中考數(shù)學(xué)全程演練第18課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用

第18課時(shí)二次函數(shù)的應(yīng)用(60分)一、選擇題(每題6分，共12分)1．[2015·銅仁]河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖18－1所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y＝－eq\f(1,25)x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為 (C)圖18－1A．－20m B．10mC．20m D．－10m【解析】根據(jù)題意B的縱坐標(biāo)為－4，把y＝－4代入y＝－eq\f(1,25)x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20m．即水面寬度AB為20m.2．[2015·金華]圖18－2②是圖18－2①中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA＝10m，則橋面離水面的高度AC為(B)A．16eq\f(9,40)m B.eq\f(17,4)mC．16eq\f(7,40)m D.eq\f(15,4)m圖18－2【解析】∵AC⊥x軸，OA＝10m，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－10，當(dāng)x＝－10時(shí)，y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16＝－eq\f(1,400)(－10－80)2＋16＝－eq\f(17,4)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10，－\f(17,4)))，∴橋面離水面的高度AC為eq\f(17,4)m.二、填空題(每題6分，共18分)3．[2014·咸寧]科學(xué)家為了推測(cè)最適合某種珍奇植物生長(zhǎng)的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，測(cè)試這種植物高度的增長(zhǎng)情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度T/℃－4－2014植物高度增長(zhǎng)量l/mm4149494625科學(xué)家經(jīng)過(guò)猜想，推測(cè)出l與T之間是二次函數(shù)關(guān)系．由此可以推測(cè)最適合這種植物生長(zhǎng)的溫度為_(kāi)_－1__℃.【解析】設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，選(0，49)，(1，46)，(4，25)代入后得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝49，,a＋b＋c＝46，,16a＋4b＋c＝25，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,c＝49，))所以y與x之間的二次函數(shù)解析式為y＝－x2－2x＋49，當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)＝－1時(shí)，y有最大值50，即說(shuō)明最適合這種植物生長(zhǎng)的溫度是－1℃.圖18－34．[2015·溫州]某農(nóng)場(chǎng)擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長(zhǎng))，中間用一道墻隔開(kāi)，并在如圖18－3所示的三處各留1m寬的門．已知計(jì)劃中的材料可建墻體(不包括門)總長(zhǎng)為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為_(kāi)_75__m2.圖18－3【解析】設(shè)垂直于墻的材料長(zhǎng)為xm，則平行于墻的材料長(zhǎng)為27＋3－3x＝30－3x，則總面積S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故飼養(yǎng)室的最大面積為75m2.圖18－45．如圖18－4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以2mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以4mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)__3__s，四邊形APQC的面積最?。畧D18－4【解析】S四邊形APQC＝eq\f(1,2)×12×24－eq\f(1,2)(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144，∴當(dāng)t＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(24,2×4)＝3時(shí)，S四邊形APQC最?。⒔獯痤}(共30分)6．(15分)星光中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園．其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為30m的籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)為18m(如圖18－5)，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為xm.(1)若平行于墻的一邊的長(zhǎng)為ym，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；(2)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大？并求出這個(gè)最大值；(3)當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于88m2時(shí)，試結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出x的取值范圍．圖18－5【解析】(1)用x表示y；(2)由矩形面積公式列關(guān)系式求最值；(3)令y＝88，求x的值，根據(jù)圖象寫出符合要求的x的取值范圍．解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)；(2)設(shè)矩形苗圃園的面積為S，則S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，由(1)知6≤x＜15；∴當(dāng)x＝7.5時(shí)，S最大＝112.5，即當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為7.5m時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，最大值為112.5m2；(3)圖象略.6≤x≤11.7．(15分)某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為100元的新商品，在商場(chǎng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖18－6所示的關(guān)系．圖18－6(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出每天的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場(chǎng)負(fù)責(zé)人，會(huì)將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．由所給函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(130，50)，(150，30)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(130k＋b＝50，,150k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝180，))∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600，當(dāng)售價(jià)x定為140元/件時(shí)，w最大＝1600元，∴當(dāng)售價(jià)定為140元/件時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1600元．