(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)2.5《二次函數(shù)與冪函數(shù)》(原卷版)

第第頁§2.5二次函數(shù)與冪函數(shù)考試要求1.通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等)．知識(shí)梳理1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為偶函數(shù)．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝﹣eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝SKIPIF1<0是冪函數(shù)．()(2)若冪函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)，則α為偶數(shù)．()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則a<0且Δ<0.()(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的兩個(gè)零點(diǎn)確定，則二次函數(shù)的解析式確定．()教材改編題1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(2，eq\r(2))，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))等于()A．﹣eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．±eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)2．若函數(shù)f(x)＝4x2﹣kx﹣8在[5,20]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．3．已知y＝f(x)為二次函數(shù)，若y＝f(x)在x＝2處取得最小值﹣4，且y＝f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)若冪函數(shù)y＝x﹣1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為()A．﹣1<m<0<n<1B．﹣1<n<0<m<eq\f(1,2)C．﹣1<m<0<n<eq\f(1,2)D．﹣1<n<0<m<1(2)冪函數(shù)f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m＝________.教師備選1．若冪函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a等于()A．1B．6C．2D．﹣12．若f(x)＝SKIPIF1<0，則不等式f(x)>f(8x﹣16)的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,7)))B．(0,2]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(16,7)))D．[2，＋∞)思維升華(1)對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，c＝SKIPIF1<0，則()A．b<a<cB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<b(2)已知冪函數(shù)y＝SKIPIF1<0(p，q∈Z且p，q互質(zhì))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則()A．p，q均為奇數(shù)，且eq\f(p,q)>0B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且eq\f(p,q)<0C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且eq\f(p,q)>0D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且eq\f(p,q)<0題型二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式．教師備選若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)滿足條件f(﹣x)＝f(x)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?﹣∞，4]，則函數(shù)解析式f(x)＝________.思維升華求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式；(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；(3)已知圖象與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x)＝x2＋f′(x)﹣1，則f(x)等于()A．x2﹣2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2﹣2x＋1D．2x2＋2x﹣1(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，且圖象被x軸截得的線段長為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________．題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象例3設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值例4已知函數(shù)f(x)＝x2﹣tx﹣1.(1)若f(x)在區(qū)間(﹣1,2)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若x∈[﹣1,2]，求f(x)的最小值g(t)．教師備選1．(多選)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，n)，與y軸的交點(diǎn)在(0,2)，(0,3)之間(包含端點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>3時(shí)，y<0B．4a＋2b＋c＝0C．﹣1≤a≤﹣eq\f(2,3)D．3a＋b>02．已知f(x)＝ax2﹣2x＋1.(1)若f(x)在[0,1]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．思維升華二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．跟蹤訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區(qū)間[3，＋∞)和[﹣2，﹣1]上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，－3))B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2eq\r(2)]D．[﹣4，﹣3](2)已知函數(shù)f(x)＝﹣x2＋2x＋5在區(qū)間[0，m]上有最大值6，最小值5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．課時(shí)精練1．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(﹣1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2﹣3xB．g(x)＝3x2﹣2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝﹣3x2﹣2x2．若函數(shù)y＝SKIPIF1<0為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0B．1或2C．1D．23．已知函數(shù)f(x)＝x2﹣2mx﹣m＋2的值域?yàn)閇0，＋∞)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．﹣2或1B．﹣2C．1D．1或24．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(﹣3,0)，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1.下面四個(gè)結(jié)論中正確的是()A．b2<4acB．2a﹣b＝1C．a(chǎn)﹣b＋c＝0D．5a<b5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2﹣2x＋a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)<1B．若x1x2≠0，則eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(2,a)C．f(﹣1)＝f(3)D．函數(shù)y＝f(|x|)有四個(gè)零點(diǎn)6．(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0，對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，則下列結(jié)論可能成立的有()A．a(chǎn)＋b>0且ab<0B．a(chǎn)＋b<0且ab<0C．a(chǎn)＋b<0且ab>0D．以上都可能7．已知冪函數(shù)f(x)＝mxn＋k的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，則m﹣2n＋3k＝________.8．函數(shù)f(x)＝x2﹣4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇﹣2,2]，則b﹣a的取值范圍是________．9．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋(b﹣2)x＋3，且﹣1，3是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．(1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≤3；(2)若g(x)＝f(sinx)，求函數(shù)g(x)的值域．10．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且滿足f(0)＝2，f(x＋1)﹣f(x)＝2x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[t，t＋2](t∈R)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值g(t)(用t表示)．11．已知函數(shù)f(x)＝2x2﹣mx﹣3m，則“m>2”是“f(x)<0對(duì)x∈[1,3]恒成立”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件12.冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣eq\f(1,b)等于()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．213．(多選)關(guān)于x的方程(x2﹣2x)2﹣2(2x﹣x2)＋k＝0，下列命題正確的有()A．存在實(shí)數(shù)k，使得方程無實(shí)根B．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根C．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根D．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)