普通物理學(xué)第五版4-3力矩-剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4-2剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4-3力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)平面

沿Z

軸分量為對(duì)Z軸力矩對(duì)O

點(diǎn)的力矩：§4-3力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1.力矩

力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)注

（1）在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。

只能引起軸的變形,對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動(dòng)平面力矩

是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。（2）

（3）

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中不予考慮。

（4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面力矩

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：ωO對(duì)剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O’定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律用乘以上式左右兩端：

設(shè)剛體由N

個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將N

個(gè)方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對(duì)內(nèi)力等值、反向、共線,對(duì)同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M

表示；右端求和符號(hào)內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律討論：

（4）J和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。

（3）J和質(zhì)量分布有關(guān)；（2）M的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的力矩為正；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)（1）M一定，J定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題4-5一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2

如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m

，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mr。繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2T2

T1

T1T2G2G1aaam1m2解:滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在轉(zhuǎn)動(dòng)中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體1這邊繩的張力為T1、T1’(T1’=T1)

，

物體2這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律因m2>m1，物體1向上運(yùn)動(dòng)，物體2向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠淌街?/p>

是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即從以上各式即可解得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律而定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、M

=0時(shí)，有上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)量重力加速度g的簡單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、

m2

、r和J的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1和2的加速度a，再通過加速度把g算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能角精確地測(cè)出a來。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題4-6一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為

，令圓盤最初以角速度

0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？rRdr

d

e解由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計(jì)算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量dm=

rd

dre，所受到的阻力矩是r

dmg

。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是因m=

e

R2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)