(25分)8．(10分)[2014·天水]如圖18－7，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－6)2＋h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.圖18－7(1)當(dāng)h＝2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當(dāng)h＝2.6時(shí)，球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．解：(1)∵h(yuǎn)＝2.6，球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，∴拋物線y＝a(x－6)2＋2.6過(guò)(0，2)點(diǎn)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－eq\f(1,60)，故y與x的關(guān)系式為y＝－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6；(2)當(dāng)x＝9時(shí)，y＝－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越過(guò)球網(wǎng)；當(dāng)y＝0時(shí)，－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2eq\r(39)＞18，x2＝6－2eq\r(39)(舍去)，∴球會(huì)出界；(3)由題意，拋物線y＝a(x－6)2＋h過(guò)點(diǎn)(0，2)，代入點(diǎn)(0，2)的坐標(biāo)得a(0－6)2＋h＝2，即36a＋h＝2且a＜0，∴a＝eq\f(2－h(huán),36)，且h＞2.若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，則當(dāng)x＝9時(shí)，y≥2.43，即9a＋h≥2.43，①若球不出邊界，則當(dāng)x＝18時(shí)，y≤0，即144a＋h≤0，②將a＝eq\f(2－h(huán),36)代入①②解得h≥eq\f(8,3).故若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍是h≥eq\f(8,3).9．(15分)[2015·麗水]某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口在桌面中線端點(diǎn)A處的正上方，假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線固定不變，且落在中線上．在乒乓球運(yùn)行時(shí)，設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為x(m)，與桌面的高度為y(m)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：t(s)00.160.20.40.60.640.8…x(m)00.40.511.51.62…y(m)0.250.3780.40.450.40.3780.25…(1)當(dāng)t為何值時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度？(2)乒乓球落在桌面時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離是多少？(3)乒乓球落在桌面上彈起后，y與x滿足y＝a(x－3)2＋k.①用含a的代數(shù)式表示k；②球網(wǎng)高度為0.14m，球桌長(zhǎng)(1.4×2)m.若球彈起后，恰好有唯一的擊球點(diǎn)，可以將球沿直線扣殺到點(diǎn)A，求a的值．圖18－8解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以桌面中線為x軸，乒乓球運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，建立平面直角坐?biāo)系．(1)由表格中的數(shù)據(jù)，可得t＝0.4(s)．答：當(dāng)t為0.4s時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度；(2)由表格中數(shù)據(jù)，可畫出y關(guān)于x的圖象，根據(jù)圖象的形狀，可判斷y是x的二次函數(shù)，設(shè)y＝a(x－1)2＋0.45.將(0，0.25)代入，可得a＝－0.2.∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(1,2)(舍去)，即乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離是eq\f(5,2)m；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0)).代入y＝a(x－3)2＋k，得a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－3))eq\s\up12(2)＋k＝0，化簡(jiǎn)整理，得k＝－eq\f(1,4)a；②由題意，可知扣殺路線在直線y＝eq\f(1,10)x上．由①得y＝a(x－3)2－eq\f(1,4)a.令a(x－3)2－eq\f(1,4)a＝eq\f(1,10)x，整理得20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0.當(dāng)Δ＝(120a＋2)2－4×20a×175a＝0時(shí)符合題意．解方程，得a1＝eq\f(－6＋\r(35),10)，a2＝eq\f(－6－\r(35),10).當(dāng)a1＝eq\f(－6＋\r(35),10)時(shí)，求得x＝－eq\f(\r(35),2)，不符合題意，舍去；當(dāng)a2＝eq\f(－6－\r(35),10)時(shí)，求得x＝eq\f(\r(35),2)，符合題意．答：當(dāng)a＝eq\f(－6－\r(35),10)時(shí)，能恰好將球沿直線扣殺到點(diǎn)A.(15分)圖18－910．(15分)[2015·南京]某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖18－9中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價(jià)y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．圖18－9(1)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都為42元；(2)設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝k1x＋b1，∵y1＝k1x＋b1的圖象過(guò)點(diǎn)(0，60)與(90，42)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝60，,90k1＋b1＝42，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－0.2，,b1＝60，))∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)設(shè)y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝k2x＋b2，∵y2＝k2x＋b2的圖象過(guò)點(diǎn)(0，120)與(130，42)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝120，,130k2＋b2＝42，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－0.6，,b2＝120，))∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)