概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2版 課件 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量

第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量例1

(見教材P55)某人向一半徑為1米的圓形靶子進(jìn)行射擊假定不會(huì)脫靶，且擊中圓形靶的各處是等可能的，即擊中靶上任意區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比.

X1米一、引例以X

表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X

的分布函數(shù).第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量解X

的分布函數(shù)當(dāng)x<0時(shí),{X

x}不可能事件,當(dāng)x>1時(shí),{X

x}必然事件，當(dāng)0

x

1時(shí),設(shè)

顯然F(1)=1,即X1米(2)分布函數(shù)可以表示為積分第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

所以,X

的分布函數(shù)為

注(1)分布函數(shù)沒有間斷點(diǎn),是連續(xù)函數(shù),因此X不是離散型隨機(jī)變量.(3)被積函數(shù)恰好是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(除x=0,1外),即連續(xù)性隨機(jī)變量第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、連續(xù)性隨機(jī)變量1.定義設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有則稱X

為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)為X

的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).第二章

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2．概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)≥0；(2)

注滿足上述兩性質(zhì)的函數(shù)一定可以看作是某一隨機(jī)變量的概率拓展問題

(1)分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量一定是連續(xù)型隨機(jī)變量？(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)一定連續(xù)？詳細(xì)分析見75頁“重要補(bǔ)存及擴(kuò)展問題”中的一.(3)若f1(x),f2(x),…,fn(x)均是密度函數(shù),仍是密度函數(shù)？密度函數(shù).第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

3.性質(zhì)

(連續(xù)型隨機(jī)變量X,分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x))(1)F(x)為連續(xù)函數(shù)；

(2)

對(duì)于f(x)的連續(xù)點(diǎn)x,

有；(3)對(duì)于任何實(shí)數(shù)c,P{X=c}=0；(4)P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

4.幾何意義(1)f(x)的幾何意義：

位于x

軸上方的曲線.(2)

的幾何意義：在區(qū)間[a,b]上，以曲線

y=f(x)為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e.f(x)0xy概率密度1(3)f(x)不是概率，但它的取值確定了X在點(diǎn)x附近(充分小區(qū)間)的概率大小,這也是f(x)稱為概率密度的原因.詳見教材P56-57.

的幾何意義：曲線f(x)與x軸所圍成的區(qū)域的面積為1.第二章

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；例2

(見教材P57)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

具有概率密度如下，解(1)確定常數(shù)k;(2)求F(x);(3)求P{1<X≤}.(1)由有第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

(2)當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),由于被積函數(shù)f(t)為分段函數(shù)，因此需要對(duì)積分上限x進(jìn)行討論.第二章

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；故X的分布函數(shù)為第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

例3

(見教材P58)設(shè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為解(1)求常數(shù)a,b,c,d；

(2)求X的密度函數(shù)f(x).由分布函數(shù)的性質(zhì)有第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

例3

(見教材P58)設(shè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為解(1)求常數(shù)a,b,c,d；

(2)求X的密度函數(shù)f(x).(2)因F(x)連續(xù)，且只有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)，故為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(詳見75頁“重要補(bǔ)存及擴(kuò)展問題”中的一).其密度為第二章

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例4

(見教材P58)解試求X的分布函數(shù)F(x)，并畫出

f(x)，F(xiàn)(x)的圖形.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為由于被積函數(shù)f(t)為分段函數(shù)，因此需要對(duì)積分上限x進(jìn)行討論.(1)當(dāng)x<0時(shí),(2)當(dāng)

時(shí),第二章

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(3)當(dāng)

時(shí),(4)當(dāng)

時(shí),(5)當(dāng)

時(shí),第二章

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故分布函數(shù)為第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

f(x)和F(x)的圖形如下第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

三、常見的連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率分布1.均勻分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記為X~U(a,b).因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量取一個(gè)值的概率為0，故也稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記為X~U[a,b].第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

性質(zhì)(1)分布函數(shù)為(2)若(c,d)

(a,b),則P{c<X<d}=.(3)若(a,b)的子區(qū)間[c1,d1]，[c2,d2]的長度相等,則P{c1

X

d1}=P{c2

X

d2}.a bxcd注

X在(a,b)上的任意一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與位置無關(guān).第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

均勻分布的f(x)和F(x)的圖形如下oa bx1yoa bxy第二章

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例5

(見教材P60)解設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.

由條件知X的概率密度函數(shù)為設(shè)A={對(duì)X的觀測值大于3}，則以Y表示“三次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù)”，第二章

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2.指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~E(λ).性質(zhì)(1)分布函數(shù)為(2)典型模型：機(jī)器、元件的使用壽命以及某些等待時(shí)間;(3)無記憶性：若X服從指數(shù)分布,則對(duì)任意s>0,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t}.注

若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有無記憶性，則X~E(λ).第二章

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指數(shù)分布的f(x)和F(x)的圖形如下0 xy0x1y第二章

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解方法1：例6

(見教材P61)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零,求條件概率Y的分布函數(shù)為由條件概率公式，得.第二章

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解方法2：例6

(見教材P61)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零,求條件概率利用指數(shù)分布的無記憶性..第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

