與四邊形有關(guān)的證明

初三數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題與多邊形有關(guān)的壓軸題知能考點(diǎn)一、1.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為（） A． 6 B． 12 C． 2 D． 42.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④知能考點(diǎn)二、3．（2014?廣州,第10題3分）如圖3，四邊形、都是正方形，點(diǎn)在線段上，連接，和相交于點(diǎn)．設(shè)，（）．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）．（A）4個(gè)（B）3個(gè)（C）2個(gè)（D）1個(gè)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．如圖，在矩形ABCD中，=，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AD于點(diǎn)E．若AE?ED=，則矩形ABCD的面積為．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為．知能考點(diǎn)三、7．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是（）A．2.5B．C．D．2知能考點(diǎn)四、8.（2015中考說(shuō)明）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B，D（F），H在同一條直線上，將正方形ABCD沿F?H方向平移至點(diǎn)B與點(diǎn)H重合時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D、F之間的距離為x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y，則能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．9．(2014?黑龍江牡丹江,第20題3分)已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2014到x軸的距離是．10.（2014?萊蕪，第17題4分）如圖在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先將菱形OABC沿x軸的正方向無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2014次，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1，B2，B3，…，則B2014的坐標(biāo)為．知能考點(diǎn)五、11、(2014年湖北隨州第16題)如圖1，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；②當(dāng)x=時(shí)，EF+GH＞AC；③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是；④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．其中正確的是（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）．12.（新增）14.（2014?鼓樓區(qū)一模）把邊長(zhǎng)相等的正五邊形ABGHI和正六邊形ABCDEF的AB邊重合，按照如圖的方式疊合在一起，連接EB，交HI于點(diǎn)K，則∠BKI的大小為（）A．90°B．84°C．72°D．88°13.（新增）15.如圖，AE=2OE,BF=2OF,CG=2OG,DH=2OH,則四邊形EFGH周長(zhǎng)=（）A．6B．8C．12D．1814蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．10個(gè)知能考點(diǎn)六、15．（2014?四川綿陽(yáng),第24題12分）如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．（1）求證：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如圖2，若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形，使其定點(diǎn)Q落在線段AE上，定點(diǎn)M、N落在線段AC上，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)為何值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．16.（2014?麗水，第23題10分）提出問(wèn)題：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；類比探究：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；綜合運(yùn)用：（3）在（2）問(wèn)條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積．中考說(shuō)明新增（新增）15.（2013?泉州）如圖，直線y=-x+2分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求∠ABC的大??；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：當(dāng)BC在不同位置時(shí)，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？若改變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（較難題）（新增同類）19.（2013?紅橋區(qū)一模）已知拋物線F：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為P．

（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=-2，c=-3，求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)拋物線F：y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．平移該拋物線使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，得到拋物線F：y=a′x2+b′x+c′（如圖所示）．若a、b、c滿足了b2=2ac，求b：b′的值；

（Ⅲ）若a=3，b=2，且當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線F與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．（較難題）（新增）20.（2011?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長(zhǎng)線上．

（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；

（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出b的取值范圍；

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出b的取值范圍；

（3）已知?AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕校┑母黜旤c(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍（較難題）解：（1）分別連接AD、DB，則點(diǎn)D在直線AE上，如圖1，

∵點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AD，

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，

∵AE∥BF，

∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．

（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是b=或﹣1＜b＜1；

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是1＜b＜

（3）假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點(diǎn)M的位置，分以下四種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)M在射線AE上時(shí)，如圖2．

∵AMPQ四點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?/p>

∴直線PQ必在直線AM的上方，

∴PQ兩點(diǎn)都在弧AD上，且不與點(diǎn)A、D重合，

∴0＜PQ＜．

∵AM∥PQ且AM=PQ，

∴0＜AM＜

∴﹣2＜x＜﹣1，

②當(dāng)點(diǎn)M不在弧AD上時(shí)，如圖3，

∵點(diǎn)A、M、P、Q四點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?/p>

∴直線PQ必在直線AM的下方，

此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．

③當(dāng)點(diǎn)M在弧BD上時(shí)，

設(shè)弧DB的中點(diǎn)為R，則OR∥BF，

當(dāng)點(diǎn)M在弧DR上時(shí)，如圖4，

過(guò)點(diǎn)M作OR的垂線交弧DB于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)S，可得S是MQ的中點(diǎn)．

∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，

∴0≤x＜．

當(dāng)點(diǎn)M在弧RB上時(shí)，如圖5，

直線PQ必在直線AM的下方，

此時(shí)不存在滿足題意的平行四邊形．

④當(dāng)點(diǎn)M在射線BF上時(shí)，如圖6，

直線PQ必在直線AM的下方，

此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍是

﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．分析（Ⅰ）利用配方法得出y=（x-1）2-4，當(dāng)y=0時(shí)，（x-1）2-4=0，求出x的值，即可得出拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）兩個(gè)拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小都相同，那么a=a′；它們與y軸交于同一點(diǎn)，那么c=c′；將D的坐標(biāo)代入拋物線F′的解析式中，先求出b′，再求b：b′的值．

