎn)間距離公式直接求

解即可；

（2）先在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩點(diǎn)，再利用空間兩點(diǎn)間距離公式直接求解即可.

【小問1詳解】

兩點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)位置如圖所示：

由空間兩點(diǎn)間距離公式可得:

AB=J(2-3『+(3-1)2+(5_41=瓜.

【小問2詳解】

兩點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)位置如圖所示:

由空間兩點(diǎn)間距離公式可得：

AB=J(6-3)2+(0_5>+(1-7)2二屈.

14.已知"=(2,-3,1),1=(2,0,3),1=(0,0,2).求：

(1)a-(B+c)；

(2)a+6b-Sc-

【答案】⑴9,(2)(14,-3,3)

【解析】

【分析】(1)先求出力+3再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求解即可;

(2)直接利用向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算性質(zhì)求解

【詳解】解：(1)因?yàn)锽=(2,0,3),"=(0,0⑵,

所以1+"=(2,0,5)，

因?yàn)椤?(2,-3,1),

所以￡@+'=2X2+(_3)X0+1X5=9,

(2)因?yàn)?=(2,—3,1),1=(2,0,3),"=(0,0,2),

所以￡+62—8"=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)

=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)

=(14,-3,3)

綜合運(yùn)用

15.求證：以4(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等

腰直角三角形.

【答案】見證明

【解析】

【分析】利用空間間兩點(diǎn)的距離公式分別求AB,AC,BC,進(jìn)而可得三角形的形狀.

【詳解】/(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3),

AB=1(4-10)2+(1+1)2+(9-6)2=7,

AC=J(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7,

B(=,J(10-2)2+(-l-4)2+(6-3)2=7后,

：.A〃+Ad=B?,AB=AC,

...△/阿為等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩點(diǎn)距離的求解，利用三角形的長度關(guān)系判斷三角

形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知A(3,5,—7),8(—2,4,3),求而，麗，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及線段A3

的長.

【答案】AB=(-5,-l,10),麗=(5,1,TO),線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為線

段A3的長為3m.

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)求出答案即可.

【詳解】因?yàn)锳（3,5,—7）,B（-2,4,3）,

所以而=（一5,-1/0）,54=（5,1,-10）

線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

線段AB的長為V25+1+100=3V14

17.如圖，在正方體A3CO-中，M,N分別為棱AA和gB的中點(diǎn)，求

C