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文檔簡介
第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量例1
(見教材P55)某人向一半徑為1米的圓形靶子進(jìn)行射擊假定不會(huì)脫靶,且擊中圓形靶的各處是等可能的,即擊中靶上任意區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比.
X1米一、引例以X
表示彈著點(diǎn)與圓心的距離,試求隨機(jī)變量X
的分布函數(shù).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量解X
的分布函數(shù)當(dāng)x<0時(shí),{X
x}不可能事件,當(dāng)x>1時(shí),{X
x}必然事件,當(dāng)0
x
1時(shí),設(shè)
顯然F(1)=1,即X1米(2)分布函數(shù)可以表示為積分第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
所以,X
的分布函數(shù)為
注(1)分布函數(shù)沒有間斷點(diǎn),是連續(xù)函數(shù),因此X不是離散型隨機(jī)變量.(3)被積函數(shù)恰好是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(除x=0,1外),即連續(xù)性隨機(jī)變量第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
二、連續(xù)性隨機(jī)變量1.定義設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有則稱X
為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)為X
的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)≥0;(2)
注滿足上述兩性質(zhì)的函數(shù)一定可以看作是某一隨機(jī)變量的概率拓展問題
(1)分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量一定是連續(xù)型隨機(jī)變量?(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)一定連續(xù)?詳細(xì)分析見75頁“重要補(bǔ)存及擴(kuò)展問題”中的一.(3)若f1(x),f2(x),…,fn(x)均是密度函數(shù),仍是密度函數(shù)?密度函數(shù).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
3.性質(zhì)
(連續(xù)型隨機(jī)變量X,分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x))(1)F(x)為連續(xù)函數(shù);
(2)
對(duì)于f(x)的連續(xù)點(diǎn)x,
有;(3)對(duì)于任何實(shí)數(shù)c,P{X=c}=0;(4)P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
4.幾何意義(1)f(x)的幾何意義:
位于x
軸上方的曲線.(2)
的幾何意義:在區(qū)間[a,b]上,以曲線
y=f(x)為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e.f(x)0xy概率密度1(3)f(x)不是概率,但它的取值確定了X在點(diǎn)x附近(充分小區(qū)間)的概率大小,這也是f(x)稱為概率密度的原因.詳見教材P56-57.
的幾何意義:曲線f(x)與x軸所圍成的區(qū)域的面積為1.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
;例2
(見教材P57)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X
具有概率密度如下,解(1)確定常數(shù)k;(2)求F(x);(3)求P{1<X≤}.(1)由有第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
(2)當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)
時(shí),當(dāng)
時(shí),當(dāng)
時(shí),由于被積函數(shù)f(t)為分段函數(shù),因此需要對(duì)積分上限x進(jìn)行討論.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
;故X的分布函數(shù)為第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
例3
(見教材P58)設(shè)隨機(jī)變量X
的分布函數(shù)為解(1)求常數(shù)a,b,c,d;
(2)求X的密度函數(shù)f(x).由分布函數(shù)的性質(zhì)有第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
例3
(見教材P58)設(shè)隨機(jī)變量X
的分布函數(shù)為解(1)求常數(shù)a,b,c,d;
(2)求X的密度函數(shù)f(x).(2)因F(x)連續(xù),且只有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn),故為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(詳見75頁“重要補(bǔ)存及擴(kuò)展問題”中的一).其密度為第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
例4
(見教材P58)解試求X的分布函數(shù)F(x),并畫出
f(x),F(xiàn)(x)的圖形.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為由于被積函數(shù)f(t)為分段函數(shù),因此需要對(duì)積分上限x進(jìn)行討論.(1)當(dāng)x<0時(shí),(2)當(dāng)
時(shí),第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
(3)當(dāng)
時(shí),(4)當(dāng)
時(shí),(5)當(dāng)
時(shí),第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
故分布函數(shù)為第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
f(x)和F(x)的圖形如下第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
三、常見的連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率分布1.均勻分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記為X~U(a,b).因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量取一個(gè)值的概率為0,故也稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布,記為X~U[a,b].第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
性質(zhì)(1)分布函數(shù)為(2)若(c,d)
(a,b),則P{c<X<d}=.(3)若(a,b)的子區(qū)間[c1,d1],[c2,d2]的長度相等,則P{c1
X
d1}=P{c2
X
d2}.a bxcd注
X在(a,b)上的任意一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比,而與位置無關(guān).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
均勻分布的f(x)和F(x)的圖形如下oa bx1yoa bxy第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
例5
(見教材P60)解設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.