（Ⅲ）分3種情況．第1種：△=0，c=13；

第2種：把x=-1代入函數(shù)使y大于0，且把x=1代入函數(shù)，使y小于0，解這個(gè)不等式，可得c的取值范圍；

第3種：把x=-1代入函數(shù)使y小于0，且把x=1代入函數(shù)，使y大于0，解這個(gè)不等式組，可得c的取值范圍．

綜合這三個(gè)結(jié)果即可得n的范圍．在2，3種情況下必須保證△大于0．解答解：（Ⅰ）當(dāng)a=1、b=-2、c=-3時(shí)

y=x2-2x-3

=（x-1）2-4，

當(dāng)y=0時(shí)，（x-1）2-4=0，

（x-1）2=4

則x-1=2或x-1=-2

∴x1=3，x2=-1，

∴P（1，-4）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）（-1，0）；

（Ⅱ）由題意可知A（0，c），P（-b2a，4ac-b24a）

∴D（-b2a，0）

∵平移得到y(tǒng)=a'x2+b'x+c'

∴a=a′，

∴y=a'x2+b'x+c'經(jīng)過(guò)（0，c），（-b2a，0），

∴{c′=ca(-b2a)2+b′(-b2a)+c′=0，

∴b24a-bb′2a+c′=0，

∴b2-2bb'+4ac=0，

∵b2=2ac，

∴b2-2bb'+2b2=0，

∴3b2=2bb′，

∴3b=2b′，

∴b：b′=23；

（Ⅲ））∵拋物線與x軸有公共點(diǎn)，

∴對(duì)于方程3x2+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，

∴c≤13．

①當(dāng)c=13時(shí)，由方程3x2+2x+13=0，

解得x1=x2=-13．此時(shí)拋物線為y=3x2+2x+13與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（-13，0）；

②當(dāng)c＜13時(shí)，

x1=-1時(shí)，y1=3-2+c=1+c；

x2=1時(shí)，y2=3+2+c=5+c；

由已知-1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為x=-13，

應(yīng)有y1≤0，且y2＞0即1+c≤0，且5+c＞0．

解得：-5＜c≤-1．

綜合①，②得c的取值范圍是：c=13或-5＜c≤-1．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：（1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH可得AE=DH；（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，過(guò)F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF=，因?yàn)镕H∥EG，所以根據(jù)（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH與三角形EOG的面積相加即可．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．∴∠HAO+∠OAD=90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．∴∠HAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE=DH．（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO=∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO=∠EGO∴∠AHF=∠CGE∴△AHF∽△CGE∴∵EC=2∴AF=1過(guò)F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF=，∵FH∥EG，∴根據(jù)（2）①知EF=GH，∴FO=HO．∴，，∴陰影部分面積為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的綜合知識(shí)．用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．考點(diǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫(huà)出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此點(diǎn)B4向右平移1340（即335×4）即可到達(dá)點(diǎn)B2014，根據(jù)點(diǎn)B4的坐標(biāo)就可求出點(diǎn)B2014的坐標(biāo)．解答：解：連接AC，如圖所示．∵四邊形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=90°，∴△ABC是等邊三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．畫(huà)出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示．由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．∵2014=335×6+4，∴點(diǎn)B4向右平移1340（即335×4）到點(diǎn)B2014．∵B4的坐標(biāo)為（2，0），∴B2014的坐標(biāo)為（2+1340，0），∴B2014的坐標(biāo)為（1342，0）．考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；正方形的性質(zhì)．分析： 根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的，依次得到第2014個(gè)正方形和第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步得到點(diǎn)A2014到x軸的距離．解答： 解：如圖，∵點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△1CE1D1，…，∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，∴B2014E4016=，作A1E⊥x軸，延長(zhǎng)A1D1交x軸于F，則△C1D1F∽△C1D1E1，∴=，在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為為=，∴D1F=，∴A1F=，∵A1E∥D1E1，∴=，∴A1E=3，∴=，∴點(diǎn)A2014到x軸的距離是×=點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，得出正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：（1）由矩形的性質(zhì)可知△ADC≌△CEA，得出AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，從而求得△DEC≌△EDA；（2）根據(jù)勾股定理即可求得．（3））有矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA，所以，從而求得PQ，由PN∥EG，得出=，求得PN，然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式，即可求得．解答：（1）證明：由矩形的性質(zhì)可知△ADC≌△CEA，∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，在△ADE與△CED中∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如圖1，∵∠ACD=∠CAE，∴AF=CF，設(shè)DF=x，則AF=CF=4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得；x=，即DF=．（3）解：如圖2，由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA∴又∵CE=3，AC==5設(shè)PE=x（0＜x＜3），則，即PQ=過(guò)E作EG⊥AC于G，則PN∥EG，∴=又∵在Rt△AEC中，EG?AC=AE?CE，解得EG=∴=，即PN=（3﹣x）設(shè)矩形PQMN的面積為S則S=PQ?PN=﹣x2+4x=﹣+3（0＜x＜3）所以當(dāng)x=，即PE=時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理．【考點(diǎn)】： 翻折變換（折疊問(wèn)題）；正方形的性質(zhì)．【分析】： （1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，即點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，從而得出結(jié)論．（3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值．（4）六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】： 解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；故①結(jié)論正確，（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②結(jié)論錯(cuò)誤，（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．∵AE=x，∴六邊形AEFCHG面積=22﹣BE?BF﹣GD?HD=4﹣×（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故③結(jié)論錯(cuò)誤，（4）當(dāng)0