巧添輔助線解初中平面幾何問(wèn)題

巧添輔助線解初中平面幾何問(wèn)題摘要：在解幾何問(wèn)題時(shí)中，有時(shí)不能直接找到條件與未知之間的關(guān)系，因此需要添加輔助線使隱蔽的重要條件顯現(xiàn)出來(lái)，使分散的條件集中起來(lái)，溝通與未知之間的聯(lián)系．全等變換就是一種重要的作輔助線的方法，它可以用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，使圖形通過(guò)對(duì)折、平移、旋轉(zhuǎn)、位似得到與原圖全等的圖形，或根據(jù)需要構(gòu)造必要的圖形，而新的圖形可以使題目的和未知聯(lián)系起來(lái)，化難為易，從而找到添加輔助線的方法，到達(dá)解題的目的．關(guān)鍵詞：輔助線；對(duì)折；平移；旋轉(zhuǎn)；位似；構(gòu)造；變換在解幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)找不到條件與未知之間的關(guān)系，常常會(huì)感到無(wú)從入手，沒(méi)有頭緒，令人“百思不得其解〞．如何把看起來(lái)十分復(fù)雜的幾何問(wèn)題通過(guò)簡(jiǎn)潔明了的解題方法加以解決？是幾何問(wèn)題面臨的一個(gè)重要問(wèn)題，而適當(dāng)添加輔助線就是解決這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)好方法．添加輔助線的目的在于使隱蔽的條件顯現(xiàn)出來(lái)，使分散的條件集中起來(lái)，溝通與未知之間的聯(lián)系，完善欠缺圖形，將復(fù)雜的問(wèn)題化簡(jiǎn)為推證創(chuàng)造條件，促成問(wèn)題的最終解決．提高學(xué)生作輔助線的水平，不僅可以提高他們解答幾何問(wèn)題的能力,而且可以提高他們的空間想象能力,邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高他們的綜合素質(zhì)．然而作輔助線是有難度的，沒(méi)有一成不變的方法，有時(shí)是幾種方法聯(lián)合并用，但一個(gè)最根本的方法是從分析問(wèn)題入手，緊緊聯(lián)系已學(xué)過(guò)的有關(guān)幾何知識(shí)，比方定義、定理、推論、公式等．試添輔助線以后，能不能再進(jìn)一步得出一些過(guò)渡性的結(jié)論，而從這些過(guò)渡性結(jié)論出發(fā)，能不能再進(jìn)一步推導(dǎo)出下一個(gè)過(guò)渡性結(jié)論．如果添加輔助線后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得對(duì)，成功的把握性就大，如果添輔助線后，思路反而更塞了，那一定是錯(cuò)了．用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)觀察圖形，在許多場(chǎng)合下是添加輔助線的一種行之有效的方法，它是設(shè)想把某一有關(guān)局部的圖形進(jìn)行對(duì)折，旋轉(zhuǎn)，平移或縮放〔位似〕，從而巧妙地添加輔助線，有效地解決問(wèn)題．下面就我個(gè)人的一些經(jīng)驗(yàn)，談一下常用輔助線的做法．一對(duì)折法“對(duì)折法〞就是“軸對(duì)稱(chēng)變換法〞．這是利用成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形這一原理，把圖中一局部或整個(gè)圖形，以某一直線為折痕〔即對(duì)稱(chēng)軸〕翻折過(guò)來(lái)，就得到它的全等形．通過(guò)這種變換把較分散的線段、角集中起來(lái)，或者使原有的擴(kuò)大，或者使各個(gè)幾何量之間的關(guān)系明顯化，所以這是一個(gè)常用的好方法．許多的圖形都有對(duì)稱(chēng)軸，有的較明顯，如圓的直徑，等邊三角形的高，等腰三角形底邊上的中線，圖形中某角的角平分線或某邊的垂直平分線，等腰梯形，矩形的平行對(duì)邊的中垂線，菱形，正方形的對(duì)角線等．如果沒(méi)有現(xiàn)成的對(duì)稱(chēng)軸，也可以設(shè)想以某直線或線段作為對(duì)稱(chēng)軸，向它的另一邊翻折180°〔即對(duì)稱(chēng)軸的另一邊〕，想象一下翻折過(guò)去以后，各個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)線段或?qū)ΨQ(chēng)的角或其他有關(guān)的點(diǎn)、線的分布情況如何？想妥當(dāng)了，再試添輔助線．而后考慮要證的幾何元素與題設(shè)的元素之間的幾何關(guān)系．這樣，就會(huì)較合理地作出所需要的輔助線來(lái)幫助我們進(jìn)行論證．例1如圖〔1〕，在△ABC中，AB=2，BC=3，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)D，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B為何值時(shí)，△ABC與△ADC面積之差有最大值，其最大值是多少？分析：將△ADC沿AC翻折到△AD′C的位置，此時(shí)△≌△，∠+∠B=∠ADC+∠B=180°，故四邊形內(nèi)接于圓，因AB=CD=CD′=2，故知四邊形為等腰梯形，AD′∥BC．作AE、D′F⊥BC于E、F，那么AD′=EF，BE=CF，于是=△ABC-△ADC=△ABC-△AD′C===cosB2sinB=2sin2B2．故當(dāng)時(shí)，有最大值2．例2如圖〔2〕，在等腰直角△ABC的斜邊AB上，取兩點(diǎn)M、N使∠MCN=45°，記AM=m，MN=x，BN=n,那么以x、

