人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 專題14.2 乘法公式講練（原卷版）

專題14.2乘方公式典例體系（本專題73題33頁）一、知識(shí)點(diǎn)平方差公式：即：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；完全平方公式：即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍；添括號(hào)：=1\*GB3①如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；=2\*GB3②如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)；二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練考點(diǎn)1：平方差公式的適用條件典例：（2020·山西左權(quán)·期末）下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A．(a+b)(a-2b) B．(x+2y)(x-2y) C．（-a+2b)(a-2b) D．（-2m-n）（2m+n）方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了平方差公式，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2022·河北南宮·期末）下列各式不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．2．（2020·河南舞鋼·期中）下列各式中，不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．3．（2020·江蘇梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．B．C．D．4．（2020·安徽臨泉·期末）能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．5．（2020·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)期中）下列各式不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B． C． D．6．（2020·沈陽市第一二七中學(xué)期中）下列各多項(xiàng)式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2020·西藏日喀則·期末）下列乘法運(yùn)算中不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）考點(diǎn)2：應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算典例：（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）______．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了平方差公式，運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．鞏固練習(xí)1．（2020·聊城市茌平區(qū)教育和體育局教研室期末）若，則代數(shù)式的值為（）A．1 B．2 C．4 D．62．（2020·湖南漣源·初一期末）計(jì)算的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．3．（2020·紹興市文瀾中學(xué)期中）若，且，則_____4．（2020·河南洛寧·月考）計(jì)算：__________．5．（2020·山東中區(qū)·初一期末）若，，則_____．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）________．7．（2020·吉林延邊·初二期末）計(jì)算：=____________．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）考點(diǎn)3：乘法公式與圖形面積典例：（2020·北京通州·初一期中）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S?，圖2中陰影部分的面積為S?，請(qǐng)用含a．b的式子表示：S?＝，S?＝；（不必化簡）（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證的乘法公式是．（3）利用（2）中得到的公式，計(jì)算；20202﹣2019×2021．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了平方差公式的幾何背景及其在簡算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并明確平方差公式的形式是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·沈陽市第一二七中學(xué)期中）如圖，它由兩塊相同的直角梯形拼成，由此可以驗(yàn)證的算式為（）A． B．C． D．2．（2020·福建省惠安科山中學(xué)月考）如下圖所示，在邊長為的正方形中，剪去一個(gè)邊長為的小正方形（），將余下部分拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于、的恒等式為（）A． B．C． D．3．（2020·廣東禪城·期末）在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b〉）把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A． B．C． D．4．（2021·河南汝陽·初二期末）圖（1）是一個(gè)長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是A.B.C.D.5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4張長為a、寬為b（a＞b）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長為（a+b）的正方形，圖中陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2．若S1＝S2，則a、b滿足（）A．2a＝3b B．2a＝5b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝3b6．（2020·福建寧德·初一期末）有若干個(gè)形狀大小完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中3個(gè)如圖1擺放，構(gòu)造一個(gè)正方形；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造一個(gè)新的長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙）．若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為39和106，則每個(gè)小長方形的面積為___．7．（2020·福建省惠安科山中學(xué)月考）用四塊長為acm、寬為bcm的矩形材料（如圖1）拼成一個(gè)大矩形（如圖2）或大正方形（如圖3），中間分別空出一個(gè)小矩形A和一個(gè)小正方形B．（1）求（如圖1）矩形材料的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）通過計(jì)算說明A、B的面積哪一個(gè)比較大；（3）根據(jù)（如圖4），利用面積的不同表示方法寫出一個(gè)代數(shù)恒等式．8．（2020·江蘇新沂·初一期末）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如圖3，將兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個(gè)正方形的邊長滿足a+b=10，ab=20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．9．（2020·四川成華·初一期末）圖1和圖2的大正方形都是由一些長方形和小正方形組成的．觀察圖形，完成下列各題：(1)如圖1，求S大正方形的方法有兩種：S大正方形=(x+y)2，同時(shí)，S大正方形=S①+S②+S③+S④=．所以圖1可以用來解釋等式：；同理圖2可以用來解釋等式：．(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．10．（2020·山東中區(qū)·初一期末）問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個(gè)邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，如圖1：這個(gè)圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式．類比解決：（1）請(qǐng)你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過程）問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23＝32？如圖2，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32嘗試解決：（2）請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33＝．（要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過程）．（3）問題拓廣：請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（直接寫出結(jié)論即可，不必寫出解題過程）11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是________．