由條件知X的概率密度函數(shù)為設(shè)A={對(duì)X的觀測值大于3},則以Y表示“三次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù)”,第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
2.指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ).性質(zhì)(1)分布函數(shù)為(2)典型模型:機(jī)器、元件的使用壽命以及某些等待時(shí)間;(3)無記憶性:若X服從指數(shù)分布,則對(duì)任意s>0,t>0,有
P{X>s+t|X>s}=P{X>t}.注
若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有無記憶性,則X~E(λ).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
指數(shù)分布的f(x)和F(x)的圖形如下0 xy0x1y第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
解方法1:例6
(見教材P61)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零,求條件概率Y的分布函數(shù)為由條件概率公式,得.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
解方法2:例6
(見教材P61)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零,求條件概率利用指數(shù)分布的無記憶性..第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
例7
(見教材P62)解設(shè)已使用了t小時(shí)的電子管,在以后的Δt小時(shí)先求分布函數(shù),通過求導(dǎo)得到概率密度.內(nèi)損壞的概率等于λΔt+o(Δt),其中λ>0為常數(shù),o(Δt)表示Δt的高階無窮小,求電子管使用壽命的概率密度.假定電子管使用壽命大于零的概率為1.設(shè)T表示電子管的使用壽命,F(xiàn)(t)為T的分布函數(shù).當(dāng)t
0時(shí),顯然,F(xiàn)(t)=P{T
t}=0;當(dāng)t>0
時(shí),利用概率性質(zhì)與微分方程求解.由題設(shè)有第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
從而
上式兩邊取極限Δt→0,得第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
其中C為任意常數(shù).由初始條件F(0)=0得C=1,特解為所以,T的分布函數(shù)概率密度
這是一個(gè)可分離變量的一階線性微分方程,解之得通解第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
3.正態(tài)分布若量隨機(jī)變X的概率密度函數(shù)為分布,或稱為高斯(Gauss)分布,記為X~N(
,
2
).f(x)所確定的概率密度曲線叫作正態(tài)曲線.其中,則稱X服從參數(shù)為
,
2
的正態(tài)(1)可以驗(yàn)證(詳見教材P63)第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
正態(tài)分布
的分布函數(shù)為0
xy正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖形如下第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
(2)正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征1o
密度曲線以
為對(duì)稱軸,并在2o
在x=
處,密度曲線y=f(x)3o
密度曲線y=f(x)向左右伸展時(shí),越來越貼近x軸,即曲線以0
xyx=
處達(dá)到最大值有拐點(diǎn).x軸為漸近線.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征4o若
固定,改變
的值,則f(x)的圖形沿x軸平行移動(dòng),但不改變其形狀,即
決定
y=f(x)圖形的中心位置,所以又稱為位置參數(shù).y第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征5o若
固定,改變
的值,則密度曲線的位置不變,但隨著
值變小,曲線越陡峭,即
決定圖形中峰的陡峭程度,所以參數(shù)
又稱為尺度參數(shù).y
第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)
時(shí),相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為X~N(0,1),其概率密度函數(shù)為分布函數(shù)為第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)1o
(0)=0.5,
(?x)=1?
(x).2o
P{|X|
a}=
(a)?
(?a)=2
(a)?1,3o
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表.當(dāng)x<0時(shí),利用
(x)=1?
(?x),并結(jié)合查表進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)x
0時(shí),直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表求得P{X
x}=
(x);x0x-xP{a<X<b}=
(b)?
(a).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理1如果X~N(
,
2),則~N(0,1)..證
隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)所以,~N(0,1).
稱為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變換第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來表示或計(jì)算.若X~N(
,
2),則對(duì)
x1<x2,P{x1<X<x2}=
第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)
分位數(shù)設(shè)X~N(0,1),對(duì)給定的實(shí)數(shù)
(0<
<1),若存在實(shí)數(shù)u
,使得P{X>u
}=
,則稱u
為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的上側(cè)
分位數(shù).Oy查表可知,u0.05=1.65,u0.025=1.96,u0.01=2.33,u0.005=2.575.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
解例8
(見教材P66)設(shè)X~N(μ,σ2),則概率P{X
1+μ}()
(A)隨μ的增加而增大(B)隨μ的增加而減小(C)隨σ的增加而增大(D)隨σ的增加而減小因?yàn)槎鴺?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù),故選(D).第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
解由題設(shè),
成績60分以上的考生占全體考生的84.13%因此,考生總數(shù)大致為.故前20名考生在全體考生中的比例大致為,
例9
(見教材P66)N(70,102),已知第100名考生的成績?yōu)?0分,問第20名考生的成績約為多少分.假設(shè)某科統(tǒng)考的成績X近似服從正態(tài)分布第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
.設(shè)s為第20名考生的成績,它滿足,
.所以第20名考生的成績約為79.6分.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
,
例10
(見教材P66)設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)求
P{X
1.96},P{X
?1.96},P{|X|
1.96},P{?1<X
2};(2)已知
P{X
a}=0.7019,P{|X|<b}=0.9242,P{X
c}=0.2981,求a,b,c.函數(shù)值表,求下列事件的概率.解
(1)P{X
1.96}=
(1.96)
0.9750,P{X
?1.96}=1?
(1.96)
1?0.9750=0.025,P{|X|
1.96}=
2
(1.96)?1
2
0.975?1=0.95,P{?1<X
2}=P{X
2}?
P{X
?1}=
(2)?[1?
(1)]
0.9772?1+0.8413=0.8185.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
,
例10
(見教材P66)X~N(0,1),(2)已知
P{X
a}=0.7019,P{|X|<b}=0.9242,P{X
c}=0.2981,求a,b,c.解
(2)由
P{X
a}=0.7019,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得a
0.53.由
(c)=P{X
c}=0.2981<0.5,知c<0.類似地,由P{|X|<b}=0.9242=2
(b)?1,即
(b)=0.9621,得b
1.78.又因?yàn)?/p>
(
c)=1
(c)=1
0.2981=0.7019,查表得
c
0.53,即c
0.53.第二章
隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量
,
例11
(見教材P66)設(shè)X~N
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