m

、

n

為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是〔〕銳角三角形；直角三角形；鈍角三角形；隨x、

m

、

n變化而變化．分析：〔1〕要判斷以x、

m

、

n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀，關(guān)鍵是要設(shè)法將這三條線段長(zhǎng)集中到同一個(gè)三角形中．〔2〕如何利用好條件中的∠MCN=45°，應(yīng)同時(shí)考慮∠ACM+∠BCN=45°．〔3〕為將長(zhǎng)為x、

m

、

n的三條線段集中，可考慮將△ACM沿CM對(duì)折〔如圖〕這樣可將m

、x兩條線段集中，再連接PN，假設(shè)能證明PN=BN，那么長(zhǎng)為x、

m

、

n的三條線段就集中到了△PMN中．由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∴∠BCN=∠PCN可證△BCN≌△PCN，PN=BN=n．∴∠MPC=∠A=45°∠NPC=∠B=45°∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．∴以x、

m

、

n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是直角三角形．提示：當(dāng)要證的結(jié)論需要集中某些線段，且圖形中出現(xiàn)了等角或角的平分線等條件時(shí)，可考慮對(duì)折構(gòu)造．二平移法“平移法〞即平移變換法．顧名思義，其具體做法就是過(guò)某點(diǎn)作某線段或某直線的平行線，利用平行線性質(zhì)——同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，或利用平行四邊形諸性質(zhì)，把有關(guān)元素集中起來(lái)．例3如圖〔3〕，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°．求證：AC=MN．分析：由條件知：MN=〔AD+BC〕，要證AC=MN，只需證AC=〔AD+BC〕.因此，可將上底AD移至下底所在的直線上，與BC相加，即過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC 交BC的延長(zhǎng)線于E，那么可得∠BDE=∠BOC=90°，這樣就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一銳角是30°的直角三角形的問(wèn)題．例4如圖〔4〕，三角形ABC的兩邊AB、AC上的中線分別為BD、CE，假設(shè)BD=CE．求證：AB=AC．分析：的兩條相等的中線在圖中交叉擺著，我們?cè)嚢阉才旁谝粋€(gè)三角形中就比擬好考慮，于是設(shè)想把其中的一條中位線CE平行移動(dòng)到DF位置，這樣就成了一個(gè)等腰三角形DBF，立即得到∠1=∠F=∠2，從而得到GB=GC，GD=GE．要證BE=CD就簡(jiǎn)單了．三旋轉(zhuǎn)法“在歐氏平面上把一點(diǎn)P繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角變到另一點(diǎn)P′，如此產(chǎn)生的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)．此定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，定角叫做旋轉(zhuǎn)角．〞旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來(lái)的圖形全等．用這種想象來(lái)啟示我們?nèi)プ鬏o助線．這種方法能夠集中條件，擴(kuò)大，圖形之間易于聯(lián)絡(luò)，照應(yīng)，到達(dá)較順利論證的目的．旋轉(zhuǎn)要利用角或邊的相等，因此在正三角形、正方形、正多邊形應(yīng)用較常見(jiàn)．_圖〔5〕例5如圖〔5〕,在正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分別在AD和DC上．_圖〔5〕分析：因?yàn)橐C明EF=AE+FC，可設(shè)想將AE、FC放在同一直線上，再與EF比擬．而條件給了正方形，即各邊相等，四個(gè)角是直角，于是，可嘗試把Rt△BCF〔或Rt△BAE〕以B為中心逆時(shí)針〔或順時(shí)針〕旋轉(zhuǎn)90°．可得：Rt△ABF′≌Rt△CBF，那么BF′=BF，AF′=CF，∠1=∠2．那么：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45°所以∠EBF′=∠EBF，而B(niǎo)E是公共邊，故△BEF′≌△BEF，那么EF=EF′=AE+AF′=AE+FC，即可得證．例6如圖〔6〕，在等邊△ABC外取一點(diǎn)P，如果PA=PB+PC，那么P、A、B、C四點(diǎn)共圓．分析：在四點(diǎn)共圓的判斷中，其中有一條是〞對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓〞．因此，可嘗試∠BPC+∠BAC是否等于180°．