（2）先剪出一個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分別為a和占的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個(gè)長方形？如果可以，請(qǐng)畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式．如果不能，請(qǐng)說明理由．12．（2020·河北邢臺(tái)·初一月考）若x滿足(x－4)(x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．解：設(shè)x－4＝a，x－9＝b，則(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2+(x－5)2的值(2)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是15，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．13．（2020·浙江衢州·初一期中）（閱讀材料）我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為的正方形，乙種紙片是邊長為的正方形，丙種紙片是長為，寬為的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個(gè)大正方形．（理解應(yīng)用）（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個(gè)等式，請(qǐng)你直接寫出這個(gè)等式．（拓展升華）（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知，，求的值；②已知，求的值．考點(diǎn)4：求完全平方公式的字母系數(shù)典例：（2020·沈陽市第一二七中學(xué)期中）如果二次三項(xiàng)式x2﹣16x+m2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是（）A．±8 B．4 C．±4 D．8方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了完全平方公式．能夠掌握完全平方公式的運(yùn)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式，根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是求解的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·長春市第五十二中學(xué)月考）若是完全平方式，則的值是（）A． B． C．或 D．或2．（2020·紹興市長城中學(xué)期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，則k的值為（）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣33．（2020·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)期中）若(x-2y)2=(x+2y)2+M,則M=()A．4xy B．-4xy C．8xy D．-8xy4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，則的值應(yīng)為（）A．3 B．6 C． D．5．（2022·南陽市第三中學(xué)月考）如果整式恰好是一個(gè)整式的平方，那么的值是（）A．±3 B．±4.5 C．±6 D．96．（2020·廣東高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，則m的值為_____________7．（2020·山東長清·期中）若x2﹣mx+9是個(gè)完全平方式，則m的值是__．8．（2020·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)期中）已知是完全平方式，則△＝_______．9．（2020·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)期中）若9x2+kx+1是一個(gè)完全平方式，則k＝_____．10．（2020·廣西百色·期末）在多項(xiàng)式中添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)式是______（只寫出一個(gè)即可）．11．（2020·江蘇盱眙·期末）若是關(guān)于的完全平方式，則的值是______．考點(diǎn)5：應(yīng)用完全平方公式求值典例：（2020·福建寧化·期末）已知有理數(shù)，滿足，．（1）求的值；（2）求的值．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了利用完全平方公式變形求值，解題關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．鞏固練習(xí)1．（2020·樹德中學(xué)都江堰外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）已知a+b＝3，ab＝，則（a+b）2的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2020·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，則x2+y2的值等于（）A．1 B．13 C．17 D．253．（2022·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，則a2－ab+b2的值為（）A．33 B．－33 C．11 D．－114．（2020·重慶南開中學(xué)期末）若，，則__________．5．（2022·江西南康·其他）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則=______．6．（2020·甘肅鎮(zhèn)原·初二期末）已知，則的值為__________．7．（2020·山東濟(jì)陽·初一期末）已知，ab=6，則a2+b2的值是__________．8．（2022·河北石家莊·初一期末）若，，則的值為_________．9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）已知，，求下列各式的值：（1）（2）考點(diǎn)6：配方法及其應(yīng)用典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代數(shù)式ab的值．(2)已知等腰ABC的兩邊分別為a、b，且a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周長．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了完全平方公式，三角形三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義和整式的混合運(yùn)算，（1）正確將已知條件變形是解題關(guān)鍵，（2）利用配方法配方得出a和b的值是關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）已知-2x-6y+10＝0，則的值為（）A． B．9 C．1 D．992．（2020·全國初二課時(shí)練習(xí)）代數(shù)式的值（）A．大于或等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零3．（2020·湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán)期中）若a，b都是有理數(shù)，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，則＝_____．4．（2020·興縣教育科技局教學(xué)研究室期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得_____，_______；（2）試著把寫成一個(gè)完全平方式：；（3）若是的立方根，是的平方根，試計(jì)算：．5．（2020·泉州市第六中學(xué)初二期中）回答下列問題(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.(2)若a+＝5，則a2+＝_____；(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.6．（2020·湖南天元·建寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一開學(xué)考試）已知，則=______．7．（2020·貴州石阡·期末）老師在講完乘法公式的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：∵，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是0，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1.請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式的最小值是______；（2）若，當(dāng)x=______時(shí)，y有最______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是______；（3）若，求的最小值.8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）已知，求9．（2022·河北安平·初二期末）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式的最小值.方法如下：∵，由，得；∴代數(shù)式的最小值是4.（1）仿照上述方法求代數(shù)式的最小值.（2）代數(shù)式有最大值還是最小值？請(qǐng)用配方法求出這個(gè)最值.10．（2020·廣西興賓·初一期中）閱讀下列材料，解答問題：例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13方法2：∵a－b=3∴(a－b)2=32即a2－2ab＋b2=9a