新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定學案新人教A版必修第二冊

8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定課標要求1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的判定定理，并加以證明．2．會應用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直．素養(yǎng)要求在發(fā)現(xiàn)、推導和應用平面與平面垂直的判定定理的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).知識點1二面角定義從一條直線出發(fā)的_兩個半平面__所組成的圖形相關(guān)概念①這條直線叫做二面角的_棱__；②這兩個半平面叫做二面角的_面__畫法記法二面角_α－l－β__或_α－AB－β__或_P－l－Q__或P－AB－Q二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作_垂直于__棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的_∠AOB__叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范圍是_[0°，180°]__想一想：二面角的平面角的大小與棱上取的點的位置有關(guān)嗎？提示：二面角的平面角的大小是唯一確定的，與棱上取點的位置無關(guān)．練一練：1．如圖所示的二面角可記為(B)A．α－β－l B．M－l－NC．l－M－N D．l－β－α[解析]根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．故選B.2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是_45°__.[解析]∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD為二面角D1－AB－D的平面角．易知∠D1AD＝45°.知識點2平面與平面垂直的定義與判定定理1．平面與平面垂直的定義定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_直二面角__，就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作：_α⊥β__畫法畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成_垂直__2.平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直符號語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言[拓展]剖析平面與平面垂直(1)兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的．(2)兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的．3．詳解平面與平面垂直的判定定理(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．練一練：1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是(C)A．平行 B．可能重合C．垂直 D．相交不垂直[解析]由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.2．在長方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與平面ABCD垂直的面有(C)A．1個 B．3個C．4個 D．5個[解析]與平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4個．題|型|探|究題型一二面角及其平面角的概念的理解典例1下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是(B)A．①③ B．②④C．③④ D．①②[解析]由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對；由定義知④正確．故選B.[歸納提升]1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．2．要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．3．可利用實物模型，作圖幫助判斷．對點練習?下列說法不正確的是(A)A．只有過二面角棱上的某一特殊點，分別在兩個半平面內(nèi)引垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角才為二面角的平面角B．和二面角的棱垂直的平面與二面角的兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角C．在銳二面角的一個面內(nèi)引棱的垂線，該垂線與其在另一個面內(nèi)的射影所成的角是二面角的平面角D．二面角的平面角可以是一個銳角、一個直角或一個鈍角[解析]二面角平面角的大小與其頂點在棱的哪個位置是無關(guān)的.題型二二面角的求法典例2四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)．[分析]求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．[解析](1)因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.(2)因為PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.(3)因為PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.(4)作BE⊥PC于E，連接DE、BD，且BD與AC交于點O，連接EO，如圖．由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED為二面角B－PC－D的平面角．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.設AB＝a，則PA＝AB＝BC＝a，所以PB＝eq\r(2)a，PC＝eq\r(3)a，所以BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a.所以sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)＝eq\f(\r(3),2).因為∠BEO∈(0°，90°)，所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.所以二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)為120°.[歸納提升]1.求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”．作平面角時，一定要注意頂點的選擇．2．作二面角的平面角的方法：解法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．解法二：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．解法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．對點練習?(1)如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝eq\f(1,2)AD，二面角A－BD－C的大小為_30°__；(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．[解析](1)因為AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC.又因為BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因為AD?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ACD中AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.(2)取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1的中點，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.設正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r(2).題型三平面與平面垂直的證明典例3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a.(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD.[分析](1)根據(jù)已知的線段長度，證明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)論．(2)根據(jù)(1)問得到PD⊥平面ABCD，從而有PD⊥AC，然后結(jié)合底面ABCD為正方形得到AC⊥BD，從而找出平面PDB的垂線AC，最后利用判定定理證得結(jié)論．[證明](1)因為PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC.因為PD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同時，AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.[歸納提升]證明平面與平面垂直的方法：(1)定義法：根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角為直角．(2)判定定理：判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．(3)利用“兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于第三個平面”．對點練習?如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點．(1)證明：EF∥平面ABC.(2)證明：平面EFA⊥平面PAC.[證明](1)因為E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因為AB為圓O的直徑，所以BC⊥AC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC.又因為EF?平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC.易|錯|警|示判斷面面位置關(guān)系時主觀臆斷典例4如圖所示，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎？試說明理由．[錯解]由題意可知，D1B1與AB1不垂直，D1B1與B1C不垂直，所以D1B1與平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．[錯因分析]判斷兩個平面垂直，只需說明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時，必須給出嚴格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實質(zhì)．[正解]因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因為BB1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.對點練習?如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有幾對(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.1．二面角是指(C)A．一個平面繞這個平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形B．一個半平面與另一個半平面組成的圖形C．從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形D．兩個相交的平行四邊形組成的圖形[解析]根據(jù)二面角的定義可知，選C.2．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面(C)A．有1個 B．有2個C．有無數(shù)個 D．不存在[解析]經(jīng)過l的平面都與α垂直，所以經(jīng)過l的平面有無數(shù)個，故選C.3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[解析]∵AB＝CB，且E是AC的中點，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC內(nèi)，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故選C.4．已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為_60°__.[解析]設正四棱錐為S－ABCD，如圖所示，高為h，底面邊長為a，則2a2＝(