而題目中給了條件△ABC是等邊三角形，即三邊相等，三個(gè)角都是60°，可設(shè)想把△BPC以點(diǎn)C為中心按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，可得△AP′C≌△BPC，那么PB=P′A，PC=P′C，∠AP′C=∠BPC，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等邊三角形，那么∠1=60°，PP′=PC，∵PA=PB+PC∴PA=P′A+PP′∵A、P′、P三點(diǎn)共線∴∠AP′C+∠1=180°又∵∠BAC=60°=∠1∴∠BPC+∠BAC=180°故P、A、B、C四點(diǎn)共圓．圖〔6〕四位似法〔放縮法〕如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行〔或共線〕，那么這樣的兩個(gè)圖形就叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比．位似變換的設(shè)想，是把其中的一個(gè)圖形〔它經(jīng)常是某一線段〕看成是由另一個(gè)圖形按位似比放大或縮小而得的．把欲證的線段變?yōu)橐鬃C的線段，或者通過(guò)擴(kuò)大或縮小，讓有關(guān)線段組成一個(gè)新的圖形．比擬多的是遇到“中點(diǎn)〞、“三等分點(diǎn)〞、“內(nèi)、外分線段成某比〞等題設(shè)時(shí)，用位似擴(kuò)大或縮小法集中條件，而后加以論證．例7如圖〔7〕，ABCD為任意四邊形，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，M、N分別為對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)．求證：EG、HF同過(guò)MN的中點(diǎn)．分析：欲證的三條線段在圖中的關(guān)系不甚“密切〞，我們?cè)噲D把它們安排得較易聯(lián)系一些，由于題中很多中點(diǎn)，隨便選擇一個(gè)頂點(diǎn)比方A作位似中心，按位似比K==把邊BC縮小，自然就要連EN，得到ENBC，用相同的方法就組成了一個(gè)易于思考的平行四邊形了．例8三個(gè)等圓O、O、O相交于點(diǎn)S，位于三角形ABC內(nèi)，每個(gè)圓與△ABC兩邊相切．證明：△ABC的內(nèi)心I、外心O與點(diǎn)S共線．分析：這個(gè)問(wèn)題直接論證是比擬困難的，因?yàn)椴蝗菀滓幌伦幼プ、S、I之間的聯(lián)系，但從圖形的直觀上看△有可能與△ABC位似．事實(shí)上，易知，∥，∥，∥，所以==〔為內(nèi)心，即、、之交點(diǎn)〕．于是由知S為△之外心，即S與O為位似變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故I、O、S共線．五其他構(gòu)造法當(dāng)我們按照某種既定的思路解題時(shí)，有時(shí)必須用到某種圖形，而這種圖形并未在原圖中出現(xiàn)，這時(shí)就要構(gòu)造這種圖形來(lái)使證題順利進(jìn)行．構(gòu)造、補(bǔ)全根本圖形也是作出輔助線的根本方法，它是出于對(duì)幾何圖形整體的把握作出輔助線的．許多常見(jiàn)的輔助線〔如等邊三角形、直角三角形、正方形，兩圓相交時(shí)的公共弦、連心線、圓的切線問(wèn)題中過(guò)切點(diǎn)的半徑等〕都表達(dá)了這種想法．例9如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CA，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．求證：BF⊥FD．分析一：如圖〔9-1〕，由題意知CE=CA，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)重要條件，立即聯(lián)想到三線合一的根本圖形．于是連CF，有CF⊥AE．這樣，這了證明DF⊥BF，只要證明∠1=∠3．另一方面，注意到Rt△ABE中構(gòu)成的〞斜邊上中線〞的根本圖形，立即有AF=BF，∠4=∠5．因此，只要證明出△AFD≌△BFC就可推出了∠1=∠3了．〔證明略〕分析二：如圖〔9-2〕，注意到F是AE的中點(diǎn)的條件和要證的BF⊥FD的結(jié)論，還可以構(gòu)造如下的三線合一的根本圖形．延長(zhǎng)BF交DA的延長(zhǎng)線于G，連BG．容易看出△BFE≌△GFA，于是F是BG的中點(diǎn)．這樣，要證明BF⊥FD，只要證明DB=DG就可以了．∵ABCD是矩形，∴BD=AC又由：CE=CA∴只需證出DG=CE而這是很容易證的〔證明略〕．例10如圖〔10〕，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．求證：．分析：〔1〕所求證的關(guān)系為平方形式，聯(lián)想到構(gòu)造直三角形運(yùn)用勾股定理求證即可，因?yàn)椤螦BC=30°，以BC為邊向外作等邊三角形△BCE，那么可以得到∠ABE=90°，BC=BE，可將轉(zhuǎn)化為Rt△ABE中．這樣只需證明AE=BD即可．〔2〕由∠ADC=60°，AD=CD，連AC，那么△ADC為等邊三角形，易證△DCB≌