考點50-利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性(講解)(解析版)

考點50：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性【思維導(dǎo)圖】【常見考法】考法一：求函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)y＝4x2單調(diào)遞增區(qū)間是?！敬鸢浮浚?，+∞）【解析】y′＝8x，令y′＞0，解得x，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞）．2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是?！敬鸢浮?，【解析】，，令，解得：，3．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為?！敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)的定義域，，．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間4.已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx＞0(x∈(－π，π))，解得－π＜x＜－eq\f(π,2)或0＜x＜eq\f(π,2)，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考法二：單調(diào)函數(shù)求參數(shù)1．已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮?， 【解析】由題意可得，恒成立，①時，顯然滿足題意，②時，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，解可得，，綜上可得，．2．已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮浚?【解析】函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，3.已知在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮?， 【解析】已知在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在，上恒成立，若，顯然恒成立，符合題意；若，則‘’，在，上是增函數(shù)，（1），即，解得，綜上的范圍是，。4.若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是?！敬鸢浮?， 【解析】存在單調(diào)遞增區(qū)間在上有解，即在上有解，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減又，，，（e）當(dāng)時，，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增（e），即，恒成立，此時不滿足題意考法三：非單調(diào)函數(shù)求參數(shù)1.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是【答案】 【解析】函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若在上不單調(diào)，即當(dāng)時有解，即，則時，有解，由得，即，則即可，得，即實數(shù)的取值范圍是。2．函數(shù)上不單調(diào)的一個充分不必要條件是?！敬鸢浮?【解析】由題意，，函數(shù)在上不單調(diào)，分子應(yīng)滿足在有實根，設(shè)，時，顯然不成立，時，只需，解得：或，故，。3.函數(shù)不是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是。【答案】 【解析】不是上的單調(diào)函數(shù)，則有2不等的實數(shù)解，‘故△，解可得4.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的子區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭谄涠x域內(nèi)的子區(qū)間上不單調(diào)，函數(shù)在區(qū)間上有極值，由得或（舍去），解得：考法四：利用單調(diào)性比大小1．已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可得：可知在上單調(diào)遞增；作出與的圖象，，可得，故，2．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系。【答案】【解析】令，所以是偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，將圖像向右平移一個單位得到圖像，所以關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增.∵，，，∴，∴，又∵關(guān)于直線對稱，∴，∴.3．已知奇函數(shù)是R上增函數(shù),則的大小關(guān)系。【答案】【解析】由奇函數(shù)是上的增函數(shù)，可得，以及當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，則，即為偶函數(shù)．因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．故時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)單調(diào)遞減．因為，所以．4．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，若，，（1），則，，的大小關(guān)系正確的是?！敬鸢浮?【解析】令，，則在上恒成立，所以為上的遞增函數(shù)，因為，（e）（1），（e）（1），又為奇函數(shù)，所以（e），5．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是。【答案】【解析】函數(shù)f（x）滿足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期為4的函數(shù)．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，則g′（x）=，∵x∈（0，4]時，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]遞增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．考法五：利用單調(diào)性解不等式1.已知函數(shù)，則不等式的解集是?！敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，，，不等式的解集等價于不等式的解集．．．2.已知偶函數(shù)的定義域是，，，其導(dǎo)函數(shù)為，對定義城內(nèi)的任意，都有成立，則不等式（2）的解集為?！敬鸢浮?，， 【解析】當(dāng)時，由，得，即．令，則在，，上也為偶函數(shù)，且當(dāng)時，總成立，在上是增函數(shù)．不等式（2）可化為（2），則，又，，，解得，，．3．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為?！敬鸢浮俊窘馕觥苛?，則，，，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，原不等式可化為，根據(jù)的單調(diào)性得4.設(shè)是定義在，上的可導(dǎo)函數(shù)，，且，則不等式（a）的解集為?！敬鸢浮?，【解析】是偶函數(shù)且大于0，，則為，上的奇函數(shù)和增函數(shù)，（a）（a