例7

(見教材P62)解設(shè)已使用了t小時(shí)的電子管，在以后的Δt小時(shí)先求分布函數(shù)，通過求導(dǎo)得到概率密度.內(nèi)損壞的概率等于λΔt+o(Δt)，其中λ>0為常數(shù)，o(Δt)表示Δt的高階無窮小，求電子管使用壽命的概率密度.假定電子管使用壽命大于零的概率為1.設(shè)T表示電子管的使用壽命，F(xiàn)(t)為T的分布函數(shù).當(dāng)t

0時(shí)，顯然，F(xiàn)(t)=P{T

t}=0；當(dāng)t>0

時(shí)，利用概率性質(zhì)與微分方程求解.由題設(shè)有第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

從而

上式兩邊取極限Δt→0，得第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

其中C為任意常數(shù).由初始條件F(0)=0得C=1，特解為所以，T的分布函數(shù)概率密度

這是一個(gè)可分離變量的一階線性微分方程，解之得通解第二章

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3.正態(tài)分布若量隨機(jī)變X的概率密度函數(shù)為分布，或稱為高斯(Gauss)分布，記為X~N(

,

2

).f(x)所確定的概率密度曲線叫作正態(tài)曲線.其中,則稱X服從參數(shù)為

,

2

的正態(tài)(1)可以驗(yàn)證(詳見教材P63)第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

正態(tài)分布

的分布函數(shù)為0

xy正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)圖形如下第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

(2)正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征1o

密度曲線以

為對(duì)稱軸，并在2o

在x=

處，密度曲線y=f(x)3o

密度曲線y=f(x)向左右伸展時(shí),越來越貼近x軸，即曲線以0

xyx=

處達(dá)到最大值有拐點(diǎn).x軸為漸近線.第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征4o若

固定,改變

的值，則f(x)的圖形沿x軸平行移動(dòng)，但不改變其形狀，即

決定

y=f(x)圖形的中心位置，所以又稱為位置參數(shù).y第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布的密度曲線的幾何特征5o若

固定，改變

的值，則密度曲線的位置不變，但隨著

值變小，曲線越陡峭，即

決定圖形中峰的陡峭程度，所以參數(shù)

又稱為尺度參數(shù).y

第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)

時(shí)，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1)，其概率密度函數(shù)為分布函數(shù)為第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)1o

(0)=0.5，

(?x)=1?

(x).2o

P{|X|

a}=

(a)?

(?a)=2

(a)?1，3o

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表.當(dāng)x<0時(shí),利用

(x)=1?

(?x),并結(jié)合查表進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)x

0時(shí),直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表求得P{X

x}=

(x)；x0x-xP{a<X<b}=

(b)?

(a).第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理1如果X~N(

,

2),則~N(0,1)..證

隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)所以，~N(0,1).

稱為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變換第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來表示或計(jì)算.若X~N(

,

2),則對(duì)

x1<x2，P{x1<X<x2}=

第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)

分位數(shù)設(shè)X~N(0,1),對(duì)給定的實(shí)數(shù)

(0<

<1),若存在實(shí)數(shù)u

，使得P{X>u

}=

，則稱u

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的上側(cè)

分位數(shù).Oy查表可知，u0.05=1.65,u0.025=1.96，u0.01=2.33，u0.005=2.575.第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

解例8

(見教材P66)設(shè)X~N(μ,σ2)，則概率P{X

1+μ}()

(A)隨μ的增加而增大(B)隨μ的增加而減小(C)隨σ的增加而增大(D)隨σ的增加而減小因?yàn)槎鴺?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，故選(D).第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

解由題設(shè)，

成績60分以上的考生占全體考生的84.13%因此,考生總數(shù)大致為.故前20名考生在全體考生中的比例大致為，

例9

(見教材P66)N(70,102)，已知第100名考生的成績?yōu)?0分，問第20名考生的成績約為多少分.假設(shè)某科統(tǒng)考的成績X近似服從正態(tài)分布第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

.設(shè)s為第20名考生的成績，它滿足，

.所以第20名考生的成績約為79.6分.第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

，

例10

(見教材P66)設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)求

P{X

1.96},P{X

?1.96},P{|X|

1.96},P{?1<X

2};(2)已知

P{X

a}=0.7019,P{|X|<b}=0.9242,P{X

c}=0.2981,求a,b,c.函數(shù)值表，求下列事件的概率.解

(1)P{X

1.96}=

(1.96)

0.9750,P{X

?1.96}=1?

(1.96)

1?0.9750=0.025,P{|X|

1.96}=

2

(1.96)?1

2

0.975?1=0.95,P{?1<X

2}=P{X

2}?

P{X

?1}=

(2)?[1?

(1)]

0.9772?1+0.8413=0.8185.第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

，

例10

(見教材P66)X~N(0,1),(2)已知

P{X

a}=0.7019,P{|X|<b}=0.9242,P{X

c}=0.2981,求a,b,c.解

(2)由

P{X

a}=0.7019,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得a

0.53.由

(c)=P{X

c}=0.2981<0.5，知c<0.類似地，由P{|X|<b}=0.9242=2

(b)?1,即

(b)=0.9621,得b

1.78.又因?yàn)?/p>

(

c)=1

(c)=1

0.2981=0.7019，查表得

c

0.53，即c

0.53.第二章

隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

，

例11

(見教材P66)設(